2023-2024学年苏科版九年级数学上册知识点讲义

1.1一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；

2.会把一元二次方程化为一般形式；

3.会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程,

叫做一元二次方程.

特别说明：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知

数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2.一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于X的一元二次方程，都能化成形如+bx+C-U：H0）,这

种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，

b是一次项系数；c是常数项.

特别说明：

（1）只有当ar0时，方程a—+6x+c=0才是一元二次方程；

（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时

注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根.

4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解。

（1）ax2+bx+c-O（aw0）得到ax?=-bx-c达到降次的目的；

（2）若x=m是一元二次方程ax?+陵+。=0（。，0）的解，得到加？＞。帆+c=O

1.4一元二次方程的解法—直接开平方法（知识讲解）

【学习目标】

1.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

2.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】

直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开

平方。一般地，对于形如x2=a(a20)的方程，根据平方根的定义可解得xi=&,X2=

-\[(i.

(2)直接开平方法适用于解形如x?=p或(mx+a),=p(mWO)形式的方程，如果p20,就

可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根

有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的

式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

1.6一元二次方程的解法一一配方法(知识讲解)

【学习目标】

1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数

学应用意识和能力.

【要点梳理】

知识点一'一元二次方程的解法--配方法

在比较大小中

二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；

1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；

2、把常数项移到等号的右边；

3、方程两边都除以二次项系数；

4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

知识点二、配方法的应用

1.用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或

小于零)而比较出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数

的性质求出待定字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

4.用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在

二次函数中也有着广泛的应用.

特别说明：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关

系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次

函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好.

1.8一元二次方程的解法一一公式法(知识讲解)

【学习目标】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解

一元二次方程；

2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.

【要点梳理】

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax,bx+cRSWO),如果--4ac-0,那么方

程的两个根为xi土厂,,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根

2a

公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的

方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次

方程ax2+bx+c=0(aT^0)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax'+bx+cR(aWO),一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac20,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b'TacVO,则

方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b?-4ac叫做方程ax，bx+c=O(aWO)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即4

=b2-4ac.

【学习目标】

1.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.

【要点梳理】

知识要点一：因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

(1)将方程右边化为o；

(2)将方程左边分解为两个一次式的积；

(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.

特别说明：

(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以

分解成两个一次因式的积；

(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因

式中至少有一个等于0；

(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程

两边不能同时除以含有未知数的代数式；

(4)解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

知识要点二：换元法解一元二次方程

1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简

化,这叫换元法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对

象，将问题移至新对象的知

识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个

字母来代替它从而简化问题，

当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元

二次方程,从而达到降次的目的.

1.14一元二次方程根与系数关系(知识讲解)

【学习目标】

掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程ax~+bx+c^O(a丰0)的两个实数根是占，%2,

f-bc

那么+%=---，m九2二一,

2aa

注意它的使用条件为aWO,A^O.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除

以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

知识框图:

1、求代数式的值

2、求待定系数

一元二次方程求根公式告根与系数关系I应用3、构造方程

4、解特殊的二元二次方程组

5、二次三项式的因式分解

1.18用一元二次方程解决问题（知识讲解）

【学习目标】

1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实

际问题的一般步骤；

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审题一寻找数量关系和等量关系一设未知数（直接假设和间接假设）一列一元二次方

程一解方程一检验一作答。

要点二、一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十

位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……,

数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一

个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式

的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,

则这个三位数可表示为100c+10b+a.

（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差L

如：三个连续整数，设中间一个数为x,则另两个数分别为xT,x+1.

几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.

如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.

2.平均变化率问题

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率,

以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的

基础上增长或降低两次.

（1）增长率问题：

平均增长率公式为a（l+x）"=6（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为

增长后的量.）

⑵降低率问题：

平均降低率公式为a（l-X）"=6（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为

降低后的量.）

3.利润（销售）问题（中考常考点）

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润X总件数

利润率:市黑至；xlO值,标价x3萼=售价

进价（或成本）10

进价x（l+利涧率）=标价x五等

4.几何问题

通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小

专题1.29《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.

【知识要点】

要点一、一元二次方程的有关概念

1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程,

叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般式：a?=0（axij）

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根.

特别说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不

是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:

①一个未知数；②未知数的最高次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不

为0.

要点二、一元二次方程的解法

1.基本思想

一元二次方程降次>一元一次方程

2.基本解法

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

特别说明：

解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和

因式分解

法，再考虑用公式法.

要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax1+6x+c=0(awO)中，b--4ac叫做一元二次方程

ax?+6x+c=0(a#0)的根的判别式，通常用“A”来表示，即A=〃—4ac

(1)当△>()时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

(2)当△=()时，一元二次方程有2个相等的实数根；

(3)当△〈()时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

2

如果一元二次方程ax+bx+c^0(。w0)的两个实数根是七，%2,

bc

那么X+%----，西％2二—•

12aa

注意它的使用条件为aWO,A20.

