2023-2024学年吉林省第二实验学校九年级（上）第四次月考数学试卷

2023-2024学年吉林省第二实验学校九年级（上）第四次月考数

学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是（）

abed

-4-3-2-101234

A.aB.bC.cD.d

2.（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭

州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地154.37

公顷，请将数据2720000用科学记数法表示为（）

A.0.272X107B.2.72X107C.2.72X106D.272X104

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a~aB.a~ci

C.cT'a）—c^D.（-2a2匕）2—4a4b2

4.（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

6.（3分）如图是一款汽车千斤顶的示意图，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺

旋杆点8、。、尸、。四点共线，当BD=m,A,C两点之间的距离为（）

A.mtanCLBmsinaC.mtanaD.msina

22

7.（3分）小明按照以下步骤画线段A8的三等分点:

画法

（1）以A为端点画一条射线；

（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线

段AC、CD、DE,连接BE；

（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线

段A8于点M、N.M、N就是线段AB的三

等分点.

这一画图过程体现的数学依据是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两条平行线之间的距离处处相等

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边0A在y轴上，点B为AC的中点，反

比例函数y=K（尤>0）,C两点.若△AOC的面积是6,则上的值是（）

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）分解因式：a2-6a+9—.

10.（3分）若关于尤的方程/+6x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值是.

11.（3分）某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了a（a<20）千

克元.

12.（3分）如图，以正六边形A8CQEF的顶点C为旋转中心，将正六边形ABCDEP按顺

时针方向旋转，则正六边形A8COE/至少旋转.

13.（3分）将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点3、C落在量角器

所在的半圆上，且点8、C的读数分别为30。，若该量角器所在半圆的直径为8cm,则

弧BC的长为cm.

14.（3分）如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截

面示意图（图2）,足球离地面的高度〃（相）与足球被踢出后经过的时间t（s）

图1图2

则该运动员踢出的足球在第s落地.

三、解答题（共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（x+2）（尤-2）+x（4-x）

16.（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《唐

诗》《宋词》《论语》（依次用字母A、8、C表示），背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时

小雨先从三张卡片中随机抽取一张，洗匀后，再由小利从中随机抽取一张，请用列表或

画树状图的方法，求小雨和小利诵读两个不同材料的概率.

17.（6分）学校组织学生到离学校90hw的生态园研学，队伍8：00从学校坐大巴车出发.张

老师因有事情，8：30从学校自驾小车沿相同路线以大巴车1.5倍的速度追赶，结果比队

伍提前15分钟到达生态园.求大巴车的平均速度.

18.（7分）如图，八金。是。。的内接三角形，A3是O。的直径，BC=10,点尸在A3上,

交。。于点。，连接8。，垂足为£

（1）求证：ADBE—LABC.

（2）若BD=3遥，则CE=_______.

19.（7分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车.在爸爸的预算范围内，小明收集了A,B,

C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、

舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据

2022年9月杀023年3月A、B、C

三款新能源汽车月销售量统计图

2022年9月杀023年3月A、B、C

三款新能源汽车网友评分数据统计图

八销售里:（辆）8840--

90008153

8000

70006307

70151

6000530

5000~4667

4922

4000-3457

305755063015

W—.

3000■3279\

20002479

17252248

1000247528221563

0910—1130103宜份

O

（1）数据分析:

①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数是；

②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2

的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数.

（2）小明妈妈看重市场销售量的数据，她更倾向于销售量变化较稳定的车型，根据小明

妈妈的想法

20.（7分）如图，在6义6的正方形网格中，A、B、C、。均为小正方形的顶点，保留作图

（2）在图2中AC边上找到一点P（不与点A重合），连结。F,使得。尸

（3）在图3中A8边上找到一点G,使得tanZBCG=^.

4

21.（8分）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游可能会成为我们的生活常态.小诚

骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小诚离家一

段时间后，如图是他们离家的路程y（加1）与小诚离家时间x"）,已知妈妈驾车的速度

是小诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：

（1）妈妈驾车的速度是km/h.

（2）求小诚在游玩后前往乙地过程中，小诚离家的路程y与尤的函数关系式.

（3）若妈妈比小诚还早30分钟到达乙地，则在妈妈出发后，直接写出小诚离家几小时

后两人相距10历".

