2025高考帮备考教案数学第二章　函　数第1讲　函数的概念及其表示含答案

2025高考帮备考教案数学第二章函数第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A，B是①非空的实数集，如果对于集合A中的②任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x的取值范围A.值域函数值的集合{f（x）｜x∈A}，是集合B的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1f（x）要满足f（x）≠0；（2）偶次根式型2nf（x）（n∈N*）要满足f（x）≥0；（3）[f（x）]0要满足f（x）≠0；（4）对数型logaf（xf（x）＞0；（5）正切型tanf（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝x2－1与g（x）＝x－1·x+1 B.f（x）＝x与C.f（x）＝x与g（x）＝（x）2 D.f（x）＝x2与g（2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（D）A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D.y＝13.[教材改编]已知函数f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，A.8 B.12 C.－34 D.解析因为f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，所以ff（f（－2））＝f（3）＝13－1＝4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1x＋1－x的定义域是（－∞，0）∪（0，1解析因为f（x）＝1x＋1－x，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1]解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝f（2x+1）A.[－32，－1）∪（－1，1B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4解析要使函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0有意义，则有3x－2≥0，x－所以函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴k2=16，kb＋b＝－25，∴k=4，b＝－5或k＝－4，b（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1x）＝3x－1，则f（x）＝2x－1x－1解析已知2f（x）＋f（1x）＝3x－1①以1x代替①中的x（x≠0），得2f（1x）＋f（x）＝3x－1①×2－②，得3f（x）＝6x－3x－1，故f（x）＝2x－1x－方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1x），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1x，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋1x2）＝x4＋1x4，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，＋∞）.解析因为f（x2＋1x2）＝（x2＋1x2）2－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2（2）[2024安徽淮南模拟]已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋4，则f（x）＝x2－2x＋1.解析因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则有a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2x2－4x＋4，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋4，所以2a=2，2b＝－4，2a+2c=4，（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f（x）满足3f（x）＋2f（1－x）＝4x，则f（x）的解析式为f（x）＝4x－85解析3f（x）＋2f（1－x）＝4x①，用1－x代替①中的x可得3f（1－x）＋2f（x）＝4（1－x）②，由3×①－2×②可得f（x）＝4x－85命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f（x）＝x，0<x<1，2（x－1),x≥1.若f（a）＝A.2 B.4 C.6 D.8解析作出f（x）的图象，如图所示，因为a＜a＋1，所以要使f（a）＝f（a＋1），则有a＝2（a＋1－1），0＜a＜1，所以解得a＝14，所以f（1a）＝f（4）（2）[2022浙江高考]已知函数f（x）＝－x2+2，x≤1，x＋1x－1，x>1，则f（f（12））＝3728；若当x∈[a，b]时，解析由题意知f（12）＝－（12）2＋2＝74，则f（f（12））＝f（74）＝74＋174－1＝作出函数f（x）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋1x－1＝3，解得x＝2±3，又x＞1，所以x＝2＋3所以（b－a）max＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝2－x，x≤0，1，x>0，则满足f（x＋1）＜A.（－∞，－1] B.（0，＋∞）C.（－1，0） D.（－∞，0）解析解法一当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1）＜f（2x），则需x+1<0，2x<0，2x解法二当x＝－12时，f（x＋1）＝f（12）＝1，f（2x）＝f（－1）＝2－（－1）＝f（x＋1）＜f（2x），排除A，B；当x＝－1时，f（x＋1）＝f（0）＝20＝1，f（2x）＝f（－2）＝22＝4，满足f（x＋1）＜f（2x），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f（f（a））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a＜0，函数f（x）＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f（1－a）＝A.－34 B.－32 C.