2023-2024学年江苏省镇江中考试题猜想数学试卷含解析

2023-2024学年江苏省镇江外国语学校中考试题猜想数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知抛物线y=X2+%+c的部分图象如图所示，若yVO,则x的取值范围是（）

A.-l<x<4B.-l<x<3C.xV-1或x>4D.或x>3

lax+by=3fx=1

2.已知关于x,y的二元一次方程组,的解为，，则a-2b的值是（）

ax-by=l[y=-1

A.-2B.2C.3D.-3

3.（-1）°+|-1|=（）

A.2B.1C.0D.-1

4.如图，将△ABC沿着。E剪成一个小三角形AOE和一个四边形。FC5,DE//BC,四边形。FC5各边的长度

如图所示，则剪出的小三角形AOE应是（）

5.把边长相等的正六边形ABC0E尸和正五边形GffCD乙的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG

交AF于点P,贝!|NAPG=（）

C.147°D.150°

6.计算3a2—a2的结果是（）

A.4a2B.3a2C.2a2D.3

7.已知e是一个单位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正确的是（）

A.同e=aB.\e\b^bC.^=eD.百”"

8.如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于LAB为半径作弧，连接弧的交点得到直线1,在直线1上取一点

2

C,使得NCAB=25。，延长AC至点M,则NBCM的度数为（）

9.如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）

左视图俯视图片视图俯视图片视图俯视图片视图俯视图

10.如图，四边形ABCD是菱形，ZA=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积是

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

3

11.如图，点A(3,n)在双曲线丫=—上，过点A作AC，x轴，垂足为C.线段OA的垂直平分线交OC于点B,则

x

(k-5)x2-2x+2=0有实根，则k的取值范围为

直径AB_L弦CD,NA=28。，则ND=

14.在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD,点M为BD

中点，线段CM长度的最大值为

15.如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、所在的直线都是经过同一点O,且有OP，=kOP(k/)),那么

我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与4是关于点O的位似三角形,

OA，=3OA,则AABC与AA'B，(7的周长之比是.

16.据统计，今年无锡章头渚“樱花节”活动期间入园赏樱人数约803万人次，用科学记数法可表示为__人次.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)已知：如图，ZABC,射线BC上一点D.

求作：等腰APBD,使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在NABC内部，且点P到NABC两边的距离相等.

BD

18.(8分)我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、

8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数.另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉

斯学派提出的公式：。=2"+1,b^2n2+2n,。=2层+2"+1(”为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c

的数是一组勾股数.然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中

提到：当b=mn,c=—(m2+n2)(m^"为正整数，〃时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论,

22

解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37,且"=5,求该直角三角形另两边的长.

19.(8分)如图，A3是。。的直径，点C是A5延长线上的点，与。。相切于点。，连结3。、AD.

(1)求证；N5Z)C=NA.

(2)若NC=45。，。。的半径为1,直接写出AC的长.

20.(8分)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD(A、B、C、

D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.如图，正方形ABCD是一次函数y=x+l图

象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

k

(2)若某函数是反比例函数y=—(k>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数

x

图象上，求m的值及反比例函数解析式；

(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a/0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出

伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____,并判断你写出的抛物

线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？.(本小题只需直接写出答案)

21.(8分)(本题满分8分)如图，四边形ABCD中，一T二一二。丁="E是边CD的中点，连接

BE并延长与AD的延长线相较于点F.

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

22.(10分)如图，四边形ABCD内接于。O,NBAD=90。，点E在BC的延长线上，且NDEC=NBAC.

(1)求证：DE是(DO的切线；

(2)若AC〃DE,当AB=8,CE=2时，求AC的长.

k

23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=—(x>0)的图像与边长是6的正方形ORC的两边A5,

分别相交于M,N两点.若点M是A3边的中点，求反比例函数y=勺的解析式和点N的坐标；若40=2,求

直线MN的解析式及△OMN的面积

24.计算：2cos30。+7^7J退一34（；尸

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

试题分析：观察图象可知，抛物线y=x2+bx+c与X轴的交点的横坐标分别为（-1,0）、（1,0）,

所以当y<0时,X的取值范围正好在两交点之间，即-1<X<1.

故选B.

考点：二次函数的图象.106144

2、B

【解析】

x=l2ax+by=3\la-b-3

把"弋入方程组得：\

y=­iax-by=l[a+b=l

4

（1———

3

解得：,

b=--

3

41

所以a-2b=一一2x（一一）=2.

33

故选B.

3、A

【解析】

根据绝对值和数的0次塞的概念作答即可.

【详解】

原式=1+1=2

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是绝对值和数的0次暴，解题关键是熟记数的0次募为1.

4、C

【解析】

利用相似三角形的性质即可判断.

