2023届河北省承德一中高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/(x)=xlnx—依2有两个极值点，则实数”的取值范围是()

A.B.C.(1,2)D.(2,e)

2.已知｛〃〃｝为等差数列，若%=2。3+1，。4=2%+7,则。5=()

A.1B.2C.3D.6

3.已知三点4(1,0),5(0,G),C(2,唐)，则△A3C外接圆的圆心到原点的距离为(）

A.-5BR.-后-----

33

C.迈D.i

33

4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（2a—⑨>cosC=ccosB,则内角C=（）

71Tl7T71

A.—B.—C.一D.—

6432

7

5.已知A6C的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且A=60。，b=3,AD为BC边上的中线，若AD=—,

2

则ABC的面积为（）

人25行„15君„15D.2

A.•---15•--------L•

4444

6.已知a>5>0,c>L则下列各式成立的是（）

c-1.c-1

A.sina>sinfeB.ca>cbC.ac<bcD.------<-------

ba

7.已知三棱锥P-ABC中，AABC是等边三角形，AB=46,PA=PC=2逐,PALBC,则三棱锥P—ABC的

外接球的表面积为（）

A.25"B.75乃C.80〃D.100万

.if,，八八b+ca+b

8.在二角形ABC中，a=l,-----=-------------------,求bsinA=（）

sinAsinA+sinB-sinC

A.BB.正c.-D.迈

2322

9.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为（）

他视图

A.2B.5D.V22

2x-l,%>0

10已知f(x)=<)

-%,x<0

2

A.B.D.3

11.已知集合4={刘|九—1区3,无€2},3=卜€2|2"£&},则集合3=（)

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

12.若函数/(x)=x3-tnx~+2x(meR)在x=1处有极值,则f（x）在区间©2］上的最大值为（）

14

A.—B.2C.1D.3

27

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知AABC的三个内角为A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差数列，则sin25+2cos5的最小值

为,最大值为.

14.已知时=2,M=a,匕的夹角为30。，（a+2/?）//（2a+&?）,贝！|（a+劝）•（《—》）=.

15.设P为有公共焦点耳,心的椭圆G与双曲线°2的一个交点，且椭圆G的离心率为6,双曲线的

离心率为02,若02=3,，贝［］ex=.

16.某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手A成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低

分，则所剩数据的平均数与中位数的差为.

9S8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=1----1

17.（12分）在平面直角坐标系X。，中，直线/的参数方程为，2a为参数），曲线C的极坐标方程为

卜=91

p=4cos0.

（I）求直线/的普通方程及曲线。的直角坐标方程；

/、11

（II）设点P（l,0）,直线/与曲线。相交于A,B,求画+国的值.

18.（12分）如图（1）五边形ABCDE中，ED^EA,AB//CD,CD=2AB,

ZE£）C=15O,将沿AD折到的位置，得到四棱锥P—ABCD,如图（2）,点〃为线段PC的中点,

且5NJ_平面PCD.

（1）求证：平面/HD_L平面ABCD；

（2）若直线PC与所成角的正切值为工，求直线与平面PL归所成角的正弦值.

2

19.（12分）在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：1+2=1（。〉6〉0）的右焦点为b（4根,0）

ab

（m>0,加为常数），离心率等于0.8,过焦点口、倾斜角为。的直线/交椭圆C于以、N两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若。=90°时，「—+二_=还，求实数加；

MFNF9

⑶试问-^+―的值是否与e的大小无关，并证明你的结论.

MFNF

20.(12分)如图，在直棱柱ABCD—A4GA中，底面ABC。为菱形，AB=BD=2,5g=2,与AC相

交于点E,4。与AQ相交于点。.

(1)求证：AC,平面8月2。；

(2)求直线08与平面。耳，所成的角的正弦值.

21.(12分)在极坐标系中，已知曲线G:/7cose-Gpsine-l=0,C2:p=2cos6,.

(1)求曲线4、G的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线G、C?交于A、B两点,求两交点间的距离.

22.(10分)如图，在四棱锥尸—A3CD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,

APCD是正三角形，PCLAC,E是24的中点.