－35 解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝ex－1，x≤2，2f解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－x，x≤0，2x，x>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x）＝2x1－x＋－loA.[0，12） B.（－∞，1C.（－∞，12] D.（－∞，1解析由题意得1－x>0，－log3（1－2x）≥0，12.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，13.[命题点3角度1]设函数f（x）＝2－x，x≤1，x2，x>1，则满足2f（f（A.（－∞，0] B.[0，2]C.[2，＋∞） D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝t2的解，作出y＝f（t）与y＝t2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1 图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－xf（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4） B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1） D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（x－m）2，x≤m（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3x－1＋1ln（A.[13，1）∪（1，＋∞） B.[13，C.[13，1）∪（1，2） D.（0，2解析要使函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）有意义，则3x－1≥0，2－x>02.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝x2和g（x）＝（x）B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝xD.f（x）＝elnx和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝x2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（x）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝x，x≥0，－x，x＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝elnlg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（x＋1）＝x＋2x＝（x＋1）2－1，令t＝x＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝x＋1（t≥1），则x＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝lnx，x≥1，0，0≤x<1，x，x<0，若f（A.[e+12，＋∞） B.（－∞，－12]∪[0，C.[0，e+12] D.（－∞，解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤xP＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，e+125.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y＝f（x－1）x－2解析由题意知0≤x－1≤4，x－2>0，解得2＜x≤5，即y6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3x，x≤0，log4x解析因为f（x）＝3x，x≤0，log4x，x>0，所以f（116）＝log4116＝f（f（116））＝17.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12）x，x∈（－∞，1),log4x，x∈（1解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2x，x>0，x2+4x+1，x≤0，若实数aA.1 B.1716－C.－1516－5 D.－解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4－1516－5故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝x，0<x<1，f（ea），则f（1a）＝e解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以ea＞1.易知y＝ex的图象与y＝x的图象无交点，所以ea≠a，所以要使f（a）＝f（ea），则0＜a＜1＜ea，所以a＝elnea，变形可得a＝ea，解得a＝1e，则f（1a）＝f（e）＝elne＝e11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数fA.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1x（x∈（2，＋∞B.y＝lnxC.y＝xex有上界无下界D.y＝cosx解析对选项A，y＝x＋1x在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2对选项B，y＝lnxx，则y'＝1－lnxx2，当x∈（0，e）时，y'＞0＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝xex趋近于＋∞，C错误；对选项D，y＝cosxx2+1，则｜y｜＝｜cosx｜x2+1≤1x2+1≤课标要求命题点五年考情命题分析预测借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.确定函数的单调性（单调区间）2023北京T4；2021全国卷甲T4；2020全国卷ⅡT9本讲每年必考，命题稳定.命题热点有讨论函数的单调性，利用函数的单调性比较大小、解不等式、求最值等，也常与函数的奇偶性、周期性及对称性综合命题.题型既有选择题、填空题，也有解答题（常与导数综合命题），单独考查时难度不大，与导数综合时难度中等偏上.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时重点进行常规题型训练，并适当关注创新性命题.函数单调性的应用2023新高考卷ⅠT4；2023新高考卷ⅡT6；2020新高考卷ⅠT8；2020新高考卷ⅡT7；2019全国卷ⅢT11与函数的最值（值域）有关的问题2022北京T14学生用书P0201.函数的单调性单调递增单调递减定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有①f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递增.