2024年新高考数学模拟试题12（含详细解析）

2024年新高考数学模拟试题12

一、单选题

1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8,5,7,5,8,6,8,则这组数据

的众数和中位数分别为（）.

A.5,7B.6,7C.8,5D.8,7

2.已知椭圆C:二y+j?=1（相＞0）的离心率为;，则加=（）

m2

A.立或2B.1C.龙-或BD.1

2232

3.在前〃项和为E,的等差数列｛%｝中，a6=a5+S,,%=19,贝！|S5=（）

A.3B.10C.15D.25

4.已知/，他是两条不同的直线，。为平面，mua,下列说法中正确的是（）

A.若/Ia=N,且/与a不垂直，贝！]/与加一定不垂直

B.若/与a不平行，贝!]/与加一定是异面直线

C.若/Ia=/,S.Aim,贝1J/与相可能平行

D.若〃/a,贝1"与加可能垂直

5.某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、

三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有

一个相同的方法种数等于（）

A.70B.140C.252D.504

6.在中，若|羽+就卜1,"+3卜2,则段的面积的最大值为（）

11「11

A.—B.—C.—D.一

6543

7.函数/（%）=百51!1%（1+（：05%）的最大值为（）

22

8.设双曲线券=1（。＞0,6＞0）的右焦点为尸，M（0,36）,若直线/与E的右支交于A,B两点，且厂为

的重心，则直线/斜率的取值范围为（）

二、多选题_

9.在中，a=2y/3,c=2C，C=45°,则A可能为（）

A.30°B.150°C.120°D.60°

10.已知4/2是两个虚数，则下列结论中正确的是（）

A.若则Z]+Z2与Z/2均为实数B.若Z1+Z?与Z。均为实数，则Z产&

C.若4/2均为纯虚数，则五为实数D.若F为实数，则为0均为纯虚数

Z?Z2

1.已知定义域为R的函数/（x）,满足/（》+》=/（力/5）-/（2-。/（2-豺，且/（0）10"（-2）=0,则（）

A./⑵=1B./（X）是偶函数

_2023

C.[/（X）J+[/（2+X）]2=1D.=7

Z=1

试卷第1页，共6页

三、填空题

12.集合/=卜卜2一2》+1=0},5=卜|八-1=0},/<>18=2,贝!|。=

13.己知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是百，则圆锥的高为；母线的长为.

14.已知对任意尤eR,均有不等式ax?+foc+cN0成立，其中6<0,若存在feR使得（1—+（1++3c=0成立,

则t的最小值为.

四、解答题

15.已知函数〃x）=O«+l）x+xlnx.

（1）当加=1时,求曲线了=/（x）在（1JQ））处的切线方程.

（2）m=-\时，若g（x）=占，求g（x）的定义域，并分析其单调性.

/（X）

试卷第2页，共6页

16.为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了〃("22)次试验，假设小王每次试验成功的概

率为。(0<p<l),且每次试验相互独立.

(1)若小王某天进行了4次试验，且P=J，求小王这一天试验成功次数X的分布列以及期望；

(2)若恰好成功2次后停止试验，P=：,以y表示停止试验时试验的总次数，求£p(y=i).(结果用含有〃的式子

2i=2

表示)

试卷第3页，共6页

17.如图，在三棱台/8C-44C］中，平面48C,NABC=90°,/4=4瓦=2©=1,AB=2.

⑴求证：平面/8月4,平面BCC圈；

(2)求/C与平面BCCR所成角正弦值.

试卷第4页，共6页

18.已知圆K(x-2『+V=4,点E(-2,0),点G是圆产上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线尸G于点7,

点7的轨迹记为曲线C

(1)求曲线。的方程；

⑵已知曲线C上一点M(2,%)(%>0),动圆N：(x-2)2+/=r2(r>0),且点M在圆N外，过点M作圆N的两

条切线分别交曲线C于点/，B

①求证：直线A8的斜率为定值；

②若直线48与x=2交于点0,且SAB9“=2S△放”时，求直线4B的方程.

试卷第5页，共6页

19.给定正整数NN3,已知项数为加且无重复项的数对序列A：（再，必）,（乙,%），・・,，（4,B）满足如下三个性质：

①%,%e{l,2,…,N},且x产％[=1,2,…,机）；②0]=%«=1,2,…,〃2-1）；③（0应）与（见同不同时在数对序列A中.

⑴当N=3,加=3时，写出所有满足无1=1的数对序列A；

⑵当N=6时，证明：m<13；

⑶当N为奇数时，记机的最大值为T（N）,求T（N）.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】先将数据从小到大排列，结合数据的中位数、众数的概念，即可求解.

