专题 四边形的性质与判定 中考数学

1/30专题四边形的性质与判定目录原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01多边形的相关计算题型02多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题题型03多边形内角和与外角和综合问题题型04平面镶嵌题型05根据平行四边形的性质与判定求解题型06构建三角形中位线解决问题题型07根据特殊四边形的性质与判定求解题型08与特殊四边形有关的折叠问题题型09利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题题型10特殊四边形与函数综合题型11与特殊四边形有关的规律探究问题题型12与特殊四边形有关的新定义问题题型13梯形的相关计算题型14四边形的常见几何模型题型15与特殊四边形判定有关的综合问题（时间：60分钟）1/143题型01多边形的相关计算1．（2023·陕西榆林·三模）若从某个多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则这个多边形的内角和度数为．2．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是，对角线共有条．3．（2022·陕西西安·模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．题型02多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题1．（2021·山东烟台·二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（

）A．144° B．126° C．120° D．108°2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……

3．（2020·河南·二模）如图，在ΔABC中，∠B=25°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为．

题型03多边形内角和与外角和综合问题1．（2023·江西抚州·二模）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，则∠BOD的度数为（

）

A．20° B．35° C．40° D．45°2．（2023·山西大同·模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°3．（2023·河北秦皇岛·二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（

）结论①：变成五边形后外角和不发生变化；结论②：变成五边形后内角和增加了360°；结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对4．（2022·陕西西安·模拟预测）已知一个正多边形的内角和与外角和的和为1620°，则这个正多边形的边数是．题型04平面镶嵌1．（2024·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是；（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．2．（2023·河北沧州·二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．

（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为；方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为；（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为．3．（2022·河北·二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是．题型05根据平行四边形的性质与判定求解1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF=1：2，则A．14 B．15 C．252．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是（）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对3．（2023·江苏泰州·二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G．应用：如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．4（2023·河南周口·三模）综合与实践

问题提出(1)如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，问题探究(2)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，则BF=______；问题解决(3)今年全国两会上，不少来自农村、关注“三农”工作的代表委员期待电力在全面推进乡村振兴中发挥越来越重要的作用．某地区规划出如图③所示的四边形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是现有的地下电缆，CE=AB．为满足农业用电，B点和C点分别设置了风力发电机，现要埋电缆线路BP与线路AC，点P是AE的中点．已知埋每米电缆的费用是a元，请问埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的几倍？并说明理由．题型06构建三角形中位线解决问题1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，四边形EFGH顶点是四边形ABCD各边中点，若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要桶2．（2023·安徽·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延长BC到点D，CD=4，点E是AD的中点，BE交AC于点F，则△AEF的面积为．

3．（2023·浙江·模拟预测）已知四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD垂直相交于点E，点F，G分别为AB，

4．（2023·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，F为边AB上一点．

(1)如图1，若AC2=AF⋅AB(2)若G为CF的中点，AC=4，①如图2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的长；②如图3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接写出BF的长．题型07根据特殊四边形的性质与判定求解1．（2024·山西朔州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M为对角线BD上的一点（不与点B,D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若BM:BD=2:5，则DN的长为．2．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF−PE的最大值为．3．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形ABCD是矩形，连接BD．

(1)如图1，∠ADB的平分线交AB于E，交CB的延长线于点F．∠DBF的平分线交DF于点H，交DA的延长线于点G，连接FG．①求证：BD=BF；②求证：四边形GFBD为菱形；(2)在（1）的条件下，如图2，连接AC交DF于点P，交BD于点O，若DP=HP，求ABAD4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题，有时我们还能从中探索学习一些新知．小苗在研究三角形旋转过程中，进行如下探究：如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG．

观察猜想：（1）在图1中，点E，F，G分别在边AB，AC，AD上，直接写出GDFC=实践发现：（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接DG，FC，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明：联系旧知：（3）如果正方形ABCD的边长为5，正方形AEFG的边长为3．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图3所示位置，连接EG交AB于点M，交AC于点N，若NG=22，直接写出EM的长探求新知：（4）在（3）的条件下，当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，直接写出CG的长．题型08与特殊四边形有关的折叠问题1．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图1，在五边形纸片ABCDE中，∠A=120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．