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.当x1＜x2时，都有②f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递减.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.图象描述自左向右图象是③上升的自左向右图象是④下降的注意（1）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.（2）“函数f（x）的单调区间为M”与“函数f（x）在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.（3）注意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区别，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数.规律总结1.函数单调性的两个等价变形若∀x1，x2∈D（x1≠x2），则（1）f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（（2）f（x1）－f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2.函数单调性的常用结论（1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；（2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），1f（3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”.3.对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0如图，（1）单调性：增区间为（－∞，－ba），（ba，＋∞）；减区间（－ba，0），（0，（2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋bx在x＝ba处取得最小值2ab；当x＜0时，函数y＝ax＋bx在x＝－ba处取得最大值注意对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax2.函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件（1）∀x∈D，都有⑤f（x）≤M；（2）∃x0∈D，使得f（x0）＝M.（1）∀x∈D，都有f（x）≥M；（2）∃x0∈D，使得f（x0）＝M.结论M是函数f（x）的最大值.M是函数f（x）的⑥最小值.注意闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.1.以下说法正确的是（D）A.对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数B.函数y＝1x的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞C.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）D.闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到2.[教材改编]函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（B）A.（0，＋∞） B.（－∞，0） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）3.[教材改编]y＝2x+1x－3的值域为（－∞，2）∪（解析y＝2x+1x－3＝2（x－3）+7x－3＝2＋7x－3，显然7x4.y＝2x－x－1的值域为[158，＋∞解析设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－14）2＋158，由t≥0，可得函数的值域为[15学生用书P022命题点1确定函数的单调性（单调区间）例1（1）[2023北京高考]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（C）A.f（x）＝－lnx B.f（x）＝1C.f（x）＝－1x D.f（x）＝3｜x－1解析对于A，因为函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝－lnx在（0，＋∞）上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为f（x）＝12x＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知，f（x）＝－1x在（0，＋∞）上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜x＜1时，y＝3｜x-1｜＝31-x在（0，1）上单调递减，所以D（2）[全国卷Ⅱ]函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（D）A.（－∞，－2） B.（－∞，1）C.（1，＋∞） D.（4，＋∞）解析由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4.因此，函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.（先求函数f（x）的定义域）易知函数y＝x2－2x－8在（－∞，－2）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，函数y＝lnt为（0，＋∞）上的增函数，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（4，＋∞）.故选D.（3）讨论函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，解析解法一（导数法）f'（x）＝a（x－1当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.解法二（定义法）设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（x－1+1x－1）＝a（1＋1x－1f（x2）＝a（1＋1x1－1）－a（1＋1由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.方法技巧判断函数的单调性的方法（1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法.训练1（1）函数g（x）＝x·｜x－1｜＋1的单调递减区间为（B）A.（－∞，12] B.[12，C.[1，＋∞） D.