(1)证明：AC±BE；

(2)求直线与平面比)£所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

试题分析：由题意得/'(x)=Inx+1—2^=0有两个不相等的实数根，所以尸(力=工-2a=0必有解，则a＞0,

且尸山〉。一

考点：利用导数研究函数极值点

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

(I)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为。的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求f，(x)—-＞求方程F(x)=0的根一-＞列表检验F(x)在F(x)=0的根的附近两侧的符

号一一＞下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(xo,yo)处取得极值，则f，(xo)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号

相反.

2、B

【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a$.

【详解】

,:同｝为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,

a[+d=2(a1+2d)+1

••aj+3d=2(a[+2d)+7'

解得=-10,d=3,

:.a5=a1+4d=-10+11=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3、B

【解析】

因为△43。外接圆的圆心在直线，。的垂直平分线上,即直线工=1上

可设圆心P(l,p),由P4=P砥:|p|=J1+(p_0)2,得p=苧

国心坐标为尸(1,竽)

I

/

所以国心到原点的距离|0尸|=11+

选B.

考点：圆心坐标

4、C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

(2«-Z?)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sin5)cosC=sinCcosB,

:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

17T

三角形中sinAwO,cosC=—,C=一.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

5、B

【解析】

延长AD到E,^AD=DE,连接与瓦CE,则四边形A3EC为平行四边形，根据余弦定理可求出=5,进而可

得ABC的面积.

【详解】

解：延长AO到E,使AD=D石，连接3E,CE,则四边形A3EC为平行四边形，

则BE=AC=3,NA3E=180-60=120,AE=2AD=7,

在八45£中，AE2^AB2+BE2-2AB-BEcosZABE

贝!J72=AB2+32—2xABx3xcosl20,得AB=5,

<_1an“•5_1<26_156

S——AB•AC•sin60——x5x3x——------•

ABnCr2224

故选：B.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.

6、B

【解析】

根据函数单调性逐项判断即可

【详解】

对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；

对B,因为y=cx为增函数，且a>6,所以c">c"，正确

对C,因为为增函数，故,错误；

对D,因为y=土」在（0,+。）为减函数，故£二>上二，错误

xba

故选B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题.

7、D

【解析】

根据底面为等边三角形，取中点"，可证明3cL平面从而即可证明三棱锥P-ABC为

正三棱锥.取底面等边AABC的重心为。\可求得尸到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设"为中点，AABC是等边三角形，

所以AML5C,

又因为且B4AM=A,

所以3CL平面R4M,则BCLPM,

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥P—A5C为正三棱锥，AB=4区PA=PB=PC=2非,

设底面等边AABC的重心为O',

可得A°=§AM=§x6=4，PO'=2Ao2=V20-16=2，

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示:

由球的性质可知，尸0,平面ABC,且P,。,。在同一直线上，设球的半径为R,

在RtAAOCf中，AO2=AO'2+OO'2，

即#=16+伊—2)2,

解得R=5,

所以三棱锥P—ABC的外接球表面积为S=4兀R2=4^X25=100〃，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

8、A

【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角3的值，再利用正弦定理可求得AsinA的值.

【详解】

b+ca+b.b+ca+b训旧始

---=——-—：--——;>由正弦定理得----=--------»整理得才9+。29-/r9=ac，

sinAsinA+sinB-sinCaa+b-c

由余弦定理得cos_B=巴上£———,0<B<TT,:.B=—.

2ac23

由正弦定理一"一="一得/?51114=。5111_8=1xsin-=.

sinAsinB32

故选：A.

【点睛】

本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

9、D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-ABC.=V13,叵，S^BC=2,故最大面的面积为巨.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

10、A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

,log21<0,/(logo1)=-log21=log23>0；

•••f[/(log21)]=/(log23)=3-l=2；

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

11、D

【解析】

弄清集合5的含义，它的元素x来自于集合4且2工也是集合A的元素.

【详解】

因|x—1区3,所以—24》＜4,故4={—2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,2A-eA，则x=0」,2,

故集合8={0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

12、B

【解析】

根据极值点处的导数为零先求出加的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.

【详解】

解：由已知得了'。)=3必—2g+2,.•./'(1)=3—2根+2=0,.•.m=g,经检验满足题意.

/.f(x)—%3——x?+2%9f(x)—3%2—5x+2.

22

由/'(x)＜。得由/'(%)＞。得冗或x＞l.

33

-21「2-

所以函数/(x)在0,j上递增，在-,1上递减，在［1,2］上递增.