（1）∠C+∠E=；（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB=2．（2022·湖北荆州·三模）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是AB边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合，折痕为FG，DC的对应边EC'交BC于点(1)如图1，当点E是AB的中点时，则AF的长______．(2)如图2，设AE的长为x，四边形CDFG面积为S．①求DF的长度（用含x的代数式表示）；②求S关于x的函数关系式，并求S的最小值．(3)如图3，过点D作EC'的垂线，垂足为M，DM交FG于点①求△BHE的周长．②当△BHE与△MNE的周长之差为2时，请直接写出sin∠EHB3．（2023·河南驻马店·二模）综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为EF，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为BM．

(1)如图（1）若AB=BC，则当点N落在EF上时，BF和BN的数量关系是________，∠NBF的度数为________．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M'．当点M'落在CD上时，如图（2），设BN，BM'分别交EF于点J，K．若开放拓展：(3)如图（3），在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M'，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3题型09利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题1．（2022·安徽滁州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，点M在AD上，连接ME并延长交BC于点N，连接DN交MC于点F．则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，则△MFN与

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM于点K下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山东泰安·二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，将一张菱形纸片ABCD∠ADC>90°沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB'C，连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②题型10特殊四边形与函数综合1．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数y=−2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为()

A．(2，2) B．12，5 C．(1，4)或12，5 D．(1，2．（2022·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−43x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x3．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，则过点F、点C的一次函数解析式为：4．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数y=−x+3的图像与反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图像交于A1,a和B两点，与

(1)求反比例函数的解析式；(2)若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标；(3)将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·广西贵港·三模）抛物线y=−12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点

(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与

(1)求抛物线的解析式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若线段OC上有一点Q，则AQ+1717CQ(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．题型11与特殊四边形有关的规律探究问题1．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如图的方式放置，点A1、A2、A3……An在直线y=−x−1，点C1、C2、C3……CnA．3×2n−1−1,−3×C．3×2n−2−1,−3×2．（2023·黑龙江鸡西·三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q

3．（2022·广东广州·二模）如图，将4个边长都为2的正方形按如图所示摆放，A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，若按此规律摆放n个这样的正方形，则这

4．（2022·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1（1）点P2的坐标为（2）作出矩形B18A17A18题型12与特殊四边形有关的新定义问题1．（2022·湖南长沙·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作完美四边形．

(1)概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四边形”的是______；（填写序号）(2)性质探究：如图2，完美四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，请用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明，(3)拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是完美四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，BC≠CD，当1≤BC≤3时，求四边形ABCD面积的最大值．2．（2023·江苏无锡·二模）定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACCB=2，那么点C

(1)应用：如图2，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC(2)已知线段AB（如图3），作线段AB的一个“白银分割点”，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）3．（2023·广东广州·一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；②若AD=DC，∠ADC=45°，求(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．4．（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形题型13梯形的相关计算1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，则线段BD的长．2．（2023·上海虹口·二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结

(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．3．（2023·上海浦东新·一模）某地一段长为50米的混凝土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1:1.5．(1)求横断面ABCD的面积；(2)为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混凝土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）4．（2022·辽宁铁岭·三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等腰梯形．(1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______；(2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；(3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号）题型14四边形的常见几何模型1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤SA．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤2．（2022·安徽安庆·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为．(直接写出结果，不需要写出求解过程)3．（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出如图1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，则AE的值为__________．问题探究如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四边形EFGH的面积．问题解决如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNGH，使点M、N、G、H分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,4．（2023·江苏苏州·三模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC

(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，

5．（2019·河南南阳·二模）问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=1（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD=26．（2020·天津北辰·二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．(1)如图1，当OP=22时，求点Q(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；(3)当BP+BQ=82时，直接写出点Q题型15与特殊四边形判定有关的综合问题1．（2023·江西南昌·二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D

A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移33个单位长度后是正方形D．在Rt△BCD2．（2023·浙江绍兴·三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当点

A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→正方形→菱形 D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形3．（2023·浙江绍兴·三模）如图，已知直线l1：y=43x+2与x轴，y轴分别相交于点A，M，与直线y=4相交于点C，直线l2：y=kx+2与直线y=4相交于点B，与x轴相交于点D．已知E0.5,0，F3,0，当点D从点E运动到点A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形4．（2023·福建莆田·二模）如图，在△ABD中，AD<AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→____________→平行四边形．画线处应填入（