【详解】数据由小到大排列为5,5,6,7,8,8,8,

因此，这组数据的众数为8,中位数为7.

故选：D.

2.C

【分析】分类讨论椭圆焦点的位置，利用椭圆离心率的定义得到关于加的方程，解之即可得解.

【详解】因为椭圆C:二f+/=1（加>0）,离心率为C二=1

m。2

当其焦点在x上时，a2=m\b2=\,贝！/=加2一1,

所以二=[21=1，又fn>0，解得m=;

a2m243

当其焦点在〉上时，。2=1万=/,则02=/一〃=1一加2,

所以；=0二=上，又〃1。,解得机=且；

a2142

综上，m=2"或加=.

32

故选：C.

3.C

【分析】写出等差数列的通项公式以及前〃项求和公式，利用题中所给的条件即可.

【详解】设｛%｝的通项公式为，其中％是首项，d是公差，

贝|%%+4d,&=%+5",邑=%；%x4=4%+6d,

由题意%+5d=%+44+4%+6d,解得,又%=4+64=19,

代入得q=-5,4=4,得%=-5+4x4=11,得工=幺爱x5=15.

故选：C

4.D

【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.

【详解】对A：在平面a内，存在无数条直线和/垂直，故A错误；

对B：当/ua时，/与加不是异面直线，故B错误；

对C：若/Ie=/,且/任优，/与"?为异面直线，故C错误；

对D：若〃/a,在&内存在直线与/垂直，故其可能与加垂直，故D正确.

故选：D.

5.B

【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.

【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有C；=5种选法，

他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A；=4x3=12种选法，

所以此时满足题意的选法有C|A；=5x12=60,

由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有C；=4种选法，

他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A：=5x4=20种选法，

所以此时满足题意的选法有C；A；=4x20=80,

综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于60+80=140种.

故选：B.

6.D

4—1-.

【分析】设瓦尸分别为8c的中点，结合三角形相似推出S"c=wS四边/CM，由题意可得1/k=5，Q尸|=1,确

定四边形/C跖面积的最大值，即可得答案.

答案第1页，共10页

【详解】设瓦厂分别为3c的中点，连接E尸，

则EF/7AC,则ABEF^NBCA,故S颇=-5

34

9

则S四边形AW=ABC故SABC=四边形幺火尸

又存+狗=1,"+词=2,贝ij恒+矶=〔2码=1,伊+西=p丽卜2,

—►1―►

^\AE\=-,\CF\=\,

当时，四边形力。£尸面积最大，最大值为[x]xl=J,

224

故^ABC的面积的最大值4为1=：1,

343

故选：D

7.D

【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.

【详解】法一：不妨设工£[0,2兀],则/<%)=6cosx+2百cos?x-百,

整理得到：/\x)=^(2cosx-l)(cosX+1),

当》《0,扪9,2兀)时,仆)>0；当时,f'(x)<0,

故/'(x)在(0高。,2兀)上为增函数，在为减函数，

而/(2兀)=0,(；)=；，故/(x)的最大值为:

2tan—I—tan—

法二：由万能公式得sinx=---------,cosx=----------

tan2—+Itan2—+1

22

2tan—I-tan2—4忑-tan±

代入原式并化简得/W=@X-------2_(i+----------%=...............—,

tan2—+ltan2—+l(tan2^-i-l)2

222

令tan]=f,因为题设中欲求最大值，故可设t>0,

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基

本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.

8.C

【分析】根据重心性质得出中点。的坐标，根据直线/与E的右支交于42两点可知点。在右支内部，

将。的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线/的斜率与4。之间等式关系，

由尸不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线/的斜率与Ac之间等式关系，

答案第2页，共10页

即可得斜率的取值范围，解出即可.

【详解】设。为的中点，根据重心性质可得砺=2万，

因为厂（c,0）,M（0,36）,贝

因为直线/与£的右支交于48两点，所以点。在双曲线右支内部,

9c29b2信

故有彳彳、/解得£>如，

kLa3

当直线/斜率不存在时，48的中点。在x轴上,

故M,尸，。三点不共线，不符合题意舍，

设直线/斜率为%,设/（%,必）,夕（工2，%），

所以再+%=允，yl+y2=-3b,

因为48在双曲线上，所以\2

红一旦

L2b2~

2_22_2

两式相减可得：再卞=必,

ab

（七-七乂占+>2）=（M-％）（%+%）,

a2b2

即有3c尸）成立,

a2b2

即有自8=-与，因为M,尸,48不共线，

,即02R3a2,即

C

所以£的离心率的取值范围为

），

故选：C

【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题

的思路有：

（1）设出点的坐标”（再,g）,8仁,力）；

（2）根据中点坐标建立等式：玉+/，%+%;

（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形;

（4）将Xj+z，%+%及太=旦二21代入等式中即可得出关系.

