山东省聊城市2024届高三年级下册模拟考试（二模）数学试题（含答案解析）

山东省聊城市2024届高三下学期模拟考试（二模）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.点尸在抛物线产=8无上，若点尸到点（2,0）的距离为6,则点尸到y轴的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

2.已知集合■〈尤4i，,N={x|2xeZ},则McN=（）

b

A-{则-H4}cH』』d-

（2\

3.已知函数为R上的偶函数，且当x>0时，/（x）=log4x-l,则/-2弓=（）

\7

A.--B.--C.-D.-

3333

4.若圆。［：/+丁=1与圆C?:（尤-a）2+（y-6）2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过

点（。力）的是（）

A.2x+y-0=0B.2x-y+2=0

C.尤+y—应=0D.无一>+2=0

5.班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一

位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（）

A.60种B.54种C.48种D.36种

6.已知双曲线0《-5=1（4>0,6>0）的右焦点为尸，一条渐近线的方程为y=2x,若直线

ab

y=丘与C在第一象限内的交点为P,且轴，则％的值为（）

A.@B.也C.逑D.巫

2255

7.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,记ABC与aACD的面

积分别为H.S?,则Sz-H的值为（）

D

A.2B.73C.1D.叶

2

8.已知圆柱。。的下底面在半球。的底面上，上底面圆周在半球。的球面上，记半球。的

底面圆面积与圆柱。。的侧面积分别为,半球。与圆柱。的体积分别为匕匕,则当，

V

的值最小时，区的值为()

A.逑B.6C.至D.72

34

二、多选题

9.已知向量。=(一1,2),6=(1,4),若b在〃上的投影向量为〃，贝U()

A.2=3B.a//b

c.aY(b-a)D.£与匕的夹角为45。

10.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是()

A."AB=PB”与"PB=BD"

B."24_12。”与“尸3_1_加'

C.“尸3J_CD”与“PC，

D.“平面RLB_L平面尸3D”与“平面尸CD_L平面尸比)”

11.已知函数/"『也卜+北聿^4^送⑺=侬卜+北-台xV总，则下列结

论正确的是()

A.若动直线为="与〃x),g(x)的图象的交点分别为A,8,则|AB|的长可为日

B.若动直线丫=相与〃x),g(x)的图象的交点分别为则|相|的长恒为:

C.若动直线y=±m与〃x),g(x)的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为T

试卷第2页，共4页

D-若/飙)=1,贝哈T)2岳-加

10

三、填空题

2

12.已知acR,且“id--7=1,则。=_______.

〃+i

13.甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为2:，乙获胜的概率为1：，采

用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为.

14.已知正方形ABCD的四个顶点均在函数〃力=丁_2缶+1的图象上，若4,8两点的横

坐标分别为百，三，则|瓦引=

四、解答题

15.随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售

背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服

务，提高客户满意度，在其A，8两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评

分调查(满分100分)，评分结果如下：

分公司A66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

⑴求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意

的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期

望.

16.如图，在几何体ABC-A与G中，四边形3CG4是边长为2的正方形，M即，的=3,

点E在线段AG上，且EG=2A£.

4

⑴证明：耳E〃平面ABC1；

(2)若AB2平面BCG瓦，且AB=2,求直线AG与平面ABe所成角的正弦值.

17.已知数列｛4｝,｛2｝满足。2"-1=62,1+12根,%1=，叫“，加为常数，若｛%｝为等差数列，且

b4-b2=2(4-4)=2(4+/)=8.

(1)求机的值及｛4｝的通项公式；

⑵求也｝的前2〃项和$2..

18.对于函数Ax),若存在实数为，使/(%)/(%+团=1,其中2力0,则称Ax)为“可移2倒

数函数”，不为"/(X)的可移彳倒数点”.已知g(x)=e*,/z(x)=x+a(a>0).

⑴设°a)=g(x)〃“x),若应为“人(无)的可移-2倒数点”，求函数。(刈的单调区间；

g(x),x>0

⑵设O(x)=11八，若函数0(x)恰有3个“可移1倒数点”，求。的取值范围.

h(x)

19.已知椭圆C：!+/=l(a>6>0)的短轴长为2,离心率为手.

(1)求C的方程；

⑵直线/：>=丘+〃欣>。，相>0)与C交于M,N两点，与y轴交于点A,与X轴交于点B,且

AM=ABM,AN=juBN.

