山东省东营市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

山东省东营市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求.

(九一工］(〃+,)6_］4

1.<'J的展开式中，含％y项的系数为—15,则。二()

A.1B.-1C.+1D.+2

［答案Xc

k解析》(a+y)6的展开式的通项公式为CM6-y,令「=4,可得Ctd-y=15。2y:

所以含二14项的系数为一151,即—15储=—15,解得a=±l.

故选：C.

2.己知a为实数，函数/(力=3%3+^必+(2+。卜的导函数为/''(%),且/'(%)是偶函

数，则曲线y=/(x)在点处的切线方程为()

A.llx-y-6=0B.9x+y-6=Q

C.5x-lly+2=0D.6x+5y-ll=0

K答案』A

［解析?因为/''(力=9/+46+2+。是偶函数，

所以''(一4)=9小—4ar+2+a=9x2+4ax+2+a=/'(x),

所以a=0,故/■'(%)=9/+2,/(X)=3X3+2X,

所以/⑴=5,r(l)=ll,

故曲线y=在点(1"(1))处的切线方程为y—5=ll(x—I),

即n%-y-6=0.

故选：A.

3.现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个黄色球、6个红色球、

5个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6,在乙筐取球的概率为0.4.

若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为()

A.0.73B.0.36C.0.32D.0.28

k答案1B

K解析X设事件A="运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球”，

事件5="运动员从甲筐球中取球"，事件C="运动员从乙筐球中取球”，

由题意可得。(A|3)=京=(,P(B)=0.6,^(A|C)=—=|.

10+J34+6+3J

P（C）=0.4,由全概率公式可得

12

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|C）P（C）=-x0.6+-x0.4=0.36.

故选：B.

4.各项均为正数的等比数列｛%｝,公比为《，贝『'4>「'是"｛%｝为递增数列”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C,充要条件D.既不充分又不必要条件

（答案》C

K解析》因为｛%｝各项为正数，且4>1,所以旦旦=4>1,即a.>%,

所以｛%｝为递增数列，充分性成立,

若｛%｝为递增数列，则%+i>%，

因为｛%｝各项为正数，所以4=也〉1,必要性成立.

故选：C

5.国内现存两件国宝级文物一战国宴乐水陆攻战纹铜壶，分别藏于故宫博物院与四川博

物馆.铜壶上的图像采用“嵌错”制作工艺，铜壶身上的三圈纹饰，将壶身分为四层.假设第一

3

层与第二层分别看作圆柱与圆台，且圆柱与圆台的高之比为；其正视图如图2所示，根

2

据正视图，可得圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为（）

（注：%台=g•乃•〃（友+/+尺。）

图1图2

（答案』B

（解析I由题意知：圆柱的底面直径为13.2cm,设高为3/cm；圆台的上下底面直径分别

3

为13.2cm和26.4cm,圆柱与圆台的高之比为,，则高为24cm）,

圆柱的体积K=兀x6.62义3/=130.68/K(cm3)；

圆台的体积匕=：(兀x6.6?+VTIX6.62X7ixl3.22+7tx13.22x2Z«203.28/71(cm3),

V130.68t7t(cm3)9

圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为4='(~K.

3

V2203.28/71(cm)14

故选：B.

6.若函数/(%)在R上可导，且/(x)>/'(%),则当a>6时，下列不等式成立的是(

A.e"(a)>e?0)B.ebf(a)>eaf(b)

C.ehf(b)>eaf(a)D.eaf(b)>ebf(a)

k答案UD

K解析X令/(x)=e"(x)(xeR),则/(x)=e[/(x)+/1%)],

由于/(4)+/'(x)的正负不确定,所以「(X)的正负不确定,不能判断11)的单调性,故

AC错误；

令g(x)=[^l(xeR),由/■(x)>/'(x)，则g(x)J(x)J(x)<0,所以g(x)为

R上的单调递减函数，

因为a>b,所以g(a)<g伍)，SfJebf(a)<eaf(b),故B错误D正确；

故选：D.

