2024年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在东西走向的马路上，若把向东走1km记做+1km，则向西走2km应记做（）A．+2km B．﹣2km C．+1km D．﹣1km2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．a2+a3＝a53．（3分）如图是我们常见的盒装牛奶，它的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列统计量中，能够反映不同种子发芽率稳定性的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若（）A． B． C． D．6．（3分）如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA，OC，OD，若（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：167．（3分）如图，在⊙O中，△AOB是正三角形上，若∠CAB＝20°，则∠ABC＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°8．（3分）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”．意为：里长们（“里”是指古代的一种基层行政单位）在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事．若每里出5钱，则多出35钱，则多出5钱．问办酒席需多少银子，里的数量有多少个？若设里的数量有x个，则可列方程组为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E在AD上，且AE＝3，连结EF，将四边形ABFE沿直线EF翻折得到四边形MNFE．当D，M，BF的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或10．（3分）已知点P（4t，m），Q（t2+5，n）都在反比例函数的图象上（）A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．|m|＞n D．|m|＜n二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个比1大的无理数是．12．（4分）因式分解：a2﹣1＝．13．（4分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张．14．（4分）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，则t的取值范围为．16．（4分）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，则矩形的长与宽之比为．三、解答题（本大题有8小题，共66分）17．（6分）计算下列各式：（1）；（2）（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣2）．18．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0．（1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，并解此方程．（2）若这个方程无实数根，求a的取值范围．20．（8分）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，C．地铁小义工，D．警营岗位体验（缺少部分信息）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图．（2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数．（3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？21．（8分）小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程y（米）与小江登山时间x（分钟）（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）．（1）小江休息前登山的速度为米/分钟，小北减速后登山的速度为米/分钟．（2）求a的值．（3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？22．（10分）如图，在矩形ABCD中，分别以点A，大于长为半径在线段AC的两侧分别画弧，H，作经过点G，H的直线与线段AD，F，且与AC交于点O，连结CE（1）判断四边形EAFC的形状，并说明理由．（2）若AB＝4，AD＝3，求CE的长．23．（10分）【问题背景】小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣．当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．【高度测算】小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°，当第一次大喊时，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高AD为1.5米．任务1：求第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值．（仅结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.7）【初建模型】泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（m）（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．任务2：根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为．【数据分析】为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：时间t（秒）01.51.7522.252.5响度x（分贝）036496481100任务3：为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据【推理计算】据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．任务4：试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．24．（12分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，点A是，CD≠CB．直线MN与⊙O相切于点A，交CD的延长线于点E，思考并解决以下问题：（1）求证：∠EAD＝∠ACB．（2）求DE•CB的值．（3）如图2，在AC上取一点F，使∠CAB＝2∠CDF．①判断AD与AF的数量关系，并说明理由．②如图3，作FH⊥BC于点H，AI⊥BD于点I．若FH：AI＝2：3，，请直接写出tan∠OFG的值．

2024年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在东西走向的马路上，若把向东走1km记做+1km，则向西走2km应记做（）A．+2km B．﹣2km C．+1km D．﹣1km【解答】解：向东走1km记做+1km，则向西走2km应记做﹣2km，故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．a2+a3＝a5【解答】解：A、（a2）3＝a2，故原题计算正确；B、a6÷a2＝a3，故原题计算错误；C、a2•a3＝a8，故原题计算错误；D、a2和a3不是同类项，不能合并；故选：A．3．（3分）如图是我们常见的盒装牛奶，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一列三个相邻的矩形，故选：A．4．（3分）下列统计量中，能够反映不同种子发芽率稳定性的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【解答】解：能够反映不同种子发芽率稳定性的是方差，故选：D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若（）A． B． C． D．【解答】解：∵tanB＝＝，∴设AC＝7x，BC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝5x，∴sinA＝＝＝．故选：B．6．（3分）如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA，OC，OD，若（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【解答】解：，∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似，且相似比为3：4，∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为1：16，故选：D．7．（3分）如图，在⊙O中，△AOB是正三角形上，若∠CAB＝20°，则∠ABC＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【解答】解：连接OC，∵△AOB是正三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠CAB＝20°，∴∠COB＝2∠CAB＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∴∠ABC＝∠AOC＝10°，故选：A．8．（3分）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”．意为：里长们（“里”是指古代的一种基层行政单位）在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事．若每里出5钱，则多出35钱，则多出5钱．问办酒席需多少银子，里的数量有多少个？若设里的数量有x个，则可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得．故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E在AD上，且AE＝3，连结EF，将四边形ABFE沿直线EF翻折得到四边形MNFE．当D，M，BF的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：如图1，D，M，N三点共线，连接DM，∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，点E在AD上，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝6，∴∠NLF＝∠CLD＝∠EDM，DE＝AD＝8﹣3＝7，由翻折得∠EMN＝∠A＝90°，∠N＝∠B＝90°，ME＝AE＝3，∴∠EMD＝90°，∴DM＝＝＝4，∴＝sin∠CLD＝sin∠EDM＝＝，∴DL＝CD＝，∴NL＝DM+MN﹣DL＝4+5﹣＝，∵＝tan∠NLF＝tan∠EDM＝＝，∴BF＝NF＝NL＝×＝；如图2，D，M，N三点共线，设FN交CD于点K，∵MN＝AB＝5，DM＝4，∴DN＝MN﹣DM＝5﹣4＝6，∵∠CKF＝∠NKD＝90°﹣∠NDK＝∠MDE，∴＝sin∠NKD＝sin∠MDE＝＝，∴DK＝DN＝，∴CK＝CD﹣DK＝5﹣＝，∵＝tan∠CKF＝tan∠MDE＝＝，∴CF＝CK＝×＝，∴BF＝BC﹣CF＝8﹣＝，综上所述，BF的值为或，故选：C．