则•/■⑺极大值=僧吟，〃2)=2,

由于/(2)＞/(%)极大值，所以/(x)在区间［0,2］上的最大值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3A/3

F

【解析】

^22_，2

根据正弦定理可得2）=，+c,利用余弦定理cos5=巴士一匕以及均值不等式，可得角5的范围，然后构造函数

2ac

/（5）=sin25+2cos5,利用导数，研究函数性质，可得结果.

【详解】

由sinA,sinB,sinC成等差数列

所以2sin5=sinA+sinC

所以2Z?=a+cnb=

laclac

化简可得cosB=»6ac-2ac=1

SacSac2

当且仅当〃=c时，取等号

又l），所以BE]。,（

☆〃5）=sin2B+2cos5,3£

则/（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

/（B）=-2fsinB-|j（sinB+l）

当sinB〉；，即Be]?,时，/（B）＜0

当sinB<g,即时，/,（B）>0

则/⑻=sin25+2cos5在1o,小递增，在[,递减

所以以x（B）=/[2]=sin《+2cos?=孚

VOy3oz

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（乃）.27r7i73

t—=sin-----Fzcos—=-----Fl

I3J332

所以狐⑻=/［《)=等+1

所以sin25+2cos5的最小值为且+1

2

最大值为乎

故答案为：立+1,正

22

【点睛】

本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求

出Be］。,(，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

14、1

【解析】

由(a+2b)//(2a+劝)求出X,代入卜+24-卜—耳，进行数量积的运算即得.

【详解】

(〃+2/?)//(2g+XZ?),「.存在实数左，使得2〃+4人=左(a+2/?).

2=k

。涉不共线，二12=4.

A=2k

同=2,M=G,a,b的夹角为30。，

二.(a+2b)•(〃一/?)=(Q+4b)•(〃一/?)=〃+3〃・五一4b

=4+3x2x^/3xcos30°-4x3=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.

15、好

3

【解析】

设Z.F{AF2=23

根据椭圆的几何性质可得SJFE="tan0=始

11

G=-9,\ax=—,—c=c——1

%ei"i)

根据双曲线的几何性质可得，SAP耳心=*=或

tan。

口「11c。V5

即一^H—y—2,3q=%••‘1=---

力成53

故答案为正

3

【解析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.

【详解】

1175

剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数于-(83+85+87+95)=^,这四个数的中位数为

1(85+87)=86,1753

则所剩数据的平均数与中位数的差为--86=-.

22

【点睛】

本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)/:x+与一1=0,C:(X-2)2+/=4；(II)半.

【解析】

x~\------1

（I）由2（/为参数）直接消去参数/,可得直线的普通方程，把夕=4cos。两边同时乘以。，结合

1

v=-t

[2

夕2=必+/，x=pcos。可得曲线的直角坐标方程；

[6

X-1----1t

（II）把2代入f+/一4%=0,化为关于/的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数/的几何意义

■

求解.

【详解】

一1S

X-1----1

解：（I）由2a为参数），消去参数乙可得x+百y-l=0.

V

VP=4cose,/.p-=^pcosd，即f+/-4x=0.

...曲线的直角坐标方程为（x—2y+y2=4；

f_173f_1

（II）把2\2代入/+户4x=0,得/+"—3=0.

y--ty--t

I2-2

设两点对应的参数分别为小

A,3t2

则a+L—A/3，=-3.

不妨设。＜。，〉。，

.11_11+J&+'2）、4桃_后

••-1--------------------------------------•

网闸闻团麻kl3

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数，的几何意义是解题的关键，

是中档题.

18、（1）见解析（2）2互

7

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证得成立；（2）通过已知条件求

出各边长度,建系如图所示，求出平面PDB的法向量，根据线面角公式代入坐标求得结果.

试题解析：（D证明：取PD的中点N,连接则MN//CD,MN==CD,

2

又AB//CD,AB=LCD,所以MN//AB,MN=AB,则四边形ABMN为平行四边形，所以AN/ABM,

2

又平面PCD,

4V_L平面PCQ,

；.AN±PD,AN±CD.

由石D=E4即。D=A4及N为PD的中点，可得为等边三角形，

•••ZPDA=60°，

又NEOC=150°，二"94=90°，，C£）_LAD,

...CD，平面PAD,CDu平面ABCD,

二平面上4D,平面ABCD.

