山东省临沂市兰陵县第四中学2024年数学高一下期末统考试题含解析

山东省临沂市兰陵县第四中学2024年数学高一下期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C． D．2．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则与为异面直线C．若，，，则D．若，，，则3．已知等比数列，若，则()A． B． C．4 D．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A．①② B．③④ C．①③ D．②④5．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A． B．C． D．7．若满足约束条件，则的最小值是（）A．0 B． C． D．38．设，为两个平面，则能断定∥的条件是（）A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面9．设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]10．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．12．函数的单调增区间为_________.13．如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量_______（用，表示向量）14．在中，，，，点在线段上，若，则的面积是_____．15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为________.16．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）若，求的值.18．已知函数的值域为A，.(1)当的为偶函数时，求的值；(2)当时,在A上是单调递增函数，求的取值范围；(3)当时，（其中)，若，且函数的图象关于点对称，在处取得最小值，试探讨应该满足的条件.19．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在区间[0，]上有两个实数解，求实数m的取值范围．20．如图，在三棱柱中，底面，，，，分别为的中点，为侧棱上的动点（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为线段的中点，求证：平面；（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直．若能垂直，求的值；若不能垂直，请说明理由21．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，证明．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确；B．，所以B错误；C．，所以，所以C正确；D．，所以．D正确．考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．2、D【解析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由，为直线，，为平面，知：在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.3、D【解析】

利用等比数列的通项公式求得公比，进而求得的值.【详解】∵，∴.故选：D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.4、D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，故选D.5、A【解析】

先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.【详解】由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.6、B【解析】

由图象可知,所以,又因为,所以所求函数的解析式为.7、A【解析】可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.8、C【解析】

对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别为A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9、D【解析】

求出导函数，题意说明在上恒成立（不恒等于0），从而得，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解.【详解】二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f（2），则当时，有．【点睛】实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.10、D【解析】

利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，联立，解得：，由于为锐角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,∴P==.12、【解析】

先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性，结合复合函数的单调性的判断可得出选项.【详解】因为，所以或，即函数定义域为，设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.13、【解析】

先求得，然后根据中位线的性质，求得.【详解】依题意，由于分别是线段的中点，故.【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题.14、【解析】

过作于，设，运用勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】过作于，设，，，，又，可得，即有，可得的面积为．故答案为．【点睛】本题考查解三角形，考查勾股定理的运用，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．15、3【解析】

先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，，的频率之比，根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数.【详解】身高在，，的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.16、【解析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是；（2）.【解析】

（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，利用极限知识，求出，即可求得的值。【详解】（1）当时，点，所以，即由得，当时，，将代入，，故数列是以为公差的等差数列。（2）因为，所以，，由得，，，故，。【点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由函数为偶函数，可得，故，由此可得的值．（2）化简函数，求出，化简，由题意可知：，由此可得的取值范围．（3）由条件得，再由，，可得．由的图象关于点，对称求得，可得．再由的图象关于直线成轴对称，所以，可得，，由此求得满足的条件．【详解】解：（1）因为函数为偶函数，所以，得对恒成立，即，所以.（2），即，，由题意可知：得，∴.（3）又∵，，，不妨设，，则，其中，由函数的图像关于点对称，在处取得最小值得，即，故.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，单调性和对称性的综合应用，属于中档题．19、（Ⅰ），函数的增区间为．（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；（Ⅱ）由题意，函数的图象和直线在区间上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意，函数所以函数的最小正周期为，∴，即．令，求得，可得函数的增区间为．（Ⅱ）在区间上，则，则，即，关于x的方程在区间上有两个实数解，则的图象和直线在区间上有两个不同的交点，则．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x的方程在区间上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线BC1与平面APM不能垂直，详见解析【解析】

（Ⅰ）由等腰三角形三线合一得；由线面垂直性质可得；根据线面垂直的判定定理知平面；由面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）取中点，可证得，；利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面；根据面面平行性质可证得结论；（Ⅲ）假设平面，由线面垂直性质可知，利用相似三角形得到，从而解得长度，可知满足垂直关系时，不在棱上，则假设错误，可得到结论.【详解】（Ⅰ），为中点平面，平面又平面平面，平面又平面平面平面（Ⅱ）取中点，连接分别为的中点且四边形为平行四边形又平面，平面平面分别为的中点又分别为的中点又平面，平面平面平面，平面平面又平面平面（Ⅲ）假设平面，由平面得：设，当时，∽由已知得：，，，解得：假设错误直线与平面不能垂直【点睛】本题考查立体几何中面面垂直、线面平行关系的证明、存在性问题的求解；涉及到线面垂直的判定与性质、线面平行的判定、面面平行的判定与性质定理的应用；处理存在性问题时，常采用假设法，通过假设成立构造方程，判断是否满足已知要求，从而得到结论.21、（1）;（2）见解析.【解析】【试题分析】（