（－∞，12）∪[1，＋∞）解析g（x）＝x·｜x－1｜＋1＝x2－x+1，x≥1（2）[多选]下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（ABC）A.y＝ex－e－x B.y＝lgx2C.y＝2x＋2cosx D.y＝x解析∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；当x＞0时，y＝lgx2＝2lgx，此时函数在（0，＋∞）上单调递增，故B正确；对于选项C，y'＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；y＝x2＋x－2的定义域为（－∞，－2]∪[1，＋∞），故命题点2函数单调性的应用角度1比较大小例2（1）[2024厦门市湖滨中学模拟改编]已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1）时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（xf（112）的大小关系是（AA.f（－152）＞f（4）＞f（112） B.f（－152）＞f（112）＞C.f（112）＞f（4）＞f（－152） D.f（4）＞f（112）＞f（解析因为x∈[0，1）时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞f（x）为奇函数，所以f（x）在（－1，1）上单调递增.由f（x＋2）＝f（x）可得f（x）的周期为2，所以f（－152）＝f（－152＋2×4）＝f（12），f（4）＝f（0），f（112）＝f（112－2×3）＝f（－12），所以f（12）＞f（0）＞f（－12），即f（－152）＞f（4（2）[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数f（x）的定义域为（0，＋∞），对于∀x，y∈（0，＋∞），f（xy）＝f（x）＋f（y），且当x＞1时，f（x）＜0.则a＝f（sin3），b＝f（ln3），c＝f（21.5）的大小关系是（A）A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a解析设∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则x2x1＞1，f（x2x1）＜0.因为f（x2）－f（x2x1·x1）－f（x1）＝f（x2x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）为减函数.因为0＜sin3＜1＜ln3＜2＜21.5，所以f（sin3）＞f（ln3）＞f（21.5），即a方法技巧利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，应先将自变量的值转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性求解.角度2求解不等式例3（1）[全国卷Ⅰ]函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（D）A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]解析∵函数f（x）为奇函数，且f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1，由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1），（将常数转化为函数值）又函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.（2）[2024安徽名校联考]设函数f（x）＝x2－12｜x｜+1，则满足f（x＋2）＞f（2x－3）的xA.（－∞，5） B.（13，＋∞C.（13，5） D.（－∞，13）∪（5，解析f（x）＝x2－12｜x｜+1的定义域为R，∵f（－x）＝（－x）2－12f（x），∴f（x）为偶函数.由f（x＋2）＞f（2x－3）可得f（｜x＋2｜）＞f（｜2x－3｜），又当x＞0时，f（x）＝x2－12x+1单调递增，∴｜x＋2｜＞｜2x－3｜，即（x＋2）2＞（2x－3）2，解得13＜x方法技巧利用函数的单调性求解或证明不等式的策略（1）将不等式转化为f（x1）＞f（x2）的形式，（2）根据函数f（x）的单调性“脱去”函数符号“f”化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.角度3已知函数单调性求参数的值或取值范围例4（1）[2023新高考卷Ⅰ]设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（D）A.（－∞，－2] B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析由题意得y＝x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，所以a2≥1，解得a≥2.故选（2）[2023江苏省响水中学检测]已知函数f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，A.（0，1） B.（3，6） C.（1，4] D.（1，2]解析∵函数f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，logax，0<x<1在其定义域上单调递增，∴a>1，a－3≤1方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的方法根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解.注意若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一致，还要在整个定义域内单调，即要注意分界点处的函数值大小.训练2（1）[2024浙江省宁波市育才高级中学模拟]已知函数f（x）＝12－ax在[0，1）上单调递增，则a的取值范围是（A.（0，2] B.（0，2）C.（0，＋∞） D.（－∞，0）解析设t＝2－ax，由已知易知t＝2－ax在[0，1）上单调递减，且在区间[0，1）上大于零恒成立，所以a>0，－a+2≥0⇒0＜（2）[2023江苏南京模拟]已知f（x）＝ex－4，x≤4f（2x）与f（x2）的大小关系是（B）A.f（2x）≤f（x2） B.f（2x）≥f（x2）C.f（2x）＝f（x2） D.不确定解析由函数f（x）＝ex－4，x（－∞，4）上单调递增，在[4，16]上单调递减，在（16，＋∞）上单调递增，作出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图所示.当x≥0时，令2x＝x2，得x＝2或x＝4.结合图象可知，当0≤x＜2时，4＞2x＞x2≥0，则f（2x）＞f（x2），当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f（2x）≥f（x2），当x＞4时，2x＞x2＞16，则f（2x）＞f（x2）.