）

A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形5．（2023·河北石家庄·一模）如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（）A．若a=b，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B．若a⊥b，方法Ⅰ中的四边形为矩形C．若m=n，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D．若m⊥n，方法Ⅱ中的四边形为正方形6．（2022·江苏南京·二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④（时间：60分钟）一、单选题1．（2023·河北秦皇岛·三模）题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了n=5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n=6，乙答：n=8，则正确的是（

）

A．只有甲答的对 B．只有乙答的对C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整2．（2023·河南信阳·三模）如图，在数学实践课上，某数学兴趣小组将两张矩形纸片重叠放置，重叠部分（阴影部分）为四边形ABCD．下列说法正确的是（

）

A．四边形ABCD一定为矩形 B．四边形ABCD一定为菱形C．四边形ABCD一定为正方形 D．四边形ABCD一定为平行四边形3．（2022·河南濮阳·一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB=2，则折痕BG的长等于（

A．233 B．433 C．4．（2023·云南昆明·二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于OA．AC=BD B．SC．AC=8−25 D．矩形ABCD的周长5．（2022·浙江舟山·三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGEA．a+c=2b B．b2+c2=a6．（2023·浙江温州·二模）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2

A．114 B．117 C．120 D．126二、填空题7．（2022·浙江杭州·一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为．8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知抛物线y=−x2+2bx+nb>0的顶点为A，交y轴于点B；抛物线y=x2+2bx+m的顶点为C，交y轴于点D．若m−n=6，且以A，B，9．（2022·广东江门·一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是6cm和8cm，那么中间的矩形的面积是10．（2022·辽宁锦州·二模）如图，∠MON=45°，OP平分∠MON，OA1=1+2，过点A1作A1B1⊥ON交OP于点B1，在ON上截取A1A2，使A1A2=A1B1，过点A2作A2B2⊥ON交OP于点B2，过点B1作B1C1⊥A2B2垂足为C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上继续截取A2A311．（2023·福建莆田·三模）直线y=k1xk1>0与双曲线y=k2x交于点A和点C，点B在x轴的正半轴上，作点B关于AC的对称点D，现有结论：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=12．（2023·广东广州·一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD边上动点（不与A、D重合），连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△EBH，延长EH交CD于点F，连接BF，交AC于点N，连接CH．则下列结论：①∠EBF=45°；②△DEF的周长是定值2；③当点E是AD中点时，CN=23；④点D到EF距离的最大值为2−1三、解答题13．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．14．（2023·陕西西安·二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．(1)如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为_____；(2)如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；(3)如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．15．（2023·山东青岛·一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒t≥0(3)将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF'G'，然后将正方形BDFG'沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF'G'与专题四边形的性质与判定解析目录原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01多边形的相关计算题型02多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题题型03多边形内角和与外角和综合问题题型04平面镶嵌题型05根据平行四边形的性质与判定求解题型06构建三角形中位线解决问题题型07根据特殊四边形的性质与判定求解题型08与特殊四边形有关的折叠问题题型09利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题题型10特殊四边形与函数综合题型11与特殊四边形有关的规律探究问题题型12与特殊四边形有关的新定义问题题型13梯形的相关计算题型14四边形的常见几何模型题型15与特殊四边形判定有关的综合问题（时间：60分钟）2/30题型01多边形的相关计算1．（2023·陕西榆林·三模）若从某个多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则这个多边形的内角和度数为．【答案】1260°/1260度【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式n−3求出边数，然后根据多边形的内角和公式n−2⋅180°【详解】解：∵多边形的一个顶点出发，最多可以引出6条对角线，∴n−3=6，∴n=9，∴该多边形的内角和为：9−2×180°=1260°故答案为：1260°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式以及多边形的对角线公式，解题的关键在于求出多边形的边数．2．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是，对角线共有条．【答案】1035【分析】设此多边形的边数是n，根据多边形内角和公式和对角线条数的公式，列出方程求解即可．【详解】解：设此多边形的边数是n，180°×n−2解得：n=10，∴对角线条数为：nn−3故答案为：10，35．【点睛】本题主要考查了多边的内角和，多边形的对角线条数，解题的关键是掌握n边形的内角和为180°×n−2，对角线条数为n3．（2022·陕西西安·模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．【答案】6【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数．【详解】解：设此多边形的边数为x，由题意得：x−2×180=1080解得；x=8，从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：8-2=6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式180n−2，理解从一个n边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成(n题型02多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合问题1．（2021·山东烟台·二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（