(i)当〃=?=2时，求％的值；

(ii)当九+〃=3时，求点(0,-⑹到/的距离的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】由抛物线的定义知，点尸到焦点的距离等于点尸到准线的距离，结合点尸和准线的

位置，求点尸到y轴的距离.

【详解】抛物线y2=8x开口向右，准线方程为x=-2,

点尸到焦点的距离为6,则点P到准线的距离为6,

点尸在y轴右边，所以点P到y轴的距离为4.

故选：A.

2.D

【分析】由交集的定义求解.

【详解】集合M=H<xWl1,N={x|2xeZ},则McN=,0,g4.

故选：D

3.A

22

【分析】根据偶函数的定义可得/(-23)=/(23)，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.

【详解】因为〃幻为偶函数,所以/(-x)=/(x),

22221,«

?5

贝！1E)=/(2)=log"一1=10g222'-1=log,2-1=--1=--.

故选：A

4.D

【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心(。力)所满足的轨迹方程，

从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点(。力)即可.

【详解】圆Ci：/+y2=i的圆心6(0,0),半径11,圆C2：(x-a)2+(y-切2=4的圆心

G(a,b),半径4=2,

若圆C1与圆C?恰有一条公切线，则两圆内切，

所以|GG|=|左一臼，即扬+无=1，所以点的轨迹为圆Y+y2=1,

对于A,圆心(0,0)到直线2x+y-42=o的距离为"°二闽=巫<1，则该直线过点(凡。)，

V55

答案第1页，共16页

故A不符合;

对于B,圆心（0,0）到直线2尤-丫+2=。的距离为12Z浮1=递<1,则该直线过点（a/）,

A/55

故B不符合；

对于C,圆心（0,0）到直线x+y-0=0的距离为回=©=1，则该直线过点（4力），故C

不符合;

|0-0+2|

=6>1,则该直线不过点

对于D,圆心（0,0）到直线尤->+2=0的距离为~1T~

故D符合;

故选：D.

5.B

【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况

进行说明即可.

【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时,

先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有C；=3种结果,

然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有C：=6种结果,

余下的两个学科给剩下的两个人，有A；=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x6x2=36种，

第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，

先选两人出来，有C；=3种结果，

再将四门不同学科分成两堆，有*=3种结果,

将学科分给学生，有A；=2种结果，

所以不同的安排方案共有3x3x2=18种，

综合得不同的安排方案共有36+18=54种.

故选：B.

6.C

答案第2页，共16页

、

b2

【分析】根据双曲线的渐近线方程可得b=2a=>C=J5Q,由BF_LX轴得尸G—，利用斜

a)

率公式可得结果.

【详解】因为双曲线己±-[=1(“>0g>0)的渐近线方程为丫=±生，依题意有2=2,

abaa

即b=2anc=«a,又右焦点为尸(c,0),且Wx轴，所以

匕

所以左=左一工岁;4a241,

OPrz2r

cac75a'5

故选：C.

【分析】根据余弦定理得BC。-AC2=-2BC-4、CD2-AC2=2CD-4,两式相减可得CD-8C=2,

由三角形的面积公式得Sz-E邛(3BC),即可求解.

【详解】在,ABC中，由余弦定理得cos2=+8U-AC?

2ABBC

即十叩F,得小—2BJ①,

在，ACD中，由余弦定理得COSD=W+CDLA.,

2ACCD

即L4+m-AC?,得cpZ-AC-ZCDT②，

24CD

又E」AR5Csin120。=是BC,S,=-ADCDsin60。=—CD,

122-22

所以邑=^CD-与BC=*CD-BC)③,

由②一①，<CD2-BC2=2(CD+BC),由CD+8C>0,

得CD-BC=2,代入③得S2-St=A/3.

故选：B

答案第3页，共16页

8.A

Shr

【分析】设圆柱底面半径为「，高为〃，球的半径为R,则三=五+不，根据基本不等式可

得，=〃、R=®,结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解.

【详解】设圆柱底面半径为厂，高为〃，球的半径为R,

14322

则R2=%2+/2,s=TIR2,ST=27irh,V=---7iR=-7TT?3,V；=nrh,

二匚[、iSTIR2h2+r2hr[h~~~

所以一=---=-----=——+——>2J--------=1,

S12nrh2rh2r2hV2r2h

当且仅当r=〃时等号成立，此时R=

所以E===逑.

Knr2hTtr2-r3

【分析】根据投影向量的公式求出2的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.

