余弦定理习题课

余弦定理习题课[一点通]

1．已知两边及夹角解三角形，方法有两种：方法一：①利用余弦定理求出第三边；②利用正弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．2．已知两边及一边的对角解三角形，方法有两种：法一是利用余弦定理，列出关于a的一元二次方程，从而解出a，然后用正弦定理和三角形内角和定理解出角A、C.法二是直接利用正弦定理求出角C，进而求角A及边a.答案：B[思路点拨]

解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值．[一点通]已知三角形三边求角可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解．用正弦定理求解时，要根据三边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．答案：D[例3]

(12分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．

[思路点拨]

充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断．所以a＝b. (6分)又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab.所以4b2－c2＝3b2.所以b＝c.所以a＝b＝c.因此△ABC为等边三角形．

(12分)法二：利用角的关系来判定．因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)(2分)又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0. (6分)因为A、B均为三角形的内角，所以A＝B.[一点通]

1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”，进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断．

2．判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．7．若在△ABC中，acos(B＋C)＝bcos(A＋C)，则△ABC一

定是(

)A．等边三角形

B．等腰三角形

C．等腰或直角三角形

D．直角三角形答案：C答案：A1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．

(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．

(2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．2．根据余弦定理，可得以下结论：①在△ABC中，设A为最大角，若a2＜b2＋c2，则0°＜A＜90°，且三角形为锐角三角形；反之，若0°＜A＜90°，则a2＜b2＋c2.

②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则三角形为直角三角形，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则90°＜A＜180°，则三角形为钝角三角形；反之，若90°＜A＜180°，则a2＞b2＋c2.3．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；