）A．144° B．126° C．120° D．108°【答案】B【分析】根据正五边形的性质分别解得正五边形的每个内角、每个外角的度数，结合角平分线的性质得到∠DCG=36°，∠OAB=54°，接着由四边形的内角和为360°解得∠AOC=54°，最后由邻补角定义解题即可．【详解】解：∵CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，∴∠DCG=∠GCF∵AO平分∠EAB，∴∠EAO=∠OAB，∵正五边形ABCDE中，∴∠ABC=∴∠DCG=12∴∠OAB+∠ABC+∠BCD+∠DCG=54°+108°+108°+36°=306°∴∠AOC=360°−306°=54°∴∠AOG=180°−54°=126°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和，涉及角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……

【答案】6【分析】过A2作A2B∥A1An，根据平行线的性质可得∠4=∠3，∠CA2B=∠1，求得∠【详解】解：过A2作A

则∠4=∠3，∠C∵∠1−∠2=60°∴∠设正多边形的内角为x，则∠4=180°−x∴x=60°+∠3∴∠3=x−60°∵180°−x=x−60°，解得x=120°∴∠4=60°∴这个正多边形的边数为360°÷60°=6故答案为：6．【点睛】本题考查了根据正多边形外角求正多边形的边数，平行线的性质等知识，熟练掌握正多边形的外角性质是解题的关键．3．（2020·河南·二模）如图，在ΔABC中，∠B=25°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为．

【答案】70°【分析】利用AD=BD，得到∠B＝∠BAD＝25°，再由直角三角形中两锐角互余和角平分线的定义进行计算即可；【详解】∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝25°，∴∠ADC＝50°，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD＝40°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACE＝12∴∠AEC＝70°，故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了外角和的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余关系，准确计算是解题的关键．题型03多边形内角和与外角和综合问题1．（2023·江西抚州·二模）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，则∠BOD的度数为（

）

A．20° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】根据多边形的外角和，求得∠BOH=140°，再利用邻补角的定义，即可求出∠BOD的度数．【详解】解：∵五边形AOEFG的外角和为360°，且七边形ABCDEFG中，∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于220°，∴∠BOH=360°−220°=140°，∴∠BOD=180°−140°=40°，故选：C．

【点睛】本题主要考查了多边形外角和问题，解题关键是掌握多边形的外角和等于360°．2．（2023·山西大同·模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【答案】A【分析】根据正方形，正三角形和正五边形的内角以及正多边形的外角和即可即可求解．【详解】正三角形的每个内角为180°÷3=60°，正五边形的每个内角5−2×180°÷5=108°正方形的每一个内角为360°÷4=90°，∴∠1+∠2+∠3=360°−90°−60°−108°=102°，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角和的关系，熟练掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．3．（2023·河北秦皇岛·二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（

）结论①：变成五边形后外角和不发生变化；结论②：变成五边形后内角和增加了360°；结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对【答案】B【分析】根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确；根据多边形内角和定理5−2×180°−四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误，如图所示，

∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确，故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022·陕西西安·模拟预测）已知一个正多边形的内角和与外角和的和为1620°，则这个正多边形的边数是．【答案】9【分析】根据正多边形内角和公式和外角和列方程即可求解．【详解】解：设正多边形的边数为n，则180×n−2∴n=9，∴这个正多边形的边数是9．故答案为：9．【点睛】本题考查多边形内角和外角，解题关键是掌握多边形内角和公式．题型04平面镶嵌1．（2024·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是；（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．【答案】267【分析】本题考查平面镶嵌，利用数形结合的思想是解题关键．（1）采用方式1拼接，则所得图案的外轮廓的周长为4n+2，将n=6代入计算即可；（2）两种方式的一种或两种方式混合拼接，n越大，外轮廓周长越小，可得正六边形间重叠的边数越多，则把六个正六边形绕一个六边形拼接即可．【详解】解：（1）有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为6×4+2=26．故答案为：26；（2）按下图拼接，图案的外轮廓的周长为6×3=18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为7．故答案为：7．2．（2023·河北沧州·二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．