7.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引

起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数>=Asins,我们平时听

到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.己知刻画某复合音的函数为

sinx+—sin2x+-sin3x,则其部分图象大致为()

23

K答案』C

K解析U令y=/(x)=sinx+gsin2x+gsin3x,

求导得/'(%)=cosx+cos2x+cos3x=cosx+cos2x+cos2xcosx一sin2xsinx

=cosxfl-2sin2%^+cos2x(l+cosx)=(1+2cosx)cos2x,

当x«0,兀|时，由/'(x)=0解得x经，弓,

当时，制x)>0,单调递增；

(JT2兀)

当XC时，f(x)<0,/(尤)单调递减；

(2兀3兀)

当时，f^x)>0,/(x)单调递增；

当弓，兀卜寸，/(%)<0,/(%)单调递减，

所以，当尤=：和—争寸，小)取极大值；当x=g时，小)取极小值,

712兀73r3兀¥一(兀)=。，

由于

兀371

可得了,当％员0,兀)时/(x)>0,

结合图象，只有C选项满足.

故选：C.

8.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日

施2子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个

月31天计算，记此人第九日布施了子安贝(其中1W〃W31,neN*)，数列｛%｝的前〃

项和为S”.若关于n的不等式+256>(S„+2)(r+5)恒成立，则实数t的最大值为

A.15B.20C.24D.27

K答案UD

K解析』由题意可知，数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U,

2(1-2")

故4=2"(lW"W31,〃wN"),所以s“=-----L=2向-2

n1-2

由d+i+256>(S„+2)(r+5),得22a+2+2562。+5)♦2n+1,

整理得，〈当+2"M-5对任意1K〃W31，且〃eN*恒成立，

2

又曾+2"+1-5>2)曾・2'田—5=27,

当且仅当2m=16,即〃=3时等号成立，

所以/<27,即实数/的最大值为27.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.已知数列｛4｝的首项q=1,且a“+i=2a.+1,满足下列结论正确的是()

A.数列｛%｝是等比数列

B.数列｛%+1｝是等比数列

C.4=2"-1

D.数列｛%｝的前n项的和S”=T-n

［答案XBC

k解析》由题意数列｛4｝的首项4=1,且满足。用=2%+1,则g=3g=7,

则，1故数列｛%｝不是等比数列，A错误；

%/

由=2a〃+1得4+i+1=2(%+1),“〃+lwO,否则与。i=l矛盾，

则冒$=2,则数列｛%+1｝是等比数列，B正确；

由B分析知数列｛%+1｝是等比数列，首项为%+1=2,公比为“=2,

则a“+l=2x2"T,所以a“=2"—1,C正确；

数列｛%｝的前〃项的和为⑵―1)+Q2—1)++(2n-1)=2(1~2~n=2n+I-n-2,D

1—2

错误.

故选：BC

10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛(独唱独奏独舞)，由于疫情防控原因，比赛现场

只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，

比赛评分采取10分制.某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最

低分，得到7个有效评分如下表.对学生网络评分按［7,8）,［8,9）,［9,10］分成三组，其频率分

布直方图如图所示.

教师评委ABCDEFG

有效评分9.69.19.48.99.29.39.5

则下列说法正确的是（）

A.现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同

B.估计全校有1200名学生的网络评分在区间［8,9）内

C.在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7

D.从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则

E（X）=5

［答案XABD

K解析》去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，

A正确；

因为学生网络评分在区间［8,9）内的频率为0.3,学生总人数为4000,则网络评分在区间［8,9）

内的学生估计有4000x0.3=1200人，B正确；

若去掉的一个最高分为9.6,去掉的一个最低分为8.9,则9名教师原始评分的极差等于0.7,

C错误；

学生网络评分在区间［9,10］内频率为0.5,则乂~5（10,0.5）,

所以E（X）=10x0.5=5,D正确；故选：ABD.

11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点尸为圆弧AD上一动点（点尸与

点A,。不重合）AP=2AD（O<2<1）,则（）

A.存在4值，使得AD_LBP

B.三棱锥P-ABD体积的最大值为3

3

C.当彳=’时，异面直线PB与A。所成角的余弦值为逅

26

D.当直线PB与平面ABC。所成角最大时，平面A45截四棱锥P-A6CD外接球的截面

面积为

［答案XBCD

k解析》对于A选项，由题意知AOLH4，

若ABBP=B,AB,BPu平面RIP,则AD,平面

所以ADLAP，不成立，故A不正确；

对于B选项，在三棱锥P—A3。中，AB上半圆面AP£>，

则A3是三棱锥P-A3。的高，

当点P是半圆弧AD的中点时，三棱锥P-ABD的底面积S取得最大值，

三棱锥P—ABD的体积取得最大值为一义4义一x4又一=—,故选项B正确；

3223

对于选项C：当彳=；时，则尸为AO的中点，以AD的中点E为原点，以EP,区4分别为

%，y轴，建立空间直角坐标系，

则尸(2,0,0),5(0,2,4),£(0,0,0),A(0,2,0),

UULL1U

/UiruiT\PBEA4&

可得必=(-2,2,4),胡=(0,2,0),则8s(PB，W=网谓|=H=?