22.（9分）【感知】如图1,在正方形A8C。中，点尸在边AB的延长线上，过点。作。M

LPD,交8C的延长线于点求证：ADAP咨ADCM.

【探究】如图2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,过点。作。Q_LAB,交AC于点。，

连结产。，过点。作QMLP。，AC=5,AO=2Z）8里的值.

QM

【应用】如图3,在中，ZBAC=90°,点。在边AC上，连结尸。ZPQM

的边QM交边BC于点M.若AC=2AB,C0=2AC曳的值.

5QM

图1图2图3

23.（10分）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,8C=6.点M、N分别是BC、AC的中

点，动点P从点8出发以每秒2个单位的速度沿8-A-C向终点C运动（点尸不与点N

重合），点尸的运动时间为t秒.

（1）线段的长是.

（2）当点。落在△ABC边上时，求f的值.

（3）当与△ABC重叠部分图形是等腰三角形时，求四边形RWQV与△ABC重叠

部分图形的面积.

（4）当/=时，线段AQ最短，点。从开始运动到此时的运动

路径长是.

24.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线＞=7-依-2a+l经过点A（-1,0）,点P在抛

物线上，横坐标为优

（1）求a值.

（2）设点£＞是抛物线的顶点，过点尸作直线PE±y轴交抛物线于点E,当S"=S3PE

时，求7"的值.

（3）将抛物线上P、A两点之间的部分（包括端点）记作图象G,当图象G的最高点与

最低点在直线y=l-2m的异侧时

（4）设点Q（1-m,m）,在平面内构造面积最小的矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂

直且A,P,当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小且尸。平分

该矩形面积时，直接写出机的取值范围.

2023-2024学年吉林省第二实验学校九年级（上）第四次月考数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）实数mb,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是（

abd

一4一3—2—101234

A.aB.bC.cD.d

【解答】解：由数轴可知，|fl|>3,l<|c|<6,

这四个数中，绝对值最小的是b,

故选：B.

2.（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭

州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地154.37

公顷，请将数据2720000用科学记数法表示为（)

A.0.272X107B.2.72X107C.2.72X106D.272X104

【解答】解：2720000=2.72X1()6.

故选：C.

3.（3分）下列运算正确的是（）

o7

A.a~ciB.

C.=D.(-2a2匕)2=4〃%2

【解答】解：A.心与/不是同类项,所以不能合并

B.原式=/,故B不符合题意

C.原式=/，故C不符合题意

D.原式=4/庐，故。符合题意.

故选：D.

4.（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（)

【解答】解：从正面看，一共有三列、2、1.

故选：C.

5.（3分）如图，切O。于C，过圆心。点，NB=40°,则NA=（）

【解答】解：YBC切。。于C,

：.ZOCB^90°，

VZB=40°，

：.ZBOC^50°,

ZA=yZB0C=25°，

故选：B.

6.（3分）如图是一款汽车千斤顶的示意图，其主要部件为四根连杆组成的菱形A8C。和螺

旋杆尸。点8、D、P、。四点共线，当BD=m,A,C两点之间的距离为（）

C.mtanaD.msina

22

【解答】解：连接AC交BD于点。,

在菱形ABCD中，

80=1旦〃2,

22

在RtzXBOC中,

tana—C0

BO

/.CO=8O・tana=Q~t任.

2

".AC—GCO—m'tana,

故选：C.

7.（3分）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：

画法图形

（1）以A为端点画一条射线；7〈

（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线/\

段AC、CD、DE,连接BE；云\\

（3）过点C、。分别画BE的平行线，交线/~----今

段于点M、N.M、N就是线段AB的三

等分点.

这一画图过程体现的数学依据是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两条平行线之间的距离处处相等

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

【解答】解：：CM〃DN〃BE,

：.AC：CD：DE=AM：MN：NB,

"：AC=CD=DE,

:.AM=MN=NB,

这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例,

故选：D.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边。4在y轴上，点8为AC的中点，反

比例函数y=K（x>0）,C两点.若△AOC的面积是6,则上的值是（

D.6

一【解答】解：过2,C两点分别作y轴的垂线，E,

O1X

：.BD//CE,

：.AABDsAACE,

•BDAB

••--二----,

CEAC

设B点坐标为（m,—）,则

m

•.•点8为AC的中点，

•BD_AB_1

"CE"AC"2"

:.CE=3BD=2m,

；.C点坐标为（2m,

6m

设直线BC的解析式为y=ax+b,

直线BC的解析式为y=—

2m22m

当x-0时，v争，

丫2m

...A点坐标为（0,—）,

2m

根据题意得上.邈•・5ir=6，

32m

解得k=4,

故选：B.

