基本初等函数的导数

第五章《一元函数的导数及其应用》基本初等函数的导数[核心素养·学习目标]课程标准课标解读1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.课前预习课前预习1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)知识讲解知识讲解导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特别地(lnx)′＝eq\f(1,x)【大招总结】大招1初等函数求导【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与Inx”，“ax’与logax”，“sinx与cosx”的导数区别大招2求切线方程【方法总结】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解。大招3在一点的切线方程【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤大招4过一点的切线方程【方法总结】过点“P”处的切线：(1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．(2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤①设切点为Q(x0，y0)；②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．典型例题典型例题【例1】函数在处的导数为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】，所求导数为.故选：C.【例2】给出下列结论：①；②；③若，则；④其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】由于，，，，即运算正确的为：②④,故选：C.【例3】已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得．故选：C．【例4】已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，令得，，故选D.【例5】求曲线在点处的切线方程.【答案】【详解】设，则，所以，所以切线方程为，即.【例6】已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为________________【答案】【详解】由题意，，所以，因此，所以，易知切线为故答案为：【例7】已知是曲线上的两点．求过点的曲线的切线方程；【答案】（1）；【详解】（1）；过点，的切线斜率分别为，4；过点的切线方程为：；即；过点的切线方程为：；即；【例8】已知函数．过点作曲线的切线，求此切线的方程．【答案】或【详解】（2），设切点坐标为，则切线方程为，∵切线过点，∴，化简得，∴或．∴切线的方程：或．强化训练强化训练一、单选题1．下列求导运算正确的是（

）．A． B．（为常数）C． D．【答案】D【分析】由求导公式进行验证，可得结果.【详解】解：对于A:，所以A不正确；对于B:

因为为常数，所以，所以B不正确；对于C:

，所以C不正确；故选：D【点睛】此题考查的是求导公式，属于基础题.2．函数在处的导数等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】可对函数直接求导，再代入x＝1后求值，f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1.f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.3．已知，则等于A．0 B．C． D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式求出，再求.【详解】由，得，∴，故选C【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若,则.4．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【详解】，A项错误；因为是个常数，所以，B项错误；，C项错误；，D项正确.故选：D.5．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函数的图像，把方程恰有四个不相等的实数根转化为的图像与的图像有四个不同的交点，结合图像即可求解【详解】解：方程恰有四个不相等的实数根转化为的图像与的图像有四个不同的交点，如图所示，直线过定点，且过点时，函数的图像与的图像有三个不同的交点，此时；设直线与切于点，且的导数为，所以，则过该切点的切线方程为，把点代入切线方程，可得，解得，所以切点，则切线的斜率为，所以方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是，故选：D.6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出函数图象，如图，由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B7．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为()A．B．或C．或D．以上均不对【答案】C【详解】∵，点在直线上∴切线的斜率∴切线的方程为，即设直线∵切线与直线平行且距离为∴∴∴直线的方程为或故选C点晴：两平行线之间的距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等.8．已知函数的导数，且的图像过点，当函数取得极大值5时，x的值应为（

）A．1 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】由函数，根据求导法则，得到，再根据函数过点，求得函数的解析式，进而求得函数的极大值，得到答案.【详解】由题意，函数的导数，所以，其中为常数，又由函数过点，所以，即，令，即，解得或，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极大值，且极大值，函数取得极大值时时，的值应为0，故选B.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，以及利用导数求解函数的极值的方法，其中解答中熟记导数的求导法则，以及正确求得函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题9．下列选项正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】ABD【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，则，A对；对于B选项，若，则，故，B对；对于C选项，若，则，C错；对于D选项，若，则，D对.故选：ABD.10．已知函数若，则实数的值可为（

）A．2 B． C． D．4【答案】BC【分析】根据常见初等函数的导数公式，结合代入法，分类讨论进行求解即可.【详解】当时，，解得，（舍去）；当时，，解得．故选：BC11．关于切线，下列结论正确的是（

）A．过点且与圆相切的直线方程为B．过点且与抛物线相切的直线方程为C．过点且与曲线相切的直线l的方程为D．曲线在点处的切线方程为【答案】ABD【分析】依次求四个选项中的切线方程，判断正误.【详解】对于A，点在圆上，设切线斜率为，则，所以，切线方程为，即，A正确；对于B，设切线斜率为（），切线方程为，与联立，得，则，解得，所以切线方程为，即，B正确；对于C，对求导得，设切点为，切线斜率，则，解得，切点为，斜率，所以切线方程为，即，C错误；对于D，对求导得，点处的切线的斜率，切线方程为，即，D正确.故选：ABD.12．定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.【详解】对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.对于B，，，，又，对于，使得，则恒成立，所以B符合.对于C，，，，又，对于，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.对于D，，，，又，对于，使得，则，，所以D符合.故选：ABD.三、填空题13．已知函数，则=.【答案】【分析】求出导函数，再代入求值.【详解】由题意得：，故.故答案为：14．已知是函数f（x）的导函数，，则=.【答案】2【分析】求出函数的导数，令求出，进而可求出.【详解】由，则，令，则，解得.所以.故答案为：2【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知是的导函数（），，则.【答案】；【分析】求出的导函数，令，根据，即可求得.【详解】，，，又，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是基本初等函数的导数以及导数的运算，考查的是学生的分析和计算能力，是基础题.16．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为．【答案】【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，则，由题意知，即，解得，故切点为，切线斜率为，所以切线方程为，即，故答案为：四、解答题17．已知函数（且）在处的导数为，求底数a的值．【答案】【分析】对函数求导，将代入列出方程，解出a的值.【详解】，由题得，所以，得．18．求下列函数的导数：(1)S(t)＝；(2)h(x)＝(2x2＋3)(3x－2)．【答案】(1)S′(t)=(2)h′(x)＝18x2－8x＋9.【分析】（1）先将解析式化简，再求导数即可解决；（2）先将解析式化简，再求导数即可解决.(1)S(t)＝，则S′(t)＝.(2)h(x)＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，则h′(x)＝18x2－8x＋9.19．已知函数．若过点可作曲线的切线有三条，求实数的取值范围．【答案】【分析】首先写出切线方程，然后将问题转化为方程有三个实数根的问题，利用导函数研究函数的极值即可确定m的取值范围.【详解】设过点的切线切曲线于点，则切线的斜率.所以切线方程为，故，要使过可作曲线的切线有三条，则方程有三解，，则，易知为的极值大、极小值点，又.故满足条件的的取值范围.20．求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x1);

(2)f