故异面直线PB与A。所成角的余弦值为逅，所以C正确；

6

对于D选项，取的中点。，过点尸作于点“，连接3H,

由题意知，AB工平面ADP,PHu平面ADP,PH±AB,

又因为ADr>AB=A,AD,ABu平面ABC。，

可得QH,平面ABCD，

所以BH为PB在平面ABCD内的射影，则ZPBH为直线PB与平面ABCD所成的角,

设=则。（尤＜4,OH=4—九，

在RtZ\AP£)中，PH2=AHDH=x(4-x\PD2=DH-,

所以「女=B£)2-P£)2=(4V2)2-4(4-X)=16+4%,

PH，_x(4-x)x2-4xy

故sin2/PBH=PB--16+4x-41x+4,

令，=x+4,贝Ux=，一4,且4v，v8,

所以x-4x="4)—4(7—4)ItX——12=80—12,

=Z+32_12>2

x+4tt\t

当且仅当/=：,即f=4夜时取等号，

所以sin2ZPBH＜3-272，则sinZPBH〈后—1，

所以直线尸B与平面ABCD所成最大角的正弦值为行-1，

此时AH=4四_4,P“2=（4&_4卜（8—4&）,

所以PH=4蚯（0_]）,针2=卜忘_4『+[4蚯（血_1『，AP=47^^I,

连接O〃,OP,因为出，平面ABC。，"Ou平面ABC。，所以PHLHO,

因为ABC。为正方形，

所以NQ4H=45°,

在，O〃4中，可得。"2=AH2+o42_2AH-O”cosNQ4H=72—48jL

在RtOPH中,可得OP?=尸82+082=160x(0—iy+72—48后=8,

则0尸=2拒，因为04=02=0尸=0。=：2。=2拒，

所以点。为四棱锥P-A6CD外接球的球心，

因为OP_LAP,由右期/＞=；4。，尸//=[4尸＞＜。2，解得DP0-lx拒,

所以球心。到面PAB的距离d=\DP=2VV2-1xV2,

设截面半径为r,则有产=(20)2—屋=8—4(、份—l)x拒=4形,

所以截面面积为4&兀，故D正确.

故选：BCD

12.已知函数了(无)满足：①/(4+X)为偶函数；②/(c+x)+/(c—x)=2d,a丰c,

/'(力是/(无)的导函数，则下列结论正确的是()

A./'⑴关于对称B./(2力的一个周期为2|c—4

C./(/(%))不关于(0,。)对称D./(/(%))关于％=。对称

(答案1ABD

K解析UA选项，由/(c+x)+/(c—x)=2d两边求导得/'(c+x)—/'(c—x)=O,

即/'(%)关于对称，故A正确；

B选项，由+为偶函数，知/(a+x)=/(a-x)=/(—力=/(2a+x).

又/(c+x)+/(<?_x)=2<7=^>f(—%)=2d—f(2c+x),

f(x)=2d-f(x+2\c-a\)

贝i]/(2a+x)=2d-〃2c+x)=><

f^x+2\c-a^=2d-f^x+4\c-a^

/W=/(x+4|c-«|),即/(x)的一个周期为4匕_d，则/(2x)的一个周期为2卜_4

故B正确；

C选项，注意到当c=d时，/(c+x)+/(c-x)=2c=>/(x)+/(2c-x)=2c

则/(/(c+X))+/(2c-/(c+x))=/(/(c+x))+/(/(c-%))=2c,即此时

/(/(⑼关于亿。)，即(c,d)对称，故C错误；

D选项，由尤)为偶函数，知/(尤)关于x=a对称，即/(a+x)=/(a—x),

则/'(仆+切力小-初,即/(“X))关于x=a对称，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3

分.

13.等差数列｛%｝中，%—4+8=佝，则数列｛4｝的前13项的和为.

K答案X104

K解析U在等差数列｛。“｝中，满足%—%+8=%，即的+%=%+8,

由等差数列的性质，可得为+。5=2%，所以2%=%+8,可得%=8,

又由513=13(4；&)=13；%=104.故k答案X为：104.

14.若X~N(1,4),且P(X<a)+P[X<一1=1,则。=.