（2）解:

AB//CD,NPCD为直线PC与A5所成的角，

PD1

由（1）可得NPDC=90°，，tan/PCD=而=万，.•.CD=2PD,

设PD=1,则CD=2,PA=AO=A5=1,

取A。的中点。，连接PO,过。作AB的平行线,

可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

、

7

：.M

(3

所以。3=(1,1,0),,BM=——,0,

4

%+y=0

n-DB-0

设〃=（苍y,z）为平面的法向量，贝!!{，即｛1百,

n-PB=0—x+y-----z=0

22

取x=3,则〃=6,-3,-6）为平面的一个法向量,

n-BM—32A/7

..cos(ri.BM)=

|H||BM|7，

2

则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为巫.

7

点睛：判定直线和平面垂直的方法:①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该

直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.平

面与平面垂直的判定方法:①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.

22111Q

19、（1）—X+=1（2）m-A/2（3）----1-----=---为定

25m29m~NFMF9m

【解析】

22

试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为三二+二=1；

25m29m2

（2）我们要知道。=90的条件应用，在于直线/交椭圆两交点M,N的横坐标为x=4m,这样代入椭圆方程，容易

得到'A="F=|.i|=?，从而解得根=V2;

（3）需讨论斜率是否存在.一方面斜率不存在即。=90时，由（2）得—+'=，；另一方面，当斜率存在即

NFMF9m

8/90时，可设直线的斜率为左，得直线MN：y=k（x-4m）,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式,

就能得至所以'-+-=¥■为定值，与直线/的倾斜角。的大小无关

NFMF9mNFMF9m

4r2v2

试题解析：(1)c=4mfe==得：a=5m,椭圆方程为—+R=1

525m29m2

⑵当i时，-若得:

于是当。=9。时，而“号，于是七+4端=乎,

得到m=J5

（3）①当。=90时，由（2）知工+-^—=10

NFMF9m

②当8/90时，设直线的斜率为左，NC%,%）则直线MN：y^k（x-4m）

联立椭圆方程有（9+25左2）X2—200左+25/2（16左2—9）=0,

200k2m25m2(16/_9)

1'(9+25左2)“-(9+2542)

4

11——J-———?--10根一^(芯+々)90m(1+左2)

----1----=4+4=---------------------------=-------------

MFNF5〃-5X15m--x225疗_4皿为+%)+？81/(1+增？

综上，一+——=丁为定值，与直线/的倾斜角。的大小无关

NFMF9m

考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线

20、（1）证明见解析（2）叵

7

【解析】

（1）要证明AC,平面只需证明ACL3。，AC，。。即可:

（2）取用2中点P，连EF,以E为原点，EA,EB,川分别为苍Xz轴建立空间直角坐标系，分别求出。台与

——-n•OB

平面OBR的法向量n,再利用cos<n,OB>=----------计算即可.

|n\x\OB\

【详解】

(1)•••底面ABC。为菱形，

:.AC±BD

,:直棱柱ABCD-A4C］。］,,DDl1平面ABCD.

":ACu平面ABCD.

AC1DDl

.AC1BD,AC1.DDX,BDnDDX=D.

」.AC，平面

(2)如图，取用2中点口，连EF,以E为原点，EA,EB,斯分别为％%z轴建立如图所示空间直角坐标系:

二I

点3(0/,0),4(0,1,2),点(0,-1,2),A(后0,0),OS2,J

设平面O4R的法向量为n=(x,y,z),

(0,2,0),0月=-^-,-,1,

I22J

D[BiF=2y=0

有<J33，令x=2,y=0,z=J

OBX-n=----x+—y+z=0

、22

得〃=(2,0,拘

「石3、

又OB=-^,-,-1,n-OB=-2j3,\n\=y/l,\OB\=2,

I22)

设直线OB与平面。与。所成的角为氏

所以sin。=|cos<n,OB>|=|二^|=叵

2x丁77

故直线OB与平面。与2所成的角的正弦值为叵

7

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐

标.

21、(1)G：x—Gy—1=0表示一条直线，G：(x—l)2+y2=l是圆心为(1，0)，半径为1的圆；⑵2.

【解析】

(1)直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线G的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线