（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为；方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为；（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为．【答案】6a7a3【分析】（1）由图形可知，方案Ⅰ中纸盒底面半径应为正六边形的对角线长加边长，方案Ⅱ中纸盒底面半径应为正六边形对角线长加边长，再上边长的一半，由此计算即可；（2）考虑将12个正六边形对称放置，然后确定其外接圆，利用正六边形的边长以及勾股定理求解最小半径即可．【详解】（1）如图1所示，方案Ⅰ中纸盒底面半径最小值即为OA的长度，∵正六边形的边长为2a，∴OA=2a+4a=6a；如图2所示，方案Ⅱ中纸盒底面半径最小值即为OB的长度，∴OA=a+2a+4a=7a；

故答案为：6a；7a；（2）如图所示方式，装12支铅笔的底面圆半径最小，此时最小半径为OC，连接CQ、PC、PQ，∵正六边形的边长为2a，∴CP=3×23a=63∵∠CPQ=90°，∴CQ=C∴OC=1

故答案为：37【点睛】本题考查正多边形与圆，以及镶嵌问题，掌握正多边形与圆的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键．3．（2022·河北·二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是．【答案】2027【分析】根据正多边形的性质，每条边相等，即可求解．求得该图形外轮廓的周长，根据密铺可知正n边形，为正12边形，据此即可求解．【详解】解：∵正方形的边长为1，∴该图形外轮廓的周长为8−3×4若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，则n边形的一个内角为360°−60°则n边形的一个外角180°−150°=30°，∴n=360°÷30°=12，根据相邻的两个正多边形有一条公共边，则图形外轮廓的周长为12−3故答案为：20，27【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，外角和，平面镶嵌，理解题意是解题的关键．题型05根据平行四边形的性质与判定求解1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF=1：2，则A．14 B．15 C．25【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断，先由菱形的性质得到AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，再证明AC∥EF，进而证明四边形AEFC是平行四边形，得到AE=CF，由此可得到DE：BF=1:5，再证明△DEH∽△BFH，得到DHBH【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，∵EF⊥BD，∴AC∥EF，∴四边形AEFC是平行四边形，∴AE=CF，∵ED：∴ED：∴ED:AD=ED：∴DE：∵AD∥BC∴△DEH∽△BFH，∴DHBH∴DH：故选：D．2．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是（）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对【答案】C【分析】连接HJ,GI，交于点M，根据轴对称的性质得出GE=EH,JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，EO=FC，过点G作GK⊥BD于点K，过点J作JT⊥BD于点T，证明△DTJ≌△GEA,△DKG≌△JFC得出GH+IJ=BD，即可判断甲，进而得出四边形AHJD是平行四边形，四边形HJBC是平行四边形，即可判断丙，反证法证明四边形GHIJ不可能是正方形，即可求解．【详解】解：如图所示，连接HJ,GI，交于点M，

∵四边形ABCD是菱形，GH⊥AC，IJ⊥AC，∴GH∥根据菱形是轴对称图形，AC是GH,IJ，BD的垂直平分线，∴GE=EH,JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，∵AE=OF，OA=OC，∴EO=FC，如图所示，过点G作GK⊥BD于点K，过点J作JT⊥BD于点T，