综上所述，当x≥0时，f（2x）≥f（x2）.故选B.（3）[2023山东模拟]不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2的解集是（A）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B.（－1，3）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析由不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2，得（x2）3＋x2＞（2x＋3）3＋（2x＋3）.设函数f（t）＝t3＋t，易知f（t）在R上单调递增，因为f（x2）＞f（2x＋3），所以x2＞2x＋3，解得x＞3或x＜－1.故选A.命题点3与函数的最值（值域）有关的问题例5（1）函数f（x）＝x2－x+1x的值域为（－∞，－3]∪[解析f（x）＝x2－x+1x＝x－1＋1x，由对勾函数y＝x＋1x的图象可知，－2]∪[2，＋∞），所以函数f（x）的值域为（－∞，－3]∪[1，＋∞）.命题拓展[变条件]函数f（x）＝x2－x+1x+1的值域为（－∞，－23－3]∪[23解析令x＋1＝t（t≠0），则x2－x+1x+1＝（t－1）2－（t－1）+1t＝t2－3t+3t＝t－3＋3t，由对勾函数y＝t＋3t的图象可知，t＋3t∈（－∞，－23]∪[（2）[2022北京高考]设函数f（x）＝－ax+1,x＜a，（x－2）2，x≥a.若f（x解析当a＝0时，函数f（x）＝1，x<0，（x－2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；当a＜0时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时函数f（x）不可能存在最小值；当0＜a≤2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（x）＝（x－2）2∈[0，＋∞），若函数f（x）存在最小值，则－a2＋1≥0，得0＜a≤1；当a＞2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（x）＝（x－2）2∈[（a－2）2，＋∞），若函数f（x）存在最小值，则－a2＋1≥（a－2方法技巧求函数最值（值域）的方法（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法.注意对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域.训练3（1）[2023湖南常德一模改编]若函数f（x）＝8－2x（x≤2),3+logaxA.（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（1，2] D.（52，2解析当x≤2时，0＜2x≤4，4≤8－2x＜8，所以f（x）∈[4，8）.当x＞2时，分以下两种情况讨论.若0＜a＜1，则函数y＝3＋logax单调递减，所以3＋logax∈（－∞，3＋loga2），与f（x）的值域是[4，＋∞）矛盾.若a＞1，则函数y＝3＋logax单调递增，所以3＋logax∈（3＋loga2，＋∞），要使f（x）的值域是[4，＋∞），则有4≤3＋loga2＜8，解得52＜a≤2.故选（2）[2024重庆市渝北中学模拟]已知f（x）＝2＋log3x，x∈[1，81]，则y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值为22.解析由f（x）＝2＋log3x，得y＝[f（x）]2＋f（x2）＝（2＋log3x）2＋2＋log3x2＝（2＋log3x）2＋2＋2log3x＝（log3x＋3）2－3.∵函数f（x）的定义域为[1，81]，∴1≤x2≤81，1≤x≤81，∴1≤x≤9，∴0≤log3x≤2，∴当log3x＝2，即x＝9时，ymax＝22.∴函数y＝[f（x）]1.[命题点1/2023贵州安顺模拟]若定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）＋x2f（x2）≥x1f（x2）＋x2f（x1），则称f（x）为“H函数”.现给出下列函数，其中是“H函数”的有②④.（填上所有正确答案的序号）①f（x）＝x2－2x＋3；②f（x）＝2x－1；③f（x）＝lg（x－1）；④f（x）＝1解析根据题意，对任意x1≠x2，都有x1f（x1）＋x2f（x2）≥x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，则有f（x1）（x1－x2）－f（x2）（x1－x2）≥0，即[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）≥0，当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f（x1）－f（x2）≤0，即f（x1）≤f（x2），所以若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）在R上为增函数或常数函数.对于①，因为f（x）＝x2－2x＋3的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故其不是“H函数”.对于②，易得f（x）＝2x－1在R上单调递增，满足“H函数”的定义.对于③，f（x）＝lg（x－1）的定义域为（1，＋∞），不满足“H函数”的定义.对于④，因为f（x）＝1，x<0，2x+1，x≥0，所以当xf（x）单调递增，且1＜20＋1.显然f（x）满足“H函数”的定义.故答案为②④.2.[命题点2角度1/2023山东师大附中、长沙一中等校联考]设函数f（x）＝（32）｜x｜＋x2，若a＝f（ln3），b＝f（－log52），c＝f（1e），则（DA.a＞b＞c B.c＞b＞aC.c＞a＞b D.a＞c＞b解析由题意知f（－x）＝f（x），所以f（x）是R上的偶函数.当x＞0时，f（x）＝（32）x＋x2单调递增，则b＝f（－log52）＝f（log52），ln3＞1，0＜log52＜log55＝11＞1e＞12，即ln3＞1e＞log52，则f（ln3）＞f（1e）＞f（log52），即f（ln3）＞ff（－log52），故a＞c＞b，故选D.3.[命题点2角度2]已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（－x），且f（x）在（－∞，0]上单调递减，若不等式f（ax＋2）≤f（－1）对任意的x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为－1.解析由f（x）满足f（x）＝f（－x），可知f（x）的图象关于y轴对称，因为f（x）在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增.根据f（x）的图象特征可得当x∈[1，2]时，－1≤ax＋2≤1恒成立，即－3x≤a≤－1x恒成立，所以－32≤a≤－1，故a4.