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）分解因式：a2-6。+9=（4-3）2.

【解答】解：原式=（4-3）2.

故答案为：（a-6）2.

10.（3分）若关于x的方程/+6x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值是9.

【解答】解：•••关于尤的一元二次方程/+6x+c=4有两个相等的实数根，

/.A=b2-\ac=l~-4c=2,

解得c=9.

故答案为：9.

11.（3分）某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了a（a<20）千

克（100-5〃）元.

【解答】解：由题意可得，

应找回（100-5。）元.

故答案为：（100-5a）.

12.（3分）如图，以正六边形A8CDEF的顶点C为旋转中心，将正六边形ABCDEF按顺

时针方向旋转，则正六边形至少旋转60°.

【解答】解：•••多边形A8COEF是正六边形,

.\ZBC£>=120°,

要使新正六边形A'B'CD'E'F'的顶点落在直线BC上，

则/。CO至少为60°,则正六边形A8CDEF至少旋转60°.

故答案为：60°.

13.（3分）将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点8、C落在量角器

所在的半圆上，且点8、C的读数分别为30。，若该量角器所在半圆的直径为8a”，则

弧BC的长为-2c兀1cm.

—9—

由题意，ZBOC=170°-30°=140°,

又该量角器所在半圆的直径为8cm,

.,.OB=OC=4cm,

：.弧BC的长为140n><7=啰兀（切）.

1809

故答案为：282L.

9

14.（3分）如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截

面示意图（图2）,足球离地面的高度/?（m）与足球被踢出后经过的时间f（s）

图1图2

则该运动员踢出的足球在第8s落地.

【解答】解：所以设抛物线的解析式为y=or）2+bx+c,

将（0,6）（0,旦）（6,3

46

'c=0

2

7-=4a+2b

o

­=36a+6b

解得a=-b=l,

8

所以抛物线的解析式为y=-公+x,

8

当y=4时，-工8+%=（）,

8

解得尤=0或x—6,

所以该运动员踢出的足球在第8s落地，

故答案为：8.

三、解答题（共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（x+2）（尤-2）+x（4-%）

【解答】解：原式=/-4+7尤

=4尤-3.

当x=2时，

原式=4X2-4=8-5=4.

16.（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《唐

诗》《宋词》《论语》（依次用字母A、2、C表示），背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时

小雨先从三张卡片中随机抽取一张，洗匀后，再由小利从中随机抽取一张，请用列表或

画树状图的方法，求小雨和小利诵读两个不同材料的概率.

【解答】解：画树状图为:

开始

由树状图知，共有9种等可能的结果数，

所以小雨和小利诵读两个不同材料得概率为旦上.

63

17.（6分）学校组织学生到离学校90历”的生态园研学，队伍8：00从学校坐大巴车出发.张

老师因有事情，8：30从学校自驾小车沿相同路线以大巴车1.5倍的速度追赶，结果比队

伍提前15分钟到达生态园.求大巴车的平均速度.

【解答】解：设大巴的平均速度为xbM/z,小车的平均速度为1.5xb"//z.

根据题意得：9-90=15产,

x6.5x6060

解得：x—40,

经检验，x=40是原方程的解，

1.5尤=60,

答：大巴的平均速度为40h〃//z.

18.（7分）如图，△ABC是。。的内接三角形，AB是。。的直径，BC=10,点尸在A3上,

交。。于点。，连接80,垂足为E.

（1）求证：△DBEsAABC.