则四边形GEOK,TJFO是矩形，∴GK=EO=FC,KO=GE=12GH∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAO=∠DCO，∵GK∥∴∠DJT=∠DCA=∠GAE，∴△DTJ≌△GEA，∴DJ=AG，JC=GD，GE=DT，∴12即GH+IJ=BD，故甲正确；∵DJ=AG，又AG=AH，∴JD=AH，∴四边形AHJD是平行四边形，∴S△HCJ=1∴四边形HJBC是平行四边形，∴S△HIJ∴S四边形即四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半，故丙正确；同理可得AGBI，CDGI是平行四边形，∴GI∥∵当GHIJ是正方形时，则GI⊥HJ，∴AD⊥DC，则四边形ABCD是正方形，∵AC>BD，∴四边形ABCD不是正方形，即四边形GHIJ不可能是正方形，故乙错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2023·江苏泰州·二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G．应用：如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题考查了作图、平行线的判定与性质、角平分线的性质和三角形中位线定理，证明：方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，先证明△ADE≌△CEF得到AD=CF，∠A=∠F，则AB∥CF，加上BD=CF，则可判断四边形BDFC为平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF=BC，DF∥BC，从而得到DE∥BC，方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F，先证明△ADE≌△CEF，得到相应的边长相等，可得到四边形方法3：需要证明两次三角形全等，以及证明两次平行四边形可得到结果；应用：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得到答案；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作【详解】证明：方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，如图所示：，∵D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CEF（SAS），∴AD=CF，∠A=∠F，∴AB∥CF，∵AD=BD=CF，∴四边形BDFC为平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC，∴DE∥BC，DE=1方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于，∵CF∥∴∠A=∠FCE，∵D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE和△CEF中，∠A=∠FCEAE=CE∴△ADE≌△CEF（ASA），∴AD=FC，DE=EF，即AD=BD=FC，∴四边形BDFC为平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC，∴DE∥BC，DE=1方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G，如图所示：，∵EF∥AB,AG∥BC，∴GF∥AB,AG∥BF，∴四边形AGFB为平行四边形，∴AG=BF,AB=GF，∵AG∥BC，∴∠G=∠CFE，∵D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，∴AD=BD，AE=CE，在△AGE和△CEF中，∠G=∠CFE∠GEA=∠FEC∴△AGD≌△CFE（AAS），∴AG=CF,GE=EF，∵EF∥AB,AG∥BC，∴∠GAE=∠DEA,∠DAE=GEA，∵AE=EA，∴△AGE≌△EDA（ASA），∴AG=DE.AD=GE，∵AD∥GF，∴四边形AGED为平行四边形，∴AG∥DE，AG=DE，∵AG∥BC，AG=FC，AG=BF，∴DE∥BC，DE=1应用：如图2，BP为所作的角平分线，，先在DE上截取DF=DB，连接BF并延长交AC于P点，由DB=DF得到∠DBF=∠DFB，再根据DE为△ABC的中位线得到DE∥BC，所以∠DFB=∠CBF，则∠DBF=∠CBF，从而得到BP平分4（2023·河南周口·三模）综合与实践

问题提出(1)如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，问题探究(2)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，则BF=______；问题解决(3)今年全国两会上，不少来自农村、关注“三农”工作的代表委员期待电力在全面推进乡村振兴中发挥越来越重要的作用．某地区规划出如图③所示的四边形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是现有的地下电缆，CE=AB．为满足农业用电，B点和C点分别设置了风力发电机，现要埋电缆线路BP与线路AC，点P是AE的中点．已知埋每米电缆的费用是a元，请问埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的几倍？并说明理由．【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)8(3)埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的2倍，理由见解析【分析】（1）由“SAS”可证△EBC≌△DCB，可得（2）由“SAS”可证△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由等腰三角形的性质可求（3）先证明四边形ABEF是平行四边形，可得FE=AB，FE∥AB，由“SAS”可证△ABC≌△FCB，得到【详解】（1）解：BD=CE，证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠DCB，在△EBC与△DCB中，BE=CD∠EBC=∠DCB∴△EBC≌∴BD=CE；（2）解：如图，延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图②所示，

，∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD，在△ACD和△MBD中，AD=MD∠ADC=∠MDB∴△ADC≌∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC=8；故答案为：8；（3）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，如图③，延长BP交AD于点F，连接EF，CF，

，∵AD∥BC，∴∠PAF=∠PEB，∠PFA=∠PBE，∵点P是AE的中点，∴AP=EP，∴△AFP≌∴AF=BE，BP=PF，∴四边形ABEF是平行四边形，∴FE=AB，FE∥AB，∴∠FEC=∠ABC=60°，∵FE=AB，CE=AB，∴FE=CE，∴△FEC是等边三角形，∴FE=FC，∠FCB=60°，∴AB=FC，∠ABC=∠FCB=60°，∵BC=CB，∴△ABC≌∴AC=FB=2BP，∵埋电缆线路AC的费用为a⋅AC=a⋅2BP=2aBP，埋电缆线路BP的费用为a⋅BP=aBP，∴埋电缆线路AC的费用是线路BP费用的2倍．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型06构建三角形中位线解决问题1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，四边形EFGH顶点是四边形ABCD各边中点，若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要桶【答案】10【分析】本题考查的是中点四边形，中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方；根据题意得出S四边形【详解】解：如图所示，连接AC,BD，∵E,F分别是AD,AB的中点，∴EF∥BD∴△AEF∽△ADB∴S△AEF=1则S同理可得S∴S若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要10桶,故答案为：10．2．（2023·安徽·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延长BC到点D，CD=4，点E是AD的中点，BE交AC于点F，则△AEF的面积为．