[命题点2角度3]已知函数f（x）＝（1－2a）x，x<1，ax+4，x≥1，且对任意的x1，x2∈R，x1≠解析由于对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，所以函数5.[命题点3/2023河北唐山联考]若函数f（x）与g（x）对任意的x1，x2∈[c，d]，都有f（x1）·g（x2）≥k，则称函数f（x）与g（x）是区间[c，d]上的“k阶友好函数”.已知函数f（x）＝2022x－1与g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a是区间[1，2]上的“3阶友好函数”，则实数a的取值范围是（－∞，－12]解析因为函数f（x）＝2022x－1与g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a是区间[1，2]上的“3阶友好函数”，所以当x1，x2∈[1，2]时，f（x1）·g（x2）≥3恒成立.易知f（x1）＞0，故g（x2）＞0.又f（x）＝2022x－1在[1，2]上单调递增，所以当x∈[1，2]时，f（x）min＝f（1）＝1，所以f（x1）·g（x2）≥f（1）·g（x2）＝g（x2），故当x∈[1，2]时，g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a≥3恒成立，即a≤x2－x－1x+1恒成立.x2－x－1x+1＝（x+1）2－3（x+1）+1x+1＝x＋1＋1x+1－3.设h（t）＝t＋1t－3，t∈[2，3学生用书·练习帮P2651.[2024河北省唐山市第二中学模拟]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减的是（C）A.f（x）＝－3x B.f（x）＝｜xC.f（x）＝15x D.f（x）＝2｜x－解析A：由反比例函数的性质知，f（x）＝－3x在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意B：f（x）＝｜x｜＝－x，x<0，xC：由指数函数的单调性知，f（x）＝15x＝（15）x在（0，D：f（x）＝2｜x－1｜＝2x－1，x≥1，22.若函数f（x）＝2x2+31+x2，则f（A.（－∞，3] B.（2，3）C.（2，3] D.[3，＋∞）解析f（x）＝2x2+31+x2＝2＋1x2+1，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜1x2+1≤1，∴2＜2＋1x23.设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（D）A.y＝1f（xB.y＝｜f（x）｜在R上为增函数C.y＝－1f（xD.y＝－f（x）在R上为减函数解析设f（x）＝x，则y＝1f（x）＝1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，A错误；y＝｜f（x）｜＝｜x｜在R上无单调性，B错误；y＝－1f（x）＝－1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，C错误；y＝－f（x）4.[2024广东七校联考]若函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（B）A.[1，＋∞） B.（1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析函数f（x）＝2｜x－a｜＋3的大致图象如图所示，其形状如一个“V”，开口向上，顶点坐标为（a，3），对称轴方程为x＝a.由于函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，因此需满足对称轴x＝a在直线x＝1的右侧，则a＞1，故选B.5.[2024甘肃兰化一中模拟]已知函数f（x）＝ex－e－x，x>0，－x2，x≤0，若a＝50.01，b＝A.f（a）＞f（b）＞f（c） B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b） D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f（x）＝ex－e－x在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞0.又f（x）＝－x2在（－∞，0]上单调递增，且f（x）≤0，所以f（x）在R上单调递增.又c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f（a）＞f（b）＞f（c）.6.[2024浙江名校联考]已知函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为（D）A.（0，12） B.（12，1） C.（12，＋∞） D.[1解析由题意可得，函数y＝log2（ax2－x）是由函数y＝log2u与函数u＝ax2－x复合而成的，因为函数y＝log2u在定义域内单调递增，所以由复合函数单调性的判断依据“同增异减”可知，要使函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则函数u＝ax2－x在区间（1，2）上单调递增.若a≤0，则易知函数u＝ax2－x在（0，＋∞）上单调递减，所以不满足题意；若a＞0，此时要满足题意，需a×12解得a≥1.故选D.7.[2024浙江省嘉兴市阶段性测试]若函数f（x）＝（2－3a）x+1，x≤1，ax，x>1满足对任意两个不同的实数x1，A.[23，＋∞） B.（23，34] C.（23，1） D.[解析∵对任意两个不同的实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，∴f（x∴实数a的取值范围是（23，34].8.[多选]已知函数f（x）＝x－ax（a≠0），下列说法正确的是（BCDA.当a＞0时，f（x）在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）C.当a＝－4时，f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）D.当a＞0时，f（x）的值域为R解析当a＞0时，f（x）＝x－ax，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）∵f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，∴A错误.若a＞0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→0－时，f（x）→＋∞，∴f（x）的值域为R，故D正确.当a＝－4时，f（x）＝x＋4xf（x）的图象如图，由图象可知，B，C正确.9.[2024河南郑州模拟]函数f（x）＝4x－2x＋1－1的值域是[－2，＋∞）.解析由题知f（x）＝（2x）2－2·2x－1，令2x＝t（t＞0），得m（t）＝t2－2t－1＝（t－1）2－2（t＞0），