【解答】（1）证明：为直径,

AZACB=9Q°,

9：BELCD,

：.ZBED^90°,

・・,所对的圆周角为N8OE和N8AC,

：.ZBDE=ZBAC,

：.△DBEs^ABC；

(2)解：ZACB=90°，

。石跖三

,/ADBEsAABC,

•••B-D二BE,

ABBC

而AC=8,5c=10,BD二3病，

・道二BE,

-5爬F

：・BE=6,

在RtABEC中，CE=VBC2-BE3=8-

19.（7分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车.在爸爸的预算范围内，小明收集了A,B,

C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、

舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据

2022年9月至2023年3月A、B、C

三款新能源汽车月销售量统计图

2022年9月至2023年3月A、B、C

三款新能源汽车网友评分数据统计图

八销售量（辆）8840

90008153

8000

70006307

70151

6000530

5000-4667

4922

4000-3457

3057王063015

3000-3279\

2479

2000V-5Q9917252248

100024752以21563

0910—11301()3。3%份

O

（1）数据分析:

①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数是4667；

②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2

的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数.

（2）小明妈妈看重市场销售量的数据，她更倾向于销售量变化较稳定的车型，根据小明

妈妈的想法

【解答】解：（1）①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位

数为4667辆；

故答案为：4667；

②A款新能源汽车四项评分数据的平均数为72*6+70X3+67X3+64义3=68.3（分）；

2+3+3+2

（2）比如给出7：2：1：5的权重时，A、B、C三款汽车评分的加权平均数分别为67.8

分，65.7分，可选8款.

20.（7分）如图，在6X6的正方形网格中，A、B、C、。均为小正方形的顶点，保留作图

（2）在图2中AC边上找到一点F（不与点A重合），连结DF,使得DF=BD.

（3）在图3中AB边上找到一点G,使得tan/BCG=旦.

4

【解答】解：（1）在图1中，点E即为所求；

（2）在图2中，点P即为所求；

（3）在图3中，点G即为所求.

21.（8分）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游可能会成为我们的生活常态.小诚

骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小诚离家一

段时间后，如图是他们离家的路程y（加）与小诚离家时间尤（/，），已知妈妈驾车的速度

是小诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：

（1）妈妈驾车的速度是60km/h.

（2）求小诚在游玩后前往乙地过程中，小诚离家的路程y与x的函数关系式.

（3）若妈妈比小诚还早30分钟到达乙地，则在妈妈出发后，直接写出小诚离家几小时

后两人相距10km.

【解答】解：（1）小诚骑车的速度是10+0.5=20（W/i）,

妈妈驾车的速度是20X5=60（km/h）.

故答案为：60.

（2）设两图象交点坐标为（a,〃）.

fa-10=20(t,-4)解得「产,

根据题意,得|

a=60(tr1.7),a=30

，两图象交点坐标为（3,30）.

设小诚在游玩后前往乙地过程中,小诚离家的路程y与尤的函数关系式为y^kx+b（k,

且%W0).

将坐标（1,10）和（7,

得（k+b=10,解得fk=20,

l2k+b=30lb=-10

小诚在游玩后前往乙地过程中，小诚离家的路程y与尤的函数关系式为y=20x-10（x

》1）.

（3）设妈妈离家的路程y与尤的函数关系式为y=fca+加（依、的为常数，且%W0）.

将坐标（3.5,0）和（2ix+6i,

3.5ki+bc=Ofk,=60

得II。，解得I1，

2k4+b1=30[b4=-90

・••妈妈离家的路程y与x的函数关系式为y=60x-90（x23）.

'2

设小诚出发0小时后到达乙地，则妈妈在（拉-工）小时后到达乙地.

6

.,.20ft-10=60（ft-A）-902=11,

22

：.12--1=11-_L=9,20t2-10=20x11-10=45.

54444

当妈妈出发后，两人相距10km时：

当旦时，即|2元-8|=1芭或2；

7446

当9cxW且时，即|55-20X|=109（不符合题意工3（不符合题意.

4542

综上，妈妈出发后工小时或2.

44

22.（9分）【感知】如图1,在正方形ABC。中，点尸在边的延长线上，过点。作。M

YPD,交8c的延长线于点求证：ADAP/ADCM.

【探究】如图2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,过点。作。Q_LA8,交AC于点Q,

连结尸。，过点。作QM_LP。，AC=5,AO=2DB型的值.

QM

【应用】如图3,在Rt^ABC中，NB4c=90°,点。在边AC上，连结尸。ZPQM

的边QM交边8C于点跖若AC=2AB,。。=2设里的值.