【答案】15【分析】利用三角形的面积公式求出△ACD的面积，进而求出△ABD的面积，利用中线平分面积，得到△ABE的面积，取AC的中点G，连接EG，得到EG∥CD,EG=12CD，推出△BFC∽△EFG【详解】解：∵∠ABC=90°,AB=BC=6，CD=4，∴S△ABD∵点E是AD的中点，∴S△ABE取AC的中点G，连接EG，则：EG∥CD,EG=1

∴△BFC∽△EFG，∴EFBF∴EFBE∴S△AEF∴S△AEF故答案为：154【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线和相似三角形．3．（2023·浙江·模拟预测）已知四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD垂直相交于点E，点F，G分别为AB，

【答案】见解析【分析】作直径DH，根据三角形中位线定理求得OG=12CH，根据直角三角形斜边中线的性质求得EF=12AB，再利用等角的余角相等求得【详解】证明，作直径DH，连接CH，

∵点G、O分别为DH、CD的中点，∴OG=1∵AC⊥BD，点F为AB的中点，∴EF=12AB∵DH为直径，∴∠DCH=90°，∴∠H+∠HDC=90°，又∵∠H=∠DBC，∴∠ACB=∠HDC，∴AB=CH，∴EF=OG．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．4．（2023·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，F为边AB上一点．

(1)如图1，若AC2=AF⋅AB(2)若G为CF的中点，AC=4，①如图2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的长；②如图3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接写出BF的长．【答案】(1)见解析(2)①3；②BF=2【分析】（1）根据已知条件得出ACAF=AB（2）①解法1：延长FB到点D，使FB=BD，连结DC，设：BF=x，则BD=x，AD=5+x，AF=5−x，证明△ACF∽△ADC，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可求解；①解法2：取FA中点D，连结DG，设：AD=DF=x，则BD=5−x，证明△DGF∽△DBG，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可求解；②解法1：延长FB到点D，使FB=BD，连结DC，过点C作CE⊥AB于点E，证明△DCF∽△DAC，得出DC2=AD⋅DF，在Rt△DEC中，DC2=DE2+EC2，则AD⋅DF=DE2+EC2，建立方程，解方程，即可求解；②解法2：过点C作CE⊥AB【详解】（1）∵AC2∵∠A=∠A，∴△ACF∽△ABC；（2）

①解法1：延长FB到点D，使FB=BD，连结DC设：BF=x，则BD=x，AD=5+x，AF=5−x∵G为CF的中点，B为DF的中点，∴BG是△FDC的中位线，∴BG∴∠FBG=∠D，∵∠FBG=∠ACF，∴∠D=∠ACF，∵∠A=∠A，∴△ACF∽△ADC∴ACAD∴4解得：x1=3，∴BF=3

①解法2：取FA中点D，连结DG设：AD=DF=x，则BD=5−x∵G为CF的中点，D为AF的中点∴DG是△FAC的中位线∴DG∥AC∴∠FGD=∠ACF∵∠DBG=∠ACF，∴∠FGD=∠DBG，∵∠BDG=∠BDG，∴△DGF∽△DBG∴DGBD∴2解得：x1=1，∴AD=DF=1，∴BF=AB−AF=5−2=3②解法1：延长FB到点D，使FB=BD，连结DC，过点C作CE⊥AB于点E，

设：BF=BD=x，∵Rt△AEC中，∠A=45°∴AE=CE=AC∵Rt△BEC中，∠ABC=30°∴BE=3∴ED=BD+BE=x+26∴AD=ED+AE=x+26∵G为CF的中点，B为DF的中点∴BG是△FDC的中位线，∴BG∥∴∠BGF=∠FCD，∵∠BGF=∠A，∴∠FCD=∠A，∵∠D=∠D，∴△DCF∽△DAC，∴DCAD∴DC∵在Rt△DEC中，D∴AD⋅DF=D即2x解得：x1=210∴BF=2②解法2：过点C作CE⊥AB于点E，在AE上取点D，使CD=CF，

