专题22 锐角三角函数综合检测过关卷（解析版）

专题22锐角三角函数综合检测过关卷（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则sin∠ABC的值为（）A．32 B．12 C．55 【答案】D【分析】连接AD，根据网格特点和等腰三角形的性质得出AD⊥BC，根据勾股定理求出AD=22【解答】解：连接AD，如图所示：根据网格特点可知，点D为BC的中点，AB=AC=1∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AD=2∴sin∠ABC=AD故选：D．2．（3分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．20033米 B．40033米 C．200米 【答案】B【分析】根据正切的定义求出AB，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，∵sinB=AC∴AB=AC故选：B．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，AC＝13，BC＝12，则sinC＝（）A．513 B．1213 C．512 【答案】A【分析】根据正弦的定义即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，AC＝13，即sinC=AB故选：A．4．（3分）cos60°的值是（）A．12 B．1 C．32 D【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：cos60°的值是12故选：A．5．（3分）如图，小强在点A处测得自家三层楼房BC的上端点B的仰角α＝30°，并测得点A至楼房底部点C的水平距离为18米，则楼房的高度为（）A．63米 B．36米 C．183米 D．9【答案】A【分析】直接利用正切三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝18，∠A＝30°，tan∠A=BC∴BC＝AC•，tan30°＝18×33=答：楼房的高度为63米．故选：A．6．（3分）如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-【答案】B【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得∠BAD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，sin30°=ADAB=AD200=12，cos30°=BDAB=BD200=32，解得AD＝100，BD=1003，在Rt△ACD【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得∠BAD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝200米，∠BAD＝30°，∴sin30°=ADAB=AD200解得AD＝100，BD=1003在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，则AD＝CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝（1003+故选：B．7．（3分）已知α为锐角，cos(α-20°)=32，则A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】直接利用特殊角的三角函数值求得α﹣20°的值，然后求得α的度数即可．【解答】解：∵已知α为锐角，cos（α﹣20°）=3∴α﹣20°＝30°，∴α＝50°．故选：B．8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝17，则cosA的值是（）A．1517 B．817 C．815 【答案】A【分析】先根据勾股定理求出AC，然后再利用余弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8，AB＝17，∴AC=AB∴cosA=AC故选：A．9．（3分）如图，某游乐场一个跷跷板支撑柱OH垂直地面，OA＝OB，当AB的一端A着地时，∠BAH＝α，若OH＝x，则AB长可表示为（）A．2xsinα B．2xcosα C．2x•sinα D．2x•【答案】A【分析】根据题意可得：OH⊥AH，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，再根据OA＝OB，可得AB＝2OA=2x【解答】解：由题意得：OH⊥AH，在Rt△AOH中，∠BAH＝α，OH＝x，∴AO=OH∵OA＝OB，∴AB＝2OA=2x故选：A．10．（3分）Rt△ABC的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（）A．都扩大3倍 B．都缩小为原来的13C．都不变 D．无法确定【答案】C【分析】根据Rt△ABC的各边长都扩大3倍后，所得的三角形与原三角形相似，即可解答．【解答】解：∵Rt△ABC的各边长都扩大3倍，∴所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有改变，∴锐角A的余弦值和正切值都不变，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）如图，为确定某隧道AB的长度，在建设中测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A点处的俯角为60°，BC的坡比为1：3，则隧道AB的长为18003米（结果保留根号）．【答案】18003米．【分析】证明∠ACB＝∠B＝30°，则AB＝CA，即可求解．【解答】解：如下图，连接AC，由题意得：∠MCA＝60°＝∠CAH，∵BC的坡比为1：3，则∠B＝30°，则∠ACB＝∠B＝30°，则AB＝CA=CHsin∠CAH=故答案为：18003米．12．（3分）如图是某建筑物的侧面图形．已知AB建筑物坡度为3：1总长为2010米．斜坡AC和平台CD形成∠ACD为135°，从E点看D点的仰角为30°，AC斜坡长15米．求DE长度为（120﹣152）【答案】（120﹣152）．【分析】在Rt△ABH中，设BH＝xm，则AH＝3xm，则AB=10x＝2010m，求出AH＝60；在Rt△ACG中，求出AG=22AC；在Rt△DNE中，∠DEN＝30°，则DE＝【解答】解：过点A作AH⊥BE于点H，延长DC交AH于点G，作DN⊥BE于点N，则Rt△ABH中，设BH＝xm，则AH＝3xm，则AB=10x＝2010解得：x＝20，则AH＝60（m），在Rt△ACG中，由∠ACD为135°知，∠ACG＝45°，则AG=22AC=15则GH＝AH﹣AG＝（60-1522）m在Rt△DNE中，∠DEN＝30°，则DE＝2ND＝（120﹣152）m，故答案为：（120﹣152）．13．