【详解】对于A,因为6在£上的投影向量为“，即土上&=。,

\a\\a\

a.b

所以巴==1,即-7]+72^2=,1，解得4=3,故A正确;

1«12(5

对于B,。=(一1,2),6=(1,3),所以(—1)x3—2x1x0,故B错误；

对于C,分伍-。)=(-1,2>(2,1)=-2+2=0,所以a_L(6-a),故C正确；

对于D,cos<“,6>=*2=二1+0=*,所以“与。的夹角为45。，故D正确.

\a\\b\VSxVK)2

故选：ACD.

10.BC

【分析】利用正方形的特征可判定A,利用球的特征可判定B,利用面面垂直的性质可判定

答案第4页，共16页

C,利用反证法可判定D.

【详解】对于A,显然=时，而底面ABCD是正方形，AB^DB,

所以依=3D不成立，故A错误；

对于B,设底面正方形中心为O,则P在以。为球心，以为半径的球面上时可符合题意,

故B正确；

对于C,当平面P3CN底面A3CD时，

由面面垂直的性质可知AB2平面P3C,。。_1_平面23。，显然符合题意，故C正确;

对于D,先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，

ac0=l,acy=a,/3cy=b

如图有，a_L7,取Ae/,作AB_La,AC_LZ?,

垂足分别为3、C,由面面垂直的性质可知AB，%AC，/,

\AC11

由线面垂直的性质可知/<=£,/<=A,;.《,,,，

AB11LI

又ABAC=A,AB,AC由线面垂直的判定可知/，7,

若“平面PAB_L平面PSD”与“平面PCD_L平面PB£>”同时成立，

易知P=平面RABc平面PCD,可设平面PABc平面尸8=/,则Pe/,

则/工平面PSD,

易知AB〃C£),ABcZ平面PCD,所以AB//面尸CD,则/〃AB,

答案第5页，共16页

则有AB2平面PB£>,显然不成立，故D错误.

故选：BC

11.BCD

【分析】先判断函数〃x）,g（x）的单调性及值域，由条件确定机的范围，设点A8的坐标分

别为（小租）,（电即），列方程化简可得士-9=：，由此判断AB,判断直线旷=土相与

〃x）,g（x）的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件〃/）=；,结合两

角差余弦公式可求cos2%，根据二倍角公式可求cos引，由此判断D.

■心I兀,，2兀f口兀兀，3兀

【1羊解】由龙4丁，nJ#-<2x+-<—,

63262

所以小）在区间/g上单调递减，

且/”Lsi吟=1，“上山人吟一，

所以

由一■—<x<-,可得042x+巴4兀，

12126

所以函数8⑺在区间-含，!!上单调递减，

且8（D"[-合]=30=1,〃X）”|||j=COS7t=-l,

所以-lWg(x)Wl,

由已知一14用《1,

所以直线y=，”与函数》=〃”,〉=8（%）都只有一个交点,

设点A，3的坐标分别为（玉,〃2）,。2，加）,

则sin=sin

兀,c兀，3兀兀2兀，3兀

—W2x.H—W—,一K2xH---W—,

216222?32

re37r

因为函数、=5由工在上单调递减,

LLr、t-兀2兀

所以2玉+—=--+2X,

632

jr

所以无1一%2=-，

答案第6页，共16页

所以|AB|=J(X]-%)2=|再一引=:'A错误，B正确,

设直线y=T%与函数y=/(x),y=g(x)的交点为c,，

则|CD|=2，又ABUCD,

所以四边形ABDC为平行四边形，其面积S=：x2W|4g,C正确;

B——y=m

加尸sin（2x+专）

->

X

^C—y=-m

g（x尸cos（2x+专）

对于D,因为〃?）=g,

71

所以sin|2m+^\=3"c,/3兀

05,2t62

_47T_7T7T57r

所以cosart

-5-<2m.+-<n,即/

所以cos2m0=3

2岳-石

W

答案第7页，共16页

恤71=cos恤=2屈由非，D正确;

所以g

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到AN点横坐标之间

_jr

的关系，即西一々二^，

12.1

【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于〃的方程，解之即可.

2a一2i2a2

【详解】ai+—=ai+——\7~x-=Qi++a—5--i=l,

Q+16Z+i）（6Z-i）Q?+1Cl2+1a+1

2a

7TT=1

所以，解得4=1.

a-=0

6Z2+1

故答案为：1

3

13.-/0.6

5

【分析】根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件3,根据条件概率公式分别求

解P(A)、尸(A5)的值，进而计算可得答案.