K答案X-

3

K解析》由题意可知，正态密度曲线的对称轴为X=l,

由正态分布的对称性可得a+q匚=2=。=上.故k答案』为：-

233

15.已知函数/(x),g(x)在R上可导，若/(x)=g(x),则/'¥x)=g任)成立.英国数

10a

2x2n

学家泰勒发现了一个恒等式：e=a0+a.x+a2x++anx+，则£」包=

“=1nan

(答案』言

[[解析U设/(x)=e2x,g(x)=4+%x+a2x2+.+。/"+，则/=g(o)=/(o)=l,

记/("=/'(%)，(/"(x)j=/"+i(x),

则又g〃(o)=/"(o)=2",所以a“=2

n\n\

2

所以十=2|----

knn+1

所以它以」+-+2020

21+1-1—,故K答案》为：,

(2231011

»=inan

16.如图，一张纸的长AD=20a，宽AB=2a,.M,N分别是AD,BC的中点.现将

△A3。沿8。折起，得到以A,B,C,。为顶点的三棱锥，则三棱锥A—BCD的外接球。

的半径为;在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是

(答案』①#a②［岑.,2其］

K解析X由于△A3。和.ABC都是直角三角形，所以两个面的外接圆圆心都在BD的中

点处，

因此三棱锥A—5C。的外接球0的球心。在80的中点，

则半径R=g3D=gy/AD2+AB2=g+(2a7=可，

直线MN被球0截得的线段长与二面角A-班>-C的大小有关，

当二面角A-5£>-C接近180时，直线MN被球。截得的线段长最长，趋于直径2局，

当二面角A—BD—C接近0时，直线MN被球。截得的线段长最短，

如图翻折后，此时NOBN+NBONuNNO//+/BON=90°，所以NOBN=ZNOH

B0BN

则V5QV:NONH,由相似比可得■—=—,

ONOH

砥zc口_BN.ON

所以OH------------——；=———ci,

BO6a3

直线MN被球。截得的线段长d=2代—OH?=2J3a2—#=笄Ia,

综上直线MN被球O截得的线段长的取值范围是

<2J21)

故［答案U为：y［3a；---a,26a.

I37

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列｛4｝与也｝，且也｝为等比数列，a；+i-2an+l=a：+2an=4=1,

从条件①加“｝的前3项和S3=7；②%=(4+4)&;③为“=16.任选一个补充在上面

问题中，并解答下列问题：

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

（2）求数列｛q2｝的前〃项和却

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

解：⑴由嗫-2%=4+24可得,（%+i+%）（%+]-%—2）=0

又％,>0,所以％用+。“W0,贝!]-2=0,即%+1—%,=2.

•.•｛%｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）可得％=1+（〃-l）x2=2〃-1,

设等比数列｛2｝的公比为q,且4=1

若选①，则S3=0+g+%=1+q+/=7,解得4=2或4=一3

又因为｛〃｝各项为正数，；.4=2,故或=2"，

若选②，又々=（6+的泡，得/=（1+3”，又#0,则解得q=2或q=-2

又因为也｝各项为正数，...4=2,故2=2"，

若选③，因为a用二房，则置/=16,则解得4=2或q=—2

又因为也｝各项为正数，；♦4=2,故或=2"，

所以7；=岫+a2b2+a3b3+anbn

即7；=1x2°+3x2+5x22++（2〃—1）X2"T

则27；=1x21+3X22+5X23++（2n-l）x2"

相减得：

4—2x2〃

-7；,=1+（2X2'+2X22++2X2,,-1）-（2M-1）X2"=1+-------------（2〃-l）x2"=-3+（3-2"）x2"

1—2

所以％=3+（2〃—3）x2".

18.2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百

科、健康宣传等多种医疗健康服务.

（1）为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国

医生”的使用者，得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握

认为“强国医生”的使用次数与性别有关；

男女总计

使用次数多40

使用次数少30

总计90200

（2）该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的

第尤天，每天使用“强国医生”的女性人数为》得到以下数据:

X1234567

y611213466100195

通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a•，的周围，求y关于x的回归方程,

并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数.

n(ad-bc)

附：随机变量#2=7--------77——-------------------7，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

「（尤2北）0.050.020.010.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

其中z,=lgw参考公式：对于一组数据（七,%）,（%,%），，（乙,”），其回归直线

7___

2七,一“孙

9=1+各的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为2=号---------，C=y-dx.