10．（3分）已知点P（4t，m），Q（t2+5，n）都在反比例函数的图象上（）A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．|m|＞n D．|m|＜n【解答】解：t2+5﹣8t＝t2﹣4t+6﹣4+5＝（t﹣4）2+1，∵（t﹣7）2+1≥2，∴t2+5＞5t．又∵反比例函数k＞0，函数值y随x的值增大而减小，∴m＞n．当点P和点Q在第一象限时，m＞0，n＞2，即|m|＞n；当点P和点Q在第三象限时，m＜0，n＜0，即|m|＞n．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个比1大的无理数是π．【解答】解：比1大的无理数可以为：π（答案不唯一），故答案为：π12．（4分）因式分解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a2﹣1＝a5﹣12＝（a+3）（a﹣1）．13．（4分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张．【解答】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，其中编号是偶数的可能性有5种可能性，∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，故答案为：．14．（4分）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则．【解答】解：过F点作FH⊥BC于H点，如图，∵BC∥DE，∴∠FCH＝∠E＝30°，∴CH＝x，∵∠B＝45°，∴BH＝FH＝x，∴BF＝BH＝x，∴BC＝x+x＝（，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝x，∴AF＝AB﹣BF＝x﹣x，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝＝．故答案为：．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，则t的取值范围为﹣3＜t＜0或t＞1．【解答】解：∵抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+8a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，B（8，∴点B的对称点为B′（﹣2，3a），令y＝2，得﹣ax2﹣2ax+8a＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1，∴C（﹣2，0），0），根据题意可知，需要分类讨论：当点P在x轴的下边，如图7当点P在x轴的上边，y轴左边时，如图2，此时﹣2＜t＜8；当点P在BB′上方，y轴右边时，不合题意；当点P在BB′下方，y轴右边时，抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，此时t＞1；综上所述，当抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．故答案为：﹣2＜t＜7或t＞1．16．（4分）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，则矩形的长与宽之比为．【解答】解：如图，线段MN的长度即为矩形的长．设AB＝a，可得，∵，∴DP＝DB+BK+KP＝a+（2﹣）a+4a＝（5﹣，∴矩形的长与宽之比为．故答案为：．三、解答题（本大题有8小题，共66分）17．（6分）计算下列各式：（1）；（2）（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣2）．【解答】解：（1）原式＝﹣8+1+6＝﹣5；（2）原式＝x2﹣2﹣x2+2x＝2x﹣4．18．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0．（1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，并解此方程．（2）若这个方程无实数根，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝7有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥4，（﹣3）2﹣2×1×a≥0，3﹣4a≥0，﹣8a≥﹣9，，∴当a＝2或7时，这个方程有实数根，当x＝2时，原方程为：x2﹣5x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣6＝0或x﹣1＝7，x1＝2，x5＝1；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0，（﹣3）7﹣4a＜0，8﹣4a＜0，﹣3a＜﹣9，．20．（8分）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，C．地铁小义工，D．警营岗位体验（缺少部分信息）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图．（2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数．（3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？【解答】解：（1）12÷6%＝200（人），∴选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数：200﹣68﹣40﹣12＝80（人），补全的条形统计图如下图所示：答：选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数有80人．（2）“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数：×360°＝72°，答：“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数为72°．（3）2000×＝680（人），答：该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有680人．21．（8分）小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程y（米）与小江登山时间x（分钟）（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）．（1）小江休息前登山的速度为10米/分钟，小北减速后登山的速度为12米/分钟．（2）求a的值．（3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？【解答】解：（1）小江休息前登山的速度为＝10（米/分），∵小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，∴小北减速前的速度为20米/分，∴小北到达半山腰所用时间为：＝15（分），∴小北减速后登山的速度为＝12（米/分），故答案为：10，12；（2）根据题意得：10a＝20（a﹣8），解得a＝16；（3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为48﹣35＝13（分钟），∴小江的速度至少为（米/分），∴﹣10＝，∴小江加速后的速度至少要比原来提高米/分钟．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，分别以点A，大于长为半径在线段AC的两侧分别画弧，H，作经过点G，H的直线与线段AD，F，且与AC交于点O，连结CE（1）判断四边形EAFC的形状，并说明理由．（2）若AB＝4，AD＝3，求CE的长．【解答】解：（1）四边形EAFC为菱形．理由如下：由作法得EF垂直平分AC，∴EA＝EC，DA＝FC，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴AE＝CF，∴AE＝CE＝AF＝FC，∴四边形EAFC为菱形；（2）∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，设CE＝x，则AE＝x，∴DE＝x﹣3，在Rt△CDE中，（x﹣7）2+43＝x2，解得x＝，即CE的长为．23．（10分）【问题背景】小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣．当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．【高度测算】小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°，当第一次大喊时，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高AD为1.5米．任务1：求第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值．（仅结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.7）【初建模型】泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（m）（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．任务2：根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为h＝x．【数据分析】为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：时间t（秒）01.51.7522.252.5响度x（分贝）036496481100任务3：为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据【推理计算】据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．任务4：试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．【解答】解：任务1：由题意得，∠BAE＝15°，∴∠CAB＝90°，∠C＝15°，∵AD＝BE＝1.7，∴AE＝BE×tan∠ABC＝1.5×tan75°≈5.55，∴CE＝AE×tan∠CAE≈5.55×tan75°≈20.54．∴BC＝CE+BE≈20.54+1.3≈22（m）．任务2：设h＝kx，把x＝66，得，故答案为：．任务6：如图，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系，设x＝at2+bt，把t＝1.2