浙江省杭州市启正中学2024届中考一模数学试题含解析

浙江省杭州市启正中学2024届中考一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差2．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(k≠0)的图象大致是（）A． B．C． D．3．一、单选题如图：在中，平分，平分，且交于，若，则等于（）A．75 B．100 C．120 D．1254．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙5．对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为（）A． B． C． D．6．已知二次函数y=x2+bx﹣9图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线（）A．x=1 B．x= C．x=﹣1 D．x=﹣7．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于()A． B．C． D．8．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝9．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：∽；；；其中正确的结论有______．12．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．13．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为_____．14．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为1cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm1．15．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k=_____．16．已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且，则AB所对的圆周角为__o.17．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可免费携带____kg的行李．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．19．（5分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上一动点，且在直线AB上方，过点P作AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=时，求P点坐标．21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．求证：PD是⊙O的切线；求证：△ABD∽△DCP；当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．22．（10分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图：（1）填空：样本中的总人数为；开私家车的人数m=；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？23．（12分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．证明：△ADF是等腰三角形；若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，24．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解析】

根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，故选B．【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。2、D【解析】

根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数(k≠0)所经过象限，即可得出答案.【详解】解：有两种情况，当k>0是时，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，反比例函数(k≠0)的图象经过一、三象限；当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，反比例函数(k≠0)的图象经过二、四象限；根据选项可知，D选项满足条件.故选D.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.3、B【解析】

根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．

故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．4、B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5、D【解析】试题分析：因为规定，所以，所以x=，经检验x=是分式方程的解，故选D.考点：1.新运算；2.分式方程.6、D【解析】

设A点坐标为（a，），则可求得B点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于a和b的方程组，可求得b的值，则可求得二次函数的对称轴．【详解】解：∵A在反比例函数图象上，∴可设A点坐标为（a，）．∵A、B两点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣a，﹣）．又∵A、B两点在二次函数图象上，∴代入二次函数解析式可得：，解得：或，∴二次函数对称轴为直线x=﹣．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得b的值是解题的关键，注意掌握关于原点对称的两点的坐标的关系．7、B【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=，∵，∴sinB=,∵tanB==故选B法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=故选B8、A【解析】

将各选项中所给a的值代入命题“对于任意实数a，”中验证即可作出判断.【详解】（1）当时，，此时，∴当时，能说明命题“对于任意实数a，”是假命题，故可以选A；（2）当时，，此时，∴当时，不能说明命题“对于任意实数a，”是假命题，故不能B；（3）当时，，此时，∴当时，不能说明命题“对于任意实数a，”是假命题，故不能C；（4）当时，，此时，∴当时，不能说明命题“对于任意实数a，”是假命题，故不能D；故选A.【点睛】熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键.9、A【解析】分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．详解：设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=1．故选：A．点睛：此题主要考查了折叠问题，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．10、B【解析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解析】

①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明；④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到，即b=a，可得tan∠CAD=．【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴，即CF=2AF，∴CF=2AF，故②正确；作DM∥EB交BC于M，交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，∴，即b=a，∴tan∠CAD=，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．12、40°【解析】

直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，

∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，

∴∠6+∠7=140°，

∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．

故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．13、-1或-4【解析】分析：设“倍根方程”的一个根为，则另一根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.详解：由题意设“倍根方程”的一个根为，另一根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：，∴，∴，化简整理得：，解得.故答案为：-1或-4.点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则.14、【解析】分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=1π•5=10π，∴圆锥的侧面积=•10π•1=10π（cm1）．故答案为10π．点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．15、-1【解析】

先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=1，最后根据AB∥OE，得出，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【详解】设D（a，b），则CO=-a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴×BC×OE=6，即BC×OE=1，∵AB∥OE，∴，即BC•EO=AB•CO，∴1=b×（-a），即ab=-1，∴k=-1，故答案为-1．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．16、45º或135º【解析】试题解析：如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点,即在Rt△AOC中,OA=1,根据勾股定理得：即OC=AC，∴△AOC为等腰直角三角形，同理∵∠AOB与∠ADB都对,∵大角则弦AB所对的圆周角为或故答案为或17、2【解析】

设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可．【详解】解：设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得，，则y=30x-1．

当y=0时，

30x-1=0，

解得：x=2．

故答案为：2．【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、1【解析】

先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=1．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是1．19、【解析】分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．详解：原式====当时，原式==．点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20、（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）﹣2＜x＜0；（3）P点坐标为（﹣1，2）．【解析】分析：(1)、根据题意得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据函数图像得出不等式的解集；(3)、作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据题意得出∠PDQ=∠ADE=45°，PD==1，然后设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），根据PD的长度得出x的值，从而得出点P的坐标．详解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，当x=0时，y=0+2=2，则点A（﹣2，0），B（0，2），把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2），分别代入y=ax2+bx+c得，解得．∴该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）ax2+（b﹣1）x+c＞2，ax2+bx+c＞x+2，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为﹣2＜x＜0；（3）如图，作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，在Rt△OAB中，∵OA=OB=2，∴∠OAB=45°，∴∠PDQ=∠ADE=45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，PQ=DQ=，∴PD==1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD=﹣x2﹣x+2﹣（x+2）=﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，则﹣x2﹣x+2=2，∴P点坐标为（﹣1，2）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及直角三角形的性质，属于基础题型．利用待定系数法求出函数解析式是解决这个问题的关键．21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．【解析】【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【详解】（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP；（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.22、（1）80，20，72；（2）16，补图见解析；（3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．【解析】试题分析：（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解：样本中的总人数为：36÷45%=80人；开私家车的人数m=80×25%=20；扇形统计图中“骑自行车”的圆心角为360°×(1-10%-25%-45%)=360°×20%=72°.（2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可.（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可．试题解析：解：（1）80，20，72.（2）骑自行车的人数为：80×20%=16人，补全统计图如图所示；（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，由题意得，1580答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；