【详解】

设AE=y,

'：DE//BC,

:.AADEs4ABC,

.AD_AEDE

...%_1;6

**x+12y+1614'

Ax=9,y=12,

故选：C.

【点睛】

考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5、B

【解析】

先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得

ZAPG的度数.

【详解】

(6-2)xl80°4-6=120°,

(5-2)x180*5=108。，

ZAPG=(6-2)x180°-120°x3-108°x2

=720°-360°-216°

=144°,

故选B.

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：（n-2）・180（吟3）且n为整数）.

6、C

【解析】

【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得.

【详解】3a2-a2

=（3-1）a2

=2a2,

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键.合并同类项就是把同类项的系数相加减，字母

和字母的指数不变.

7、B

【解析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向

量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【详解】

A,由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B.符合向量的长度及方向，正确；

C.得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

8、B

【解析】

解：•.•由作法可知直线I是线段AB的垂直平分线，

：.AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=25°,

：.ZBCM=ZCAB+ZCBA=250+25°=50°.

故选B.

9、D

【解析】

试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故

答案选D.

考点：D.

10、B

【解析】

根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABGgADBH,得出四边形GBHD的

面积等于AABD的面积，进而求出即可.

【详解】

连接BD,

•••四边形ABCD是菱形，ZA=60°,

:.ZADC=120°,

.•.Zl=Z2=60°,

.••△DAB是等边三角形，

；AB=2,

••.△ABD的高为g,

•.•扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,

.*.Z4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

/.Z3=Z4,

设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,

在AABG^IlADBH中，

ZA=Z2

{AB=BD,

Z3=Z4

/.△ABG^ADBH(ASA),

•••四边形GBHD的面积等于△ABD的面积,

，图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-SAABD=里比----x2x-\/3

3602

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2.

【解析】

先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3,AC=2,再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB,由此推出

△ABC的周长=OC+AC.

【详解】

3

由点A(3,n)在双曲线y=一上得,n=2..,.A(3,2).

x

•.•线段OA的垂直平分线交OC于点B,...OBnAB.

则在△ABC中，AC=2,AB+BC=OB+BC=OC=3,

.,.△ABC周长的值是2.

12、左〈口且左H5

2

【解析】

若一元二次方程有实根，则根的判别式△=bZ4acK>,且k-l#),建立关于k的不等式组，求出k的取值范围.

【详解】

解：•••方程有两个实数根，

.,.△=b2-4ac=(-2)2-4X2X(k-1)=44-8史0,且k-1邦，

解得：K二且后1,

故答案为且后1.

2

【点睛】

此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0访程有两个不相等的实数根；

(2)A=0的方程有两个相等的实数根；

(3)△<0历程没有实数根.

13>34°

【解析】

分析：首先根据垂径定理得出NBOD的度数，然后根据三角形内角和定理得出ND的度数.

详解：AB±^CD,.*.ZBOD=2ZA=56°,/.ZD=90°-56°=34°.

点睛：本题主要考查的是圆的垂径定理，属于基础题型.求出NBOD的度数是解题的关键.

14、1

【解析】

作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和

EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解.

【详解】

作AB的中点E,连接EM、CE,

在直角△ABC中，AB=7AC2+BC2==10,

VE是直角△ABC斜边AB上的中点，

1

/.CE=-AB=5,

2

是BD的中点，E是AB的中点,

1

，ME=—AD=2,

2

.•.在△CEM中,5-2<CM<5+2,BP3<CM<1,

二最大值为1,

故答案为L

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半解答.

15、1:1

【解析】

分析：根据相似三角形的周长比等于相似比解答.

详解：’.•△ABC与AA®。是关于点。的位似三角形，...△ABCS&4，B，C，.•.•QA，=IO4,.•.△ABC与△A®。的周

长之比是：OA：OA，=1：1.故答案为1：1.

点睛：本题考查的是位似变换的性质，位似变换的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行.

16、8.03X106

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.803万=8.03x10$.

三、解答题（共8题，共72分）

17、作图见解析.

【解析】

由题意可知，先作出NABC的平分线，再作出线段BD的垂直平分线，交点即是P点.

【详解】

•.•点P到NABC两边的距离相等，

.•.点P在NABC的平分线上；

•.,线段BD为等腰△PBD的底边，

；.PB=PD,

点P在线段BD的垂直平分线上，

...点P是NABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，

如图所示：

A

此题主要考查了尺规作图，正确把握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键.

18、（1）证明见解析；（2）当〃=5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.

