湖北省宜昌市高中教学协作体2023-2024学年高一下数学期末学业水平测试试题含解析

湖北省宜昌市高中教学协作体2023-2024学年高一下数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列结论正确的是（）．A．若ac<bc，则a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，则ac<bc D．若a<b2．等差数列的前项和为.若,则（）A． B． C． D．3．已知函数，若，，则（）A． B．2 C． D．4．在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．中，，，，则（）A．1 B． C． D．46．设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是A．B．C．D．7．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A． B．C． D．9．已知的三个顶点都在一个球面上，，且该球的球心到平面的距离为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．10．若，，则的最小值为（）A．2 B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列满足，则____________．12．已知，，若，则实数________.13．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．不等式的解为_______．15．已知实数满足条件，则的最大值是________.16．若直线的倾斜角为，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.（1）若，证明：数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.18．设函数，其中向量，．（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，求外接圆半径．19．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a20．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校，，的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.高校相关人员抽取人数A18B362C54（1）求，；（2）若从高校，抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校的概率.21．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A.若ac<bc，则a<b,因为不知道c的符号，故错误；B.若a2<可令a=-1，b=-2，则结论错误；D.若a<b，则点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.2、D【解析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.【详解】由等差数列性质知：，，，成等差数列，即：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.3、C【解析】

由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因为，，即，，所以，，即，，平方可得，，两式相加可得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4、D【解析】

先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为，所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【点睛】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.5、C【解析】

利用三角形内角和为可求得；利用正弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.6、B【解析】

根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.【详解】解：由a,b,c≠1.考察对数2个公式:，,对选项A:,显然与第二个公式不符，所以为假.对选项B:,显然与第二个公式一致，所以为真.对选项C:,显然与第一个公式不符，所以为假.对选项D:,同样与第一个公式不符，所以为假.所以选B.【点睛】本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.7、B【解析】

根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围．【详解】由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，由于，解得，故选C．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：为锐角；为直角；为钝角.8、C【解析】

比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题9、C【解析】

先算出的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案.【详解】设点O为球心，因为，所以的外接圆的圆心为AC的中点M，且半径，又因为该球的球心到平面的距离为2，即，在中，，所以该球的半径为，则该球的表面积为.故选：C【点睛】本题主要考查球的表面积的相关问题.10、D【解析】

根据所给等量关系,用表示出可得.代入中,构造基本不等式即可求得的最小值.【详解】因为,所以变形可得所以由基本不等式可得当且仅当时取等号,解得所以的最小值为故选:D【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用,注意构造合适的基本不等式形式,属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】

利用等差数列下标性质求解即可【详解】由等差数列的性质可知，，则．所以.故答案为：9【点睛】本题考查等差数列的性质，熟记性质是关键，是基础题12、2或【解析】

根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.13、【解析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：、、，共个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．14、【解析】

把不等式转化为，即可求解．【详解】由题意，不等式，等价于，解得．即不等式的解为故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、8【解析】

画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】实数,满足条件的可行域如下图所示:将目标函数变形为:,则要求的最大值,即使直线的截距最大,由图可知,直线过点时截距最大,,故答案为:8.【点睛】本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.16、【解析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设，，，代入通项解不等式组，使即可求解.（3）首先根据可求时，，当时，，根据题中新定义求出成立，可得，再验证恒成立即可求解.【详解】（1），且，则满足，则数列是数列.综上所述，结论是：数列是数列.（2）设，，则，得，，，则数列的最大值为，则（3），当时，当时，，由，得，当时，恒成立，则要使数列是数列，则的取值范围为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.18、（1），的单调递减区间是；（2）．【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量条件，代入函数解析式中，运用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式，由三角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将条件代入函数解析式可求出角，由三角形面积公式求出边，再由余弦定理求出边，再由正弦定理可求外接圆半径．试题解析：（1）由题意得：．所以，函数的最小正周期为，由得函数的单调递减区间是（2），解得，又的面积为．得．再由余弦定理，解得，即△为直角三角形．考点：1．向量坐标运算；2．三角函数图象与性质；3．正弦定理与余弦定理．19、(1)-π4【解析】

（1）两向量垂直，坐标关系满足x1x2+y1y2=0，由已知可得关于sin【详解】（1）∵a⊥b，∴sinθ+cosθ=0（2）|a+b|=(1+sinθ)2+【点睛】本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模的最大值，当计算到最大值为3+22时，由平方和公式还可以继续化简，即3+220、（1），（2）【解析】

（1）根据分层抽样的概念,可得,求解即可；（2）分别记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,先列出从5人中选2人作专题发言的基本事件,再列出2人都来自高校的基本事件,进而求出概率【详解】（1）由题意可得,所以,（2）记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,则从高校,抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有,,,,,,,,,共10种设选中的2人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有,,共3种因此,故选中的2人都来自高校的概率为【点睛】本题考查分层抽样,考查古典概型,属于基础题21、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式