【详解】根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件3,

7921220

P（A）=%+《X—X—X—=——

-33327

224

P（AB）=Clx—x—=

339,

4

-3

29

故尸(例")=记=-12一-

5-

2020

27

3

故答案为：—.

14.乖)

【分析】分析函数关于点〃(。，1)中心对称，进而正方形ABC。的对称中心为设出直线AC

的方程为、=丘+1(左＞0),则直线的方程为〉=-人+1,A(X],%),B(x2,y2),则C(-西,

k

2-yJ,D(f,2-y2),联立直线方程与函数y=/(x)可得石？=%+2也，x：=2艮;,由

答案第8页，共16页

IAM1=1|,可得(1+左2)伏+20)=(1+《)(2五-J),进而求得"?的值，所以可得占缶,

kkk

代值计算即可得出答案.

【详解】因为〃力=丁一2缶+1,所以/(f)=-d+2缶+i,则f(x)+/(r)=2,得函

数/(x)关于点M(O,1)中心对称，

显然该正方形ABCZ)的中心为

由正方形性质可知，AC13。于M,且|AM|=|BAn=|CN|=|DM|,

不妨设直线AC的方程为y=kx+Kk>0),则直线BD的方程为y=~~x+l,

k

设4(%,%),B(X2,y2),则C(f,2-D(-x292-y2),

y=kx+\

联立直线AC方程与函数＞=/(%)得BPx3~(k+2y[2)x=0,

y=d—2A/2X+1

玉2=左+20,同理兀2?-2^2-y,

K

又|AM|=Jl+F小1+'|%―0|,

：.(l+k2)(k+2A/2)=(1+p)(2^-,即％2+g+2应(k_：)=0,

化简得*—y+2>J^(k—)+2=0,•-k—=,

kkk

二.%2%2=(%+26)2A/2+7=2。卜&)+7=3,

kk

••|.XjX-j|—^3.

故答案为：V3.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线的综合运用.解决本题的关键是利用函数的对称

性与正方形的对称性，从而可设互相垂直的两条直线，再根据直线与曲线相交的坐标关系,

进而利用相交弦长公式确定直线斜率关系式.考查了运算求解能力，属于较难题目.

15.(1)75

答案第9页，共16页

Q

⑵E（X）=],分布列见解析

【分析】（1）将数据从小到大排列，根据第一四分位数的概念求解即可；

（2）先求出两个公司不满意的人数，确定随机变量的取值，然后求出对应的概率，根据数

学期望公式求解即可.

【详解】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62,66,70,72,73,77,78,

79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.

因为20x25%=5,

73+77

所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为75.

（2）由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司8中75分以下的有62分，70分，73分，

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.

所以X的所有可能取值为1,2,3.

尸(x=l)=*=上;尸(X=2)=5=9;尸(X=3)=*1

'/C；10'/C；5'/C；101

所以X的分布列为

X123

331

P

10510

331Q

数学期望石(X)=lx—+2x—+3x—==.

v7105105

16.(1)证明见解析

⑵也

【分析】（1）要证明线面平行：4E〃平面48G，只需证明平面片/E〃平面ABG（其中

点/在线段网上，从而只需结合线面平行的判定定理分别得出ME//平面

ABCt,用"//平面A5G即可.

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线4G的方向向量与平面出的法向量，从而由

答案第10页，共16页

公式Icosn,AG।=%I","—iGL即可运算求解.

11H-|AG|

【详解】（1）在线段AA上取一点使4M=，AA，

连结用M,ME,贝l]M4=2AM,

又因为EG=2AE,所以ME〃AG，

因为ME.平面ABC”AC】u平面ABC；,所以MEV/平面ABC；,

由AA=3,得M4=2,又B[B=2,且A4,BBt,

所以四边形AB与M为平行四边形，所以4M〃AB,

因为耳M<Z平面ABC^ABu平面ABC,,所以//平面ABQ,

又B】McME=M,瓦Mu平面4ME,MEu平面4ME,

所以平面耳ME//平面4BG,

又因为4Eu平面gME,所以瓦E〃平面ABC一

（2）因为A?2平面BCC由/K,BCu平面BCGA，所以AB，8耳,AB，BC,

又四边形BCG耳是正方形，所以8瓦，BC,

所以BC,BA,BBt两两互相垂直.

