【单元复习】第一章 特殊平行四边形（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）（原卷版）

【单元复习】第一章特殊平行四边形知识精讲第一章特殊平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。注意：平行线间的距离处处相等。5.平行四边形的面积:

S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形的性质（1）矩形的对边平行且相等。（对边）（2）矩形的四个角都是直角。（内角）（3）矩形的对角线相等且互相平分。（对角线）（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3.矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。（角）（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4.矩形的面积:S矩形=长×宽=ab四、正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行。（边）（2）正方形的四个角都是直角（角）（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3.正方形的判定（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。（3）定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。（4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。（5）定理4：对角线相等的菱形是正方形。（6）定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：（1）先证它是矩形，再证它是菱形。（2）先证它是菱形，再证它是矩形。4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，则五、有关中点四边形问题的知识点：（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；（7）顺次连接多角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形。考点例析【考点1】菱形的性质与判定【例1】（2022·黑龙江大庆·九年级期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为(

)A．2 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质和周长公式可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，四边形是菱形，其周长为12，，，，是等边三角形，，又在中，，，，即较短的对角线长为3，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．【例2】（2022·黑龙江大庆·九年级期中）已知一个菱形的两条对角线分别为8cm，10cm，则它的边长为________________cm【答案】【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理可求得其边长．【详解】解：如图所示，四边形ABCD是菱形，BD=8cm，AC=10cm，∴AC⊥BD，，∴，∴菱形的边长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．【考点2】矩形的性质与判定【例3】（2022·全国·九年级单元测试）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）A．当AC＝BD时，它是正方形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AB＝BC时，它是菱形【答案】A【分析】根据相关特殊四边形的判定即可解答．【详解】A．当AC＝BD时，它可能是正方形，也可能是矩形，故选项错误，符合题意．

B．当AC⊥BD时，它是菱形，故选项正确，不符合题意．

C．当∠ABC＝90°时，它是矩形，故选项正确，不符合题意．

D．当AB＝BC时，它是菱形，故选项正确，不符合题意．

故选：A．【点睛】此题考查了特殊四边形的判定，解题的关键是熟记特殊四边形的判定．【例4】（2022·黑龙江·绥滨县教师进修学校八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形．【答案】（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；【详解】解：若使▱ABCD是矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．故答案为：AC=BD（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．【考点3】正方形的性质与判定【例5】（2022·全国·九年级单元测试）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（）A．先增大后减小 B．先减小后增大C．一直不变 D．不确定【答案】C【分析】连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，，∴∠BOЕ+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB=90°，∴∠FOB=∠EOC，在△FOB和△EOC，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．∴阴影部分面积的大小一直不变．故选：C．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．举一反三一、选择题（共3小题）1．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线，，则该菱形的面积为（

）A．50 B．25 C． D．12.52．（2022·四川绵阳·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022·甘肃平凉·九年级期中）如图，下列三组条件中，能判定是正方形的有（

）①，；②，；③，；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（共3小题）4．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．5．（2022·甘肃平凉·八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______．6．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得的值最小，则点M与点__________重合．三、简答题（共3小题）7．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，过点A作于点E，于点F，且．(1)求证：是菱形；(2)若，，求菱形ABCD的面积．8．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合）(1)如图（1），将沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；(2)如图（2），将沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；(3)如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．9．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图1，以□ABCD的邻边AB和BC为边向外作正方形ABFE和正方形BCHG，连接BD、FG，线段BD和FG之间存在怎样的数量关系和位置关系？(1)先将问题特殊化，如图2，当∠ADC＝90°时，直接写出BD和FG之间的数量关系和位置关系．(2)再探究一般情况，当∠ADC≠90°时，证明(1)中的结论依然成立．(3)在(2)的条件下，连接EH，M为EH的中点，连接MF，试给出FM和BD的数量关系并证明．实战演练一、选择题（共5小题）1．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在菱形中，直线分别交、、于点、和．且，连接．若，则为（

）A． B． C． D．2．（2022·河南鹤壁·九年级期末）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角相等3．（2022·山东菏泽·中考真题）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（

）A．48° B．66° C．72° D．78°4．（2022·山东烟台·九年级期末）点E为正方形ABCD的边长AB上任意一点，连接EC，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．若矩形ECFG与正方形ABCD的面积分别为，，则与的大小关系是（

）．A． B． C． D．不确定5．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6二、填空题（共4小题）6．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则_______．7．（2022·江苏宿迁·八年级期中）如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=2，则BD的长为________．8．（2022·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．9．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．三、简答题（共3小题）10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD上一点，连接BE交AC于点F，连接DF(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)试探究BE满足什么条件时，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．11．（2022·天津·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．12．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量