-rix2

Z=1

77

6

yZ10°

Z=1i=\

61.91.651.825223.98

解：（1）如下表:

男女总计

使用次数多4080120

使用次数少503080

总计90110200

200(40x30-80x50)24900

2—--------------)—=----«16.498>10,828，

z90x110x120x80297

所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关;

（2）将$=6•分两边同时取常用对数得lg$=lg（0•分）=lgd+lg1=lga+x\gb,

设2=lg9，则2=lg3+%lgB,

因为=1+2++7=140,x=----------------=4,

i=i7

n__

ExiZ「nxz

51.8—7x4x1.6

所以lgg=V------------=0.25,lg&=1.6—；x4=0.6

»；一就2140-7x42

1=1

所以另=10°汽6=10%

所以y关于尤的回归方程为y=IO06x10°如=3.98x10025\

把％=12代入回归方程，得$=3.98x103=3980,

所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人.

19.如图，已知六面体ABCDPE1的面ABCD为梯形，AB//CD,AB±AD,AB=2,

CD=AD=4,棱平面ABC。，PA!/BE,PA=4,BE=2,尸为P。的中点.

(1)求证：AT//平面PBC；

(2)求直线跖与平面PC。所成角的大小.

解：(1)因为24,平面ABC。，所以PA±AD，且MLAD,

建立如图所示的空间直角坐标系O-盯z,

则4（0,0,0）,5（0,2,0）,0（4,0,0）,P（0,0,4）,尸（2,0,2）,石（0,2,2）,C（4,4,0）,

所以BP=(0,-2,4),BC=(4,2,0),AP=(2,0,2),

设平面BPC的法向量为m=（%,y,z）,

m-BP=-2y+4z=0,、

则一',令x=l,解得y=—2,z=—1,故相=(1,—2,-1),

m-BC=4x+2y=0

所以AF•=2x1+Ox(—2)+2x(-1)=0,故AE_Lm，

又AFN平面PBC，所以Ab//平面尸BC.

(2)由(1)得力户=(-4,0,4),力♦=((),4,0),助=(0,0,2)

—4a+4b=Q

设平面PCD的法向量为〃=（a,b,c）,贝卜令a=l,解得b=O,c=l,

4Z?=0

,寸n-BE272

故〃=(L°,l)'所以8S"1E=^=万3=可，

设直线班与平面PC。所成的角为8,则sin。=正，又夕e0,方,所以6=:.

2

20.某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5,二等的概

率为0.4,若达不到一、二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一

件产品的利润如下表:

等级一等二等三等

利润（万元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

（2）求该公司每天所获利润。（万元）的数学期望；

（3）若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加〃件产能，其成本

也将相应提升〃-In〃（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请

回答，并说明理由.（ln2a0.69,ln3）

解：（1）设一件产品是一等品为事件4则一件产品不是一等品为事件可，

P（A）=0.5,P（A）=0.5,2件产品至少有1件为一等品事件为A4+A4+ZA，

其概率尸=P（AA）+C2P（A）P（A）=0.52+2x0.5x0.5=0.75；

（2）设一件产品为一等品为事件A,二等品为事件3,次品为事件C,

则网⑷旬与田⑶二。.”©：。」，

则占可取的值为1.6,1.4,0.5,1.2,0.3,-0.6,

=-0.6）=[尸（C）了=0.01,尸仔=0.3）=C；P⑻P（C）=2x0.4x0.1=0.08

pq=0.5）=C；P（A）P（C）=2x0.5x0.1=0.1,P（“1.2）=[P⑻]=0.16,

p（^=1,4）=C*P（A）P（B）=2x0.5x0.4=0.4,P（J=1.6）=[P（A）『=0.25,

其分布列为：

4-0.60.30.51.21.41.6

P0.010.080.10.160.40.25

数学期望

石（9=-0.6><0.01+0.3*0.08+0・5*0・1+1.2*0・16+1・4乂0・4+1.6><0・25=1.22（万元）;

（3）由（2）可知，每件产品的平均利润为1.22+2=0.61（万元），则增加几件产品，利

润增加为0.6山万元），

成本也相应提高〃-ln〃（万元），所以净利润=0.61〃一"+ln〃=ln〃一0.39〃，

设/（x）=lnx—0.39%,则/（%）=,—0.39,

x

当X〈翳时，/（%）>0,/（无）是增函数，

当x>《时，/（x）<°，/（x）是减函数，在x=取得最大值，又2<詈<3,X

只能取整数，，x=2或1=3时/（尤）可能为最大值，

/（2）=ln2-0.39x2«0.69-0.78=-0.09<0,

/（3）=ln3-3x0.39«l.l-1.17=-0.07<0,

即在了（无）取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量；

21.已知函数/（九）=oxlnx-2x.