再一修

9.CD

答案第3页，共10页

【分析】由正弦定理可得答案.

a_c

【详解】由正弦定理

sinAsinC

,2g'义上r

得.qsmCV2百，

smA=-----=------尸）一=——

c2V22

又因为a>c,所以N>C,

因为0°</<180°,所以。=60°或/=120、

故选：CD.

10.ABC

【分析】根据复数的四则运算，结合共轨复数的定义即可求解ABC,举反例即可求解D.

【详解】设4=〃+6i,z2-c+di（a,b,c,deR,b^O,d^0）.zl+z2=a+c+（b+d}i,zxz1-ac—bd+{<ad+bc\\.

2

若Z=Z2，则。=。，b+d=Q,所以4+Z2=2aeR,zxz2=a+b~eR,所以A正确；

若Z+z?与Z]Z2均为实数，则6+d=0,且ad+6c=0,又bwO,d力0,所以（z=c,所以B正确；

若Z2均为纯虚数，则“=c=0,所以五=?eR,所以C正确；

z?d

取向=2+2i,z2=l+i,则五为实数，但z?不是纯虚数，所以D错误.

Z2

故选：ABC.

II.BCD

【分析】A选项，赋值法得到/（2）=0；B选项,赋值得到/'（0）=1,/（尤+2）=-/（2-x）,f（x+4）=-f（x）,从

而得到/（一力=/（尤）,B正确;C选项,令〉=一x,则〃0）=/（力/（一x）-/（2-力/（2+尤）,结合/■⑼=1,

/（-%）=[（x+2）=-〃2r）,得到C正确；D选项，得到/'（x）的一个周期为8,并计算出

2023

/（2）=0,/（4）=-1,/（6）=/（-2）=0,/（8）=/（0）=1,/（1）+-+/（8）=0,从而得到£/⑴=一1.

1=1

【详解】对于A项,由小+刃=/（"（力-7（2-"（2-耳,

令尤=y=l,则/（2）=[/（1）]2_卜（1）]2=0,故A项错误；

对于B项，令x=y=0,则/（0）=[〃0）了_[/⑵?=[/（0）]2,

因/（0）*0,故/'（0）=1,

令y=2,则/卜+2）=/（力/（2）-/（27）/（0）=-/（2-力①,

知函数关于点（2,0）成中心对称，

令x=y=2,则/（4）=[/（2）卜卜（0）了=-1,

令y=4,则/（x+4）=/（x）/（4）-〃2-x）/（-2）=-〃x）②，

由①可得：/（尤+4）=-/（-尤）③，由①③可知：/（-x）=/（x）,

且函数/（x）的定义域为R，则函数/（X）是偶函数，故B项正确；

对于C项，令>=—x,则/（O）=/（X）/（T）—/（2-x）=（2+x）,

因为/（。）=1,f（-x）=f（x）,〃x+2）=_/（2-x）,代入上式中得，

故得：[/（X）]2+[/（2+X）]2=1,故C项正确;

对于D项，由上可知：/（尤+4）=-/（无），贝iJ/（x+8）=-/（x+4）=/（x）,

故函数的一个周期为8.

令x=2,k1,则〃3）=〃2）/⑴一/'（0）/（1）=-/⑴，即有〃3）+/⑴=0,

因函数是偶函数，故有止3）+/（T）=0,

由函数/（x）的一个周期为8,则/⑸+/⑺=/（-3）+/（-1）=0,

答案第4页，共10页

由上知：由2)=0J(4)=_lJ(6)=/(-2)=0J(8)=/(0)=l,

于是:/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）+/（7）+/（8）=0+0+（-1）+0+0+1=0,

2023

则E/（'）=253X0-/（2024）=-/（8）=-1,故D项正确.

i=l

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：设函数>=f(x),xeR,a>0,a'b.