特别说明：

1.一元二次方程"X+"x+c=°(a*°)的根的判别式正反都成立.利用其可以解决

以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

（3）己知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

要点四、列一元二次方程解应用题

1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

列（根据题目中的等量关系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答（写出答案，切忌答非所问）.

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润（销售）问题、形积问题等.

特别说明：

列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决

而获得对实际问题的解决.

2.1圆及有关概念（知识讲解）

【学习目标】

1.理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与

圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等

与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

【要点梳理】

要点一、圆的定义

第一定义：如图，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端

点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径.以点。为

圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

特别说明：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二

者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

第二定义：圆心为0,半径为r的圆是平面内到定点0的距离等于定长r的点的集合.

特别说明：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的

点的集合是球面，一个闭合的曲面.

1.点和圆的三种位置关系：

由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外

的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,

则有

(1)点尸在圆内OdvrOJx'Ay

(2)点尸在圆上od=roJ?+./=ny)

⑶点P在圆外Qd>r=Jx3+，>r,"T~0|yx

要点二与圆有关的概念、^P/12+y2=r2

1-弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

特别说明：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作轴，读作“圆弧

AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

特别说明：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

特另!1说明.

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

②圆中两平行弦所夹的弧相等.

2.3圆的对称性-垂径定理(知识讲解)

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

特别说明：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

直径］［平分弦

垂直于死平分弦所对的弧

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的推论

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

特别说明：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所

对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平

分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)

2.7确定圆的条件(知识讲解)

【学习目标】

1、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，并能掌握这个结论。

2、掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法。

3、了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

【要点梳理】

知识点一.确定圆的条件

(1)、不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

(2)、经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.这个三角形叫做这个圆的

内接三角形。

知识点二相关概念外心、外接圆

(1)、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三

角形的外心；

(2)、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距

离相等；

（3）、三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点。

2.9圆周角（知识讲解）

【学习目标】

1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

【要点梳理】

【知识点一定义:顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角。（两条件缺一不可）；

【知识点二】定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半。

【知识点三】

推论：（1）、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（2）、直径（半圆）所对的圆

周角是直角；90度的圆周角所对的弦为直径；

【知识点四】

（①常见辅助线：有直径可构成直角，有90度圆周角可构成直径；②找圆心的方法:作

两个90度圆周角所对两弦交点）

【知识点五】

1、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补。（任意一个外角等于它的内对

角）

【知识点六】补充知识点

1、两条平行弦所夹的弧相等；

2、圆的两条弦1在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半；（2）在圆内

相交时,所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半；

3、同弧所对的（在弧的同侧）圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

2.13圆的对称性-弧'弦'圆心角关系（知识讲解）

【学习目标】

i.了解圆心角的概念；

2.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，

就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.

【要点梳理】

1.圆心角定义

如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

B

A

I0J

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等；

在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。

特别说明：

（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

（2）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只

要有一组量相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距

以及弦所对的弧也分别相等）o

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

2.16四点共圆（知识讲解）

【学习目标】

3.理解四点共圆的定义；

4.掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。

【要点梳理】四点共圆常用的方法有：

1、对角互补的四边形，四点共圆；

2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；

3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；

4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。

2.18直线和圆的位置关系（知识讲解）

【学习目标】

i.理解直线与圆的三种位置关系；

会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系;

【要点梳理】

1.直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯

一的公共点叫做切点.

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

2.直线与圆的位置关系的判定和性质.

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转

化为直线和点(圆心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与

圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径.

如果。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,那么

(1)直线1和。。相交Od<r；

(2)直线1和。。相切od=r;

(3)直线1和。。相离od〉r.

特另U说明.

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是

直线与圆的位置关系的判定.

2.21切线性质和判定定理(知识讲解)

【学习目标】

1.理解并掌握切线的判定和性质；

2.运用切线的性质定理和判定定理进行证明或求值。.

【要点梳理】

圆的切线定义：圆的切线是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条

直线就是圆的切线。

要点一、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的判定方法：

(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；

(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(切线的判定定

理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可).

要点二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

特别说明：

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;

(3)切线垂直于过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

2.24切线长定理(知识讲解)

【学习目标】

i.了解切线长定义；

2.理解三角形的内切圆及内心的定义；

3.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.

【要点梳理】

要点一、切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做

这点到圆的切线长.

特别说明：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是

直线，而非线段.

要点二、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和

圆心的连线平分两条切线的夹角.

特别说明：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.

3.圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.

要点三、三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2.三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

特别说明：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切

圆半径乘积的一半,即二=-Pr(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).