5QM

图1图2图3

【解答】【感知】证明：在正方形A2C。中，ZANADC=/BCD=90°,

AZZ)CM=180°-ZBCD=90°,

ZA=ZDCM,

'：DMLPD,

：.ZADP+ZPDC=ZCDM+NPDC=90°,

NADP=NCDM,

在△DAP和△QCM中，

rZA=ZDCM

-AD=CD，

ZADP=ZCDM

/.ADAP^ADCM(ASA)；

【探究】解：如图2,作。NLBC于点N,

图2

,/ZABC=90°,DQ±AB,

四边形DBNQ是矩形，

:.NDQN=90°,QN=DB,

'：QMLPQ,

：.ZDQP+ZPQN=ZMQN+ZPQN=9Q°,

ZDQP=ZMQN,

•；/QDP=NQNM=90°,

丛DQPs^NQM,

•PQ=DQ=DQ

"QMONDB)

：BC=4,AC=5,

•■•AB=VAC2-BC2=4,

'：AD=2DB,

VZADQ=ZABC=90°,

J.DQ//BC,

：.△ADQsLABC,

•.•DQ一_,AD_2,

BCAB3

：.DQ=3.,

2

•PQ=DQ=_8.

*'QMDB3"

【应用】解：：AC=64B,C0=2,

5

CQ=^.AB,

5

：.AQ=AC-CQ=^AB,

*：ZBAC=90°,

:.BC=7AB2+AC2=中AB,

如图3,作QNLBC于点N,

ZBAC+ZABN+ZBNQ+ZAQN=360°,ZBAC=90°,

AZABN+ZAQN=180°,

VZABN+ZPBN=180°,

JZAQN=NPBN,

ZPQM=ZPBC,

：.ZPQM=NAQV,

JZAQP=ZNQMf

VZA=ZQNM^9Q°,

：.AQAP^AQNM,

・PQ=AQ,

"QM而'

VZA=ZQNC=90°,ZQCN=ZBCAf

:•△QCNsABCA,

4_

AB

.QN=CQ=7=4A/7

"BACBV5AB25

：.QN=^H-AB,

25

1ABr-

•PQ=AQ=_5____=3V5

..而一丽—4%.」丁.

蕾杷

23.(10分)如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,8C=6.点M、N分别是BC、AC的中

点，动点尸从点8出发以每秒2个单位的速度沿BfA—C向终点C运动(点尸不与点N

重合)，点尸的运动时间为r秒.

(1)线段的长是5.

(2)当点。落在△ABC边上时，求f的值.

(3)当与△ABC重叠部分图形是等腰三角形时，求四边形RWQV与△ABC重叠

部分图形的面积.

(4)当/=出时，线段AQ最短，点Q从开始运动到此时的运动路径长是322.

—25——25—

A

N

C

【解答】解：(1)VZACB=90°,AC=8,

：.AB=yj82+62=10'

泌sp;是BC的中点，

：.MN=^AB^5,

2

故答案为：3；

(2)如图1,

过点C作直线/〃A8,作CD±AB于D,

'：MN是AABC的中位线，

：.MN//AB,

：.CD±NM,生^1=1，

DEMB

当点P在AB上时，点。在直线/上，

:./DNM=/CNM,

当点P在AC上时，点Q在直线DE上，

:点。不与N重合，

...点。在C处时，点尸在。处，点尸在点C处,

当点尸在点。处时，

VZACB=ZBPC=90°,

/.ZB+ZA=90°,ZB+ZBCP^90°,

ZA=ZBCP,

：.sinA=sinZBCP,

.BP_BC

••而记

•BP,6

"VTo"

5

当点尸在c处时，

t=(10+8)+2==4秒，

综上所述：—9秒或4秒；

5

(3)如图2,

设MQi交AC于W,

设MW=WN^x,则CW=CN-W=4-x,

在RtZiCMW中，由勾股定理得，

CM2+CW1=M\^,

(4-尤)2+62=X2,

•丫=25

2

；.AW=生，

8

/.CW=4-型工

78

VCQ6//MN,

，SZWNQi=$△CMN="!X3X4=7,

.17oi

・・S/\MNQl=S/\CMW=—X—x--，

6816

四边形P1M0N与△ABC重叠部分图形的面积为：8X2卫=工工工，

1616

当△MNQ2是等腰三角形时，点P5和W重合，四边形P2MQN是菱形，面积是△脑VW

的2倍，

.'.S四边形P2MQ2N=4X」1X至义3=店，

248

综上所述：四边形PM