(1)若/(x+a)=/(i),则函数/(x)的周期为2a；

(2)若/(x+a)=-/(x),则函数〃x)的周期为2a；

若（

（3）右”fx+a]J=---“--二X），,则函数〃力的周期为2a；

(4)若/(x+a)=木，则函数/(X)的周期为2a；

(5)若/(x+a)=/(x+b),则函数f(x)的周期为小

(6)若函数/("的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数/(x)的周期为2。-4；

(7)若函数〃无)的图象既关于点(。,0)对称，又关于点修,0)对称，则函数的周期为2。-4；

(8)若函数/(力的图象既关于直线x=a对称，又关于点(40)对称，则函数/(X)的周期为4|6-

(9)若函数/(x)是偶函数，且其图象关于直线x=。对称，则/'(x)的周期为2a；

(10)若函数［(x)是奇函数，且其图象关于直线尤=〃对称，则/(x)的周期为4a.

12.1或0

【分析】根据包含关系可求参数的值，注意讨论集合3是否为空集即可.

【详解】^={X|X2-2X+1=0}={1},

•.♦/C8="8={1}或8=0,

故。=1或。=0.

故答案为：1或0

13.V32

【分析】设正三角形的边长为。，根据题意，列出方程求得轴截面正三角形的边长，进而求得圆锥的高和母线长.

【详解】设正三角形的边长为。，因为轴截面的面积为百，可得立/=#，解得。=2,

4

由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为3a=6,

2

圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.

故答案为：百；2；

14.-/0.25

4

【分析】由一元二次不等式恒成立得c2£>0、a>0,将问题化为求:="空翼的最小值，令加=2<0则

4aa-lba

34m+m2

z1+

-8'n,应用基本不等式求最值，注意取值条件.

—m

2

ftz>0—A2

【详解】由题设A小//△，有62V4ac,又b<0,贝！|cN'>0,

A=ft--4ac<04a

又(l-t)a+(l+2/)6+3c=a+b+3c+(26-(z",贝!j26-a<0,

故存在f—+3小。成立，则；,，

答案第5页，共10页

brb、AAD

2/入_LzA_(I------)7134m+TH

所以f=l+,,21+3/~狂，令〃z=2<o,故'」+1F

a-2b1a----m

1-----2

a

3(--m)+5(m--)+-91

所以f^l+了N------,------心4=1+13[(丁}机)+1---------5],且:-加>0,

8^-m824^-m)2

3193n93

而8虫2-⑼+J^-5]21[22-加)•)—-5]=-"，仅当g一机即加=-1等号成立,

4(--w)V4(-m)22

所以fN：,仅当。=-6且。=£=色时等号成立，故/的最小值为

44a44

故答案为二

【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求t="b；：c的最小值,

a-2b

结合换元法、基本不等式求最值.

15.(1)3尤-y-1=0；(2)定义域为(0,1)51,+网，单调性见解析.

【分析】(1)根据导数的几何意义，可得切线斜率为/'(1)=3,再由/(1)=2根据点斜式即可得解；

(2)由g(x)=I=1L可得xe(0,l)U(l,+s),再通过导数研究函数单调性即可.

j(x)xmx

【详解】(1)当m=1时，/(x)=2x+xlnx,

所以/(x)=2+lnx+l,/(l)=3,

又，/⑴=2

所以曲线y=f(x)在(1,7(1))处的切线方程为3x-j-l=0.

11

(2)当m=-1时，g(x)=

f(x)xInx

，函数gG)的定义域为(0,l)u(l,+O,

,,、lnx+1

••*。)=-而守’

当g'(x)>0时，xe(0,-),当g'(无)<0时，xe(-,l),xe(l,+co),

ee

11

...g(x)在(0,与上单调递增，在(二1)上单调递减，在(1,+«0上单调递减.

ee

4

16.(1)分布列见解析；期望为§

T-n-\

⑵

【分析】(1)利用二项分布求解;

(2)法一：先求"次试验中，成功了0次或1次的概率，再利用对立事件求解；法二：先求尸(y=〃)=Grxg=W，

再利用错位相减求和.

【详解】(1)依题意，X〜44，!),

贝U尸(x=o)=

8&2

->尸(X=3)=C；I=1

答案第6页，共10页

1

p(X=4)=

81

故X的分布列为:

X01234

1632881

P

8181278181

14

^£(X)=4x-=-.

(2)方法一：设/=“停止试验时试验总次数不大于

n

贝l］£尸(y=i)=P(Y=2)+尸(Y=3)+尸(y=4)+--+P(Y=n)=P(A),

i=2

I="〃次试验中，成功了0次或1次”，

“"次试验中，成功了0次”的概率［二1-曰V；

“"次试验中，成功了1次”的概率£=(2卜］1_口x-=—.