（3分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1m的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40m，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°，则该建筑物的高度AB为(61+203)m【答案】(61+203【分析】设AM＝x米，利用正切的定义用x表示出FM，EM，根据FM﹣FE＝EM列方程，即可求解．【解答】解：由题意知，CD＝FE＝40，CF＝BM＝1，设AM＝x，在Rt△AMF中，tan∠AFM=AM则FM=AM在Rt△AME中，tan∠AEM=AM则EM=AM∵FM﹣FE＝EM，∴x-40=3解得x=60+203∴AB=AM+BM=60+203故答案为：(61+20314．（3分）如图，一幢居民楼MN临近斜坡AP，斜坡AP的坡度为i=1：3，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为60°，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为45°，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为(16【答案】(163【分析】过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥MN于点F．由斜坡AP的坡度为i=1：3，可得出∠PAE＝30°，结合题意即可得出PE＝8米，AE＝AP•cos∠PAE＝83米．由所作辅助线结合题意可知四边形EPFN为矩形，得出NF＝EP，NE＝PF．又易证△PMF是等腰直角三角形，即可设PF＝MF＝m米，则MN＝（m+8）米，NA=(m-83)米．最后在Rt△AMN中，根据正切的定义可列出关于m的等式，解出【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥MN于点F，∵山坡AP的坡度为i=1：3=33∴∠PAE＝30°．∵PE⊥BN，∴PE=12AP=8米，AE＝AP•cos∠PAE＝16×∵PF⊥MN，∠MPF＝45°，∴△PMF是等腰直角三角形，∴PF＝MF．由所作辅助线结合题意可知四边形EPFN为矩形，∴NF＝EP，NE＝PF．设PF＝MF＝m米，则MN＝（m+8）米，NA=(m-83在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴tan∠NAM=tan60°=MNAN，即解得：m=16(3∴MN=16(3即该居民楼的高度为(163故答案为：(16315．（3分）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为4m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，若在地面C处测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是27m．（结果精确到1m，参考数据；2≈1.41，3【答案】27m．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，先解直角三角形求出BD，CD的长，从而可得BC，再根据直角三角形的性质求出BE的长即可得．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB＝4×10＝40（m），∠ACE＝75°，∠BCE＝30°，AB∥CE，∴∠ACB＝∠ACE﹣∠BCE＝45°，∠ABC＝∠BCE＝30°，在Rt△ABD中，AD=12AB=20m在Rt△ACD中，CD=AD∴BC=BD+CD=(203在Rt△BCE中，BE=1即这架无人机的飞行高度大约是27m，故答案为：27m．三．解答题（共8小题，满分55分）16．（6分）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°【答案】见试题解答内容【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝2×32=3+2＝2．17．（6分）2cos30°﹣tan60°+sin245°．【答案】12【分析】先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin245°=2×3=3=118．（6分）计算：tan60°+sin30°﹣tan45°•cos30°．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案．【解答】解：原式=3+=3=119．（6分）计算：cos60°﹣2sin245°+32tan2【答案】0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式=12-2×（22）2+=12-=12-＝0．20．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，sin∠A=45，BC＝20，求△【答案】见试题解答内容【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出△ABC的周长和面积．【解答】解：由sinA=BCAB=45得出：AB＝25，由勾股定理得出：AC=AB则C△ABC＝AB+BC+AC＝25+20+15＝60，故S△ABC=12BC•AC=12×2021．（8分）小明家为相应政府“全民健身”号召，准备买一台跑步机，周末和家人一起去科尼斯百货购买，爱动脑筋的小明想用刚刚学过的三角函数的有关知识求助跑步机踏板的长度．图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1m，踏板CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°．求跑步机踏板CD的长度（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）【答案】见试题解答内容【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，则CG＝h﹣CF，然后在Rt△CDG中，根据三角函数可求CD的长度．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝0.8•sin68°≈0.744（m），则CG＝h﹣CF＝1.1﹣0.744＝0.356（m）．在Rt△CDG中，CD=CGsin∠CDE=0.356跑步机踏板CD的长度约为1.7m．22．（8分）为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24米，在公路上取两点B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．（1）求BC的长（结果保留根号）；（2）已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从B到C用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．（参考数据：3≈1.7，2≈【答案】（1）163；（2）超速．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDA中，利用正切函数，即可求得CD与BD的长，继而求得BC的长；（2）由从B到C用时2