设：BF=x，∵Rt△AEC中，∠A=45°∴AE=CE=AC∵Rt△BEC中，∠ABC=30°∴BE=3∴EF=BE−BF=26∵CD=CF，CE⊥AB，∴DE=EF=26∴AD=AE−DE=22∵在Rt△DEC中，CD=∴CF=CD=2∵G为CF的中点，∴FG=1∵CD=CF，∠CFD=∠CDF，∴180°−∠CFD=180°−∠CDF，即∠BFG=∠CDA∵∠A=∠BGF，∴△DCA∽△FBG，∴DCAD∴DC⋅FG=AD⋅BF，∴2解得：x1=210∴BF=2【点睛】本题主要考查三角形的综合性题目，包括相似三角形的判定和性质，三角形中点的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．题型07根据特殊四边形的性质与判定求解1．（2024·山西朔州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M为对角线BD上的一点（不与点B,D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若BM:BD=2:5，则DN的长为．【答案】3【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键．过点M作MG⊥AB于G，延长GM交CD于H，则GH⊥CD，根据矩形的性质，可证△BGM∽△BAD，从而得出BG=165，AG=HD=245，MG=125，MH=18【详解】解：过点M作MG⊥AB于G，延长GM交CD于H，则GH⊥CD，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠AGH=90°，AD=BC=3，AB=CD=4，∴四边形AGHD为矩形，∴AG=DH，GH=AD=3，GM∥∴△BGM∽△BAD，∴BGBA∵BM:BD=2:5，∴BGBA∴BG=25AB=∴AG=HD=AB−BG=4−8∴MH=GH−GM=3−6∵MN⊥AM，∴∠AMN=90°，∴∠AMG+∠HMN=90°，∵∠AMG+∠MAG=90°，∴∠HMN=∠MAG，∵∠AGM=∠MHN=90°，∴△AGM∽△MHN，∴AGMH即：125解得：HN=9∴DN=HD−HN=12故答案为：322．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF−PE的最大值为．【答案】3【分析】由折叠可证四边形ABCD为菱形，BO是AC边上的中线，如图，连接AE、AF、PM，交BD于M，AF是BC边上的中线，∠BAC的角平分线，则BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，由DE=2OE，可得OM=OE，则PE=PM，AE=AM，PF−PE=PF−PM，可知当点P运动到点A时，PF−PE最大，最大为FM，勾股定理求AF=A【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=6，∴AB=AC=BC=6，∵将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，∴AD=CD=BC=AB=6，∴四边形ABCD为菱形，∴DO=BO，AO=CO=3，BD⊥AC，∴BO是AC边上的中线，如图，连接AE、AF、PM，交BD于M，∵F是BC的中点，∴AF是BC边上的中线，∠BAC的角平分线，∴BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，∵DE=2OE，∴OM=OE，∵BD⊥AC，∴PE=PM，AE=AM，∴PF−PE=∴当点P运动到点A时，PF−PE最大，最大为FM，∵∠CAF=30°，∴CF=3，由勾股定理得，AF=A∴FM=1故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键．3．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形ABCD是矩形，连接BD．

(1)如图1，∠ADB的平分线交AB于E，交CB的延长线于点F．∠DBF的平分线交DF于点H，交DA的延长线于点G，连接FG．①求证：BD=BF；②求证：四边形GFBD为菱形；(2)在（1）的条件下，如图2，连接AC交DF于点P，交BD于点O，若DP=HP，求ABAD【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)3【分析】（1）由矩形性质得到AD∥BC，则∠ADF=∠BFD，再由角平分线定义得到∠ADF=∠BDF，则∠BFD=∠BDF，即可得出BD=BF；②由AD∥BC，得到∠ADB+∠FBD=180°，进而根据相关角的关系得到BG⊥DF，再由①中BD=BF，确定DH=FH，利用两个三角形全等的判定与性质得出△BDH≌△GDHASA（2）根据题意得出PO是△BDH的中位线，有AC∥BG，进而得到四边形AGBC是平行四边形，利用平行四边形及矩形性质得到AD=AG=12DG，再根据（1）②中四边形BDGF是菱形，得出BD=2AD，在Rt【