2(2)22"

»—n—1

所以£尸《=。=1一耳一£=—^・

i=2乙

方法二：事件“y="”表示前n-l次试验只成功了1次，且第〃次试验成功,

故尸(』)=%xg=，

所以£"=，)=：+蛾+…+三,

„„1123n-2n-1

则/e尸+梦+”一+

2〃+^7T'

两式相减得：="+：+，+J+…+

।2°—77—1口口Sw«\12377—127—77—1

贝n1Js”=—即2尸(丫=')=尹+尹+尹+一・+万丁=^^-

Zj=2乙乙乙乙乙

17.(1)证明见解析

⑵sin。=g

【分析】(1)利用线线垂直性质定理证明；

(2)将棱台补全为棱锥，利用等体积法求A到平面3CG耳的距离，结合线平面角的定义求NC与平面8CC圈所成

角的正弦值.

【详解】(1)由/4BC=90。，得ABJ.BC,

由AAX1平面ABC,BCu平面ABC,则AAX1BC,

又c48=4AAVABu平面ABB4,所以5CJ,平面ABBXAX,

因为BCu平面48。1左，所以平面N8耳％，平面8CC圈.

(2)将棱台补全为如下棱锥。-48C,

答案第7页，共10页

由N/3C=90。，/4=4月=8|G=1,AB=2,易知。/==BC=2,AC=2亚,

由/4_!_平面，8C,NB,4C,BCu平面A8C,则工4，/8,AA^IAC,AAt1BC,

所以8。=2夜，CD=2y[3.

可得&…*x2回2应,

设A到平面8CG4的距离为〃，又%皿=VA-BCD，

则;x2xgx2x2=g/!x26，可得〃=&,

设/C与平面2CC画所成角为。，,则sinO=2=；.

/_A(_zL

2

18.(l)x2-^-=l；

3

(2)①证明见解析；②46x+23y+31=0或22x+lU-13=0.

【分析】(1)由垂直平分线的性质，探讨点T具有的几何特征，再结合圆锥曲线的定义求解即得；

(2)①设出直线的方程，与曲线C的方程联立，结合圆的切线性质，利用韦达定理及斜率坐标公式推理即得;

②利用①的信息，利用给定的面积关系求出点48横坐标关系，即可计算得解.

【详解】(1)圆足(x-2『+/=4的圆心厂(2,0),半径厂=2,

如下左图，|阳一|叱|=|73-|7^=-6|=2<4=忸m，

如上右图,\TF\-\TE\=\TF\-\TG\=\FG\^2<4^\EF\,

因此||TE\-\TF\\=\\TG\-\TF||=|FG\=2<4=\EF\,

点T的轨迹是以点E、尸为焦点，且实轴长为2a=2的双曲线，其中焦距2c=4,虚半轴长°=&=6

2

所以点T的轨迹。方程为——匕=1.

3

(2)①设点力(石,必)，3(x2，%)，直线45的方程为歹=履+加，

%2_/=1

由<3消去〉得(3—左2)]2一2^7nx一加2一3=。，

y=kx+m

其中3—左2。0,且八二4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=12(m2-A;2+3)>0,

…2km…一m2中+3’

由点M(2,%)(%>0)在曲线。上，得M(2,3),显然直线和直线关于x=2对称，

答案第8页，共10页

0

直线M4和直线儿S的斜率kMA,kMB满足左⑼+左皿=0，即=+红W=，

整理得区-2)(%-3)+(必-3)(%-2)=0,

即(再一2)(生+加一3)+(烟+m-3)(x2-2)=0,

整理得2kxix2+(加一22-3)(再+々)—4(加一3)=0,

2k(m2+3)2km(m—2k—3)

即_-4(m-3)=0,

3-r+3-左2

于是2左2+（冽+1）左+2（冽-3）=0,即（左+2）（2左+加一3）=0,贝I」左=—2或加=3—2左，

当〃7=3-2左，直线方程为了=左（》-2）+3,此直线过定点（2,3）,不符合题意，

所以直线的斜率为定值-2.

裙+3,显然沁=白即合"=-=；

,△BQM乙、自BQNI1I/

当"1一”二〈时，x2=2xx-2,西+々=玉+2演一2=4加，即1=4加+2,98m-2

2—x2233

31

4m+28m-22

再％=3=m+3,解得冽=1或加=---,

323

31

当机=1时,A=0,不符合题意，当加=-三时，直线方程为46X+23>+31=0,

2—x,=一；时，x=6-2x,即玉=6-4加，x=8m-6,

当----12}2

口2-

13

2

x1x2=(6-4m)(8m