【解析】

(1)根据题意只需要证明层+庐=02,即可解答

(2)根据题意将〃=5代入得到(/-52),b=5m,c=-(m2+25),再将直角三角形的一边长为37,分别分三

22

种情况代入a=L(m2-52),b=5m,c=—(m2+25),即可解答

22

【详解】

(l)Va2+Z>2=(2n+l)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+l+4n4+8n3+47i2=4n4+8n3+8n2+4n+l,

c2—(2n2+2n+l)2—4n4+8n3+8n2+4«+l,

a2+b2=c2,

为正整数，

•*.«>b、c是一组勾股数;

⑵解：•.”=5

1,,1

.,.a=—(nr-52),b=5m,c=—(m2+25),

22

直角三角形的一边长为37,

分三种情况讨论，

①当a=37时，—(m2-52)=37,

2

解得加=±3而(不合题意，舍去)

②当y=37时，5机=37,

解得帆=彳37(不合题意舍去)；

③当z=37时，37=—(m2+n2),

2

解得加=±7,

Vm>n>0,m>〃是互质的奇数，

:・m=7,

把根=7代入①②得，x=12,y=l.

综上所述：当”=5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.

【点睛】

此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键

19、(1)详见解析；(2)1+72

【解析】

(1)连接前，结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解(2)根据勾股定理先求OC,再求AC.

【详解】

(1)证明：连结0D.如图，

CD与Q相切于点。，

.-.OD1CD,

.•./2+4DC=90。，

AB是。的直径，

NADB=90。,即N1+/2=90。，

..11=4DC,

OA=OD,

4DC=/A；

(2)解：在Rt—ODC中，"=5°,

OC=yJlOD=V2

:.AC=OA+OC=l+>/2•

【点睛】

此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

?7223

20、(1)；(2)y=-；(3)(-1,3)；(7,-3)；(-4,7)；(4,1),对应的抛物线分别为y=——X2+——；

3x4040

32,13,55oj,

y=-x+-；y=~x2+亍,偶数.

【解析】

(1)设正方形ABCD的边长为a,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=血，求出a,

(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE乌△BAO^^CBF,列出m的等式解出m,

(3)本间的抛物线解析式不止一个，求出其中一个.

【详解】

解：(1)二•正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.

当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，

/.AO=1,BO=1,

二正方形ABCD的边长为拒，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设正方形的边长为a,得3a=血,

a=-,

3

所以伴侣正方形的边长为夜或;也；

(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴，

知4ADE^ABAO^JACBF,

此时，m<2,DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2-m

AOF=BF+OB=2

•'C点坐标为(2-m,2),

/.2m=2(2-m)

解得m=l,

2

反比例函数的解析式为y=—,

(3)根据题意画出图形，如图所示:

过C作CF_Lx轴，垂足为F,过D作DELCF,垂足为E,

.IACED^ADGB△AOB△AFC,

VC(3,4),即CF=4,OF=3,

，EG=3,DE=4,故DG=DE-GE=DE-OF=4-3=1,

则D坐标为(-1,3)；

设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b,

a+b=3

把D和C的坐标代入得：八，,，

9a+b=4

1

Cl——Q

解得郎.

b=—

[8

.•.满足题意的抛物线的解析式为y=^1x2+一23；

88

同理可得D的坐标可以为：(7,-3)；(-4,7)；(4,1),；

731355

对应的抛物线分别为丁=2炉+"；y=^+-；y=|x2+y,

所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.

21、(1)见解析；(2)0：或大3

【解析】

试题分析：(1)根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完

成证明；

(2)由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积.

试题解析：(1)证明：VZA=ZABC=90°

；.AF〃BC

:.ZCBE=ZDFE,ZBCE=ZFDE

YE是边CD的中点

/.CE=DE

/.△BCE^AFDE(AAS)

/.BE=EF

，四边形BDFC是平行四边形

(2)若ABCD是等腰三角形

①若BD=DC

在RtAABD中，AB=、二口,-二"=

四边形BDFC的面积为S=：7x3=6.7；

②若BD=DC

过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；

③若BC=DC

过D作DGLBC,垂足为G

在RtACDG中，DG-二匚:一二二：==\?

二四边形BDFC的面积为S="7.

考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积

22、(1)证明见解析；(2)AC的长为竺好.

5

【解析】

(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BDLDE,即可得出结论；

(2)先判断出AC±BD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BCD^ADCE,求出CD,再用勾股定理求出BD,

最后判断出△CFD^ABCD,即可得出结论.

【详解】

(1)如图，连接BD,

工点O必在BD上，即：BD是直径，

:.ZBCD=90°,

/.ZDEC+ZCDE=90°.

VZDEC=ZBAC,

AZBAC+ZCDE=90°.

VZBAC=ZBDC,

AZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,BP：BD±DE.

•・,点D在。O上，

・・・DE是。O的切线；

(2)VDE/7AC.

■:ZBDE=90°,

:.ZBFC=90°,