所以以8为原点，以242与所在直线分别为x轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

由AB=BC=2,巧=3,得4（0,2,0）,4（0,2,3）,4（0,0,2）,G（2,0,2）,

答案第11页，共16页

于是AC=（2,-2,-1）,破=（0,-2,2）,^A=（0,2,1）,

1（242、

B1E=B1A+-AC1=^-,-,-J,

/、n-AB,=0

设平面的法向量为〃=x,y,z,则,

n-B,E=0

「2y+2z=。1=0

得242c，即。n，

—x+—y+—z=0[x+2y+z=0

令y=l,得z=l,x=-3,所以平面的一个法向量〃=（一3,1,1）,

设直线AG与平面A瓦E所成的角为凡

四叼―卜鹿一属1KM丁缪.

所以直线AG与平面A耳E所成角的正弦值为T.

17.⑴机的值为:，%=2九+3

(2)6n2+7n

【分析】（1）设等差数列｛风｝的公差为d,结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得;

（2）由题意可得6/2〃=2%〃，借助分组求和法计算即可得解.

【详解】（1）由题意知」一注=8也一4=4,%+4=4,

%=a+12机

a2=mb2

b1a=b+12m

因为«2n-i=2„-i+2m,a?“=mbln,所以<33

%=mb4

q+4=2。］-12m

a3—ax=b3—bx=4=2d

设等差数列｛%｝的公差为d,则<。4_«2=%(。4-b2)=8m=2d,

4+4=24-12m=4

答案第12页，共16页

d=2

1

m=—

解得2,所以q=5+(l)x2=2〃+3,

41—5

所以机的值为1,{a„}的通项公式为=2〃+3；

(2)由(1)知，an=2n+3,%=%>-i-6,b2n=2a2n,

所以S2〃=(4+2+%++621)+(〃2+々+包++2n)

=(%+q+〃5++%〃-i—6〃)+2(/+/+4++“2九)

」(iqf+2x〃3+%)/(5+4"+l).6〃+“7+4〃+3)

222v7

=6n2+7n.

所以｛2｝的前2〃项和邑〃=6/+7〃.

18.(1)单调递增区间为(-,-3),(-1,+8),递减区间为(-3,-1)；

(2)(2,e).

【分析】(1)根据给定的定义，列式求出。值，再利用导数求出函数9(x)的单调区间.

(2)利用定义转化为求方程0(x)o(x+l)=l恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零

点情况即可.

【详解】(1)由上为“人⑺的可移-2倒数点”，得可逝)〃(&-2)=1,

即(夜+。)(0_2+4=],<Sa2+(2>/2-2)a+l-25/2=0,即(a+2忘-1)(。-1)=0,解

得。=1,

由0(x)=e'(x+l)2的定义域为R,求导得d(x)=eX(x+l)2+2e*(x+l)=e*(x+D(x+3),

当xe(T»,-3)时，e'(x)>0,°(x)单调递增;xe(-3,-l)时,d(x)<0,"(x)单调递减;

xe(-l,+oo)时,0'(x)>0，e(x)单调递增,

所以9(x)的单调递增区间为(―,-3),(7,口)，递减区间为(-3,-。.

答案第13页，共16页

ex,x>0

（2）依题意，G（x）=11，

------,x<0

由无）恰有3个“可移1倒数点”，得方程o（x）o（x+l）=l恰有3个不等实数根,

①当x>0时，x+l>0,方程。（龙）0（x+l）=l可化为e2*+i=1,解得x=-；,

这与尤>0不符，因此在（0,+“）内«（x）«（x+l）=0没有实数根；

X+1

②当一l<x<0时，x+l>0,方程0（x）0（x+l）=l可化为----=1,

x+a

该方程又可化为0=6用-%.

设Mx）=e"i-x,则％'（x）=e*+i-1,

因为当x«TO）时，左'（％）>0,所以左⑺在（TO）内单调递增，

又因为％（T）=2，M0）=e,所以当xe（—l,0）时，又力«2簿）,

因此，当a式2,e）时，方程研“0（%+1）=1在（TO）内恰有一个实数根；

当440,2］口卜,+8）时，方程0（x）0（x+l）=l在（-1,0）内没有实数根.

③当了=一1时，X+1=0M（X+1）没有意义，所以犬=一1不是0（x）0（x+l）=l的实数根.

④当x<-l时，x+l<0,方程0（x）0（x+l）=l可化为」-------——=1,

%+〃X+Q+1

化为f+（2。+l）x+储+4-1=0,于是此方程在（—8,—1）内恰有两个实数根,

（2a+l）2-4（a2+a-l）>0

则有一一"■<一1,