2

(3)三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

外心(三角三角形三边中垂线的A(1)OA=OB=OC；⑵外心

形外接圆的交点不一定在三角形内部

圆心)

2.27圆的切线证明方法（知识讲解）

在圆这一章中，圆与直线的位置关系很重要。直线与圆有三种位置关系，分别为相离、

相切与相交，尤其是相切，不仅要掌握基本定义外,还需要掌握切线的性质定理与判定定理。

证明切线的方法有四种，我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧，其中有三种思路也需要理

解。

方法一：有点（点在圆上）连线，证垂直

已知（切）点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作

半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。

思路一：利用两个锐角互余证明垂直；

思路二：利用全等证明垂直；

思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；

思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。

这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三

种思路。

方法二：无点（点不确定在圆上），作垂直，证相等

当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线,证明垂线段的长度等于圆的半径。

2.33弧长及扇形的面积（知识讲解）

【学习目标】

L通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n。的圆心角所对的弧长1=上二和扇形面

180

积,=竺二的计算公式，并应用这些公式解决问题；

*360

2.能准确计算组合图形的面积.

【要点梳理】

要点一、弧长公式

半径为R的圆中

(1)：360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2TTR

(2)：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：I-竺鸟(弧是圆的一部分)

180

特别说明：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的‘一，即

360

-----x=—；

360180

(2)公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径;

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个

量就可以求出第三个量.

要点二、扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：S=乃店

n0的圆心角所对的扇形面积公式：=吆老=1JR

M3602

特别说明:

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的——，

360

0n14兀N

BP--------X7rR=----

360360

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其

中的两个量就可以求出第三个量.

⑶扇形面积公式5=工/穴，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式

2

S=-ah有点类似，可类比记忆;

2

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形=竺工=二竺4=工尿.

扇形36021802

2.37圆锥的侧面积(知识讲解)

【学习目标】

1.理解圆锥的有关概念.

2.掌握圆锥的侧面展开图.

3.理解并掌握圆锥的侧面积计算方法.

【要点梳理】

要点一：圆锥的概念

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。

要点二:圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为乙底面半径为r,侧面展开图中的扇形圆心角为n。，则

圆锥的侧面积5扇=粉二仃I，

圆锥的全面积2=*+*=府'+.

特别说明：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧

面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

2.40圆中的几何模型-隐形（知识讲解）

隐形圆是中考选择题和填空题中常考题，题目往往以动态问题出现，有点、

线的运动，或者图形的折叠，多数学生基本没有思路，一头雾水，从而无法解答。

隐形圆常见的有以下几种形式，二是四点共圆判定隐形圆满；二是定弦定角，点

在圆上；三是定点定长，轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度

不变问题等。

3.1平均数（知识讲解）

【学习目标】

i.了解加权平均数的意义和求法；

2.会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想.

【要点梳理】

要点一、算术平均数加权平均数

一般地，对于〃个数为、々、£、…天,我们把工（%+/+%+…+x”）叫做这几个数的

n

算术平均数，简称平均数，记作了.计算公式为元=工（石+%2+七+3+%）-

n

特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数。附近上、下波动时，一般选用

简化计算公式元=三+。.其中三为新数据的平均数，。为取定的接近这组数据的平均数的

较“整”的数.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应

引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

要点二、算术平均数加权平均数

若n个数石、/、•••%„的权分别是叱、叫、…、wn,则..+々叫+…+七,叱叫做

一wl+iv2+...+wn

这〃个数的加权平均数.

特别说明：（1）相同数据七的个数叫叫做权，叫越大，表示七的个数越多，“权”就

越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运

算,

专题3.4中位数与众数（知识讲解）

【学习目标】

i.了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法.

2.进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征.

【要点梳理】

要点一、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个

数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两

个数据的平均数称为这组数据的中位数.

特别说明：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据

中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

特别说明：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；

如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，

当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数

则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各

数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

3.10《数据的集中趋势和离散程度》全章复习与巩固

（知识讲解）

【学习目标】

1.了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本

平均数估计总体平均数的思想.

2.了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法.进一步理解平均数、中位数和众数

所代表的不同的数据特征.

3.了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征.体会用样本

方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法.

4.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过

程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯

和实事求是的科学态度.

要点梳理】

要点一、算术平均数和加权平均数

一般地，对于〃个数石、/、退、…X”，我们把工(%+%+%3+…+%)叫做这几个数的

n

算术平均数，简称平均数，记作元.计算公式为了=！(石+々+%+-+%)・

n

特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

(1)当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数。附近上、下波动时，

一般选用简化计算公式亍=m+a.其中三为新数据的平均数，。为取定的接近这组数据的

平均数的较“整”的数.

(2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动

都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

若“个数Xp%、…的权分别是叫、叫、…、wn,则

%小+々叱+...+%叱，叫做这n个数的加权平均数.

卬1+叼+•••+Wn

特别说明：(1)相同数据七的个数叫叫做权，吗越大，表示七的个数越多，“权”就

越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运

算,

要点二、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个

数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两

个数据的平均数称为这组数据的中位数.

特别说明：(1)一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组

数据中.

(2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

特别说明：(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一

个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.

(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，

当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数

则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各

数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

要点四、极差、方差和标准差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得

到的差称为极差，极差=最大值一最小值.

特别说明：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组

数据极差越小，这组数据就越稳定.

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差『的计算公式是：

2222

S=-[(%1-X)+(x2-x)