U）若在％=1处取得极值，求了⑺在区间［1,2］上的值域；

（2）若函数/i（x）=13-炉+2有1个零点，求a的取值范围.

解：⑴fr（x）=a\nx+a-2

因为〃九）在x=l处取得极值

所以/'（I）=alnl+a—2=0,得a=2

则xe［l,2］时,f\x)=21nx>0,/(x)在区间［1,2］上单调递增,

所以/(1)--2</(%)</⑵=41n2—4

所以,⑺在区间口,2］上的值域为［-2,4In2-4］

(2)版x)的定义域为(0,+co)

函数/z(x)=aInx-V有一个零点oainx=必有一个实数根Oy-ahix与y=/有

一个交点.

当a>0时，令〃(x)=q_2x="—>0,得0<%<口

xxV2

人“、a-2x2八,曰la

令〃(%)=-------<0,得x>J一

xV2

所以，当工=小|时，阪x)有最大值状岛=aIn4—鹤)2、(呜—1)

因为函数力(x)=aln%—X2有一个零点，

所以■|(山］—1)=0,解得a=2e

综上，a的取值范围为(-8,0){2e}.

22.如图，已知四棱锥P—A6CD的底面为菱形，且NABC=60°,AB=PC=2,

==是棱上的点，且四面体MPBC的体积为立.

(1)证明：PM=MD-,

(2)若过点C,M的平面a与8。平行，且交出于点。，求平面5CQ与平面ABC。夹角

的余弦值.

解：（1）解法一:

图1

如图1,取A3中点。，连接尸。，CO.

因为PA=PB=y/i，AB=2,所以尸OLAB,PO=1,BO^l.

又因为ABC。是菱形，ZABC=60°,所以COLAB,CO=A

因为PC=2,所以PC2=PO2+CO2,所以尸

又因为ABu平面ABC。，COu平面ABC。，ABCO=O,

所以P01平面ABCD.

因为A£）〃BC,5Cu平面PBC,A£＞衣平面PBC,

所以AD〃平面PBC,

==—XX

所以VL。f—prDB^C=匕A-1PDBCCJ—ADACBC=3—P0，SZ^AA/IDBC31—4—X4=——3■

因为丫=1=J_y,

y

J，"M-PBCo'zcVD-PBC'

所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的g,

所以=

解法二：

如图2,取AB中点。，连接尸。，CO,

图2

因为P4=P8=&，AB=2,

所以尸OJ_AB,PO=1,80=1,

又因为ABC。是菱形，ZABC=60°,

所以COLAB,CO=y/3-

因为PC=2,所以PC2=PO2+CO2,所以尸

因为ABu平面98，POu平面B4B,ABPO=O,

所以CO，平面B4A

所以，VA_PBC=VC_ABP=-CO-SAABP=-x73x-xV2xV2=^-.

过M作MN//AD交AP千点、N,ADUBC,航坟MNHBC.

又BCu平面PBC,MNN平面PBC,

所以MN//平面PBC,所以VM_PBC=VN_PBC=Vc_NBP=^CO-S^NBP=g-

36

^CO-S

因为%-ABP=].^AABP，VjNBPANBP

所以SABP=2sNBP,

所以N是总的中点，所以M是P。的中点,

所以=

(2)解法一：

如图3,以。为坐标原点，0C，0B，。尸的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间

直角坐标系，

则A(0,-1,0),5(0,1,0),C(V3,0,0),。(后―2,0),尸(0,0,1),

所以M停,,AC=(73,1,0),BC=(V3,-l,0),BD=(V3,-3,0),AP=(0,1,1),

CM

I22j

因为QwAP,设AQ=/L4P=(O,4/l),

因为BDIIa,Q^cc,CeaMea,

故存在实数。，b,使得CQ=〃CM+Z?BD,

4

-^-a-\-y/3b=-A/3ci———

3

解得"=一；,

所以<—a—3b=A—l

所以CQ=f-^/3,-

nCQ=O

设平面3CQ的法向量为勺=（x,y,z）,贝卜A即《

nABC=OA/3X-y=0

(1,73,273)

取x=1,得到平面BCQ的一个法向量4=

设平面5CQ与平面ABCD夹角是夕，

又因为％=（0,0,1）是平面ABC。的一个法向量,

/\V3

贝Ucos/3-cos,4)=1~~n~~\~~r~•

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