立体几何初步章末复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章章末复习立体几何初步类型一空间几何体的表面积和体积圆柱；,圆锥：,圆台：,球的表面积和体积.注意：正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥.解题技巧：空间几何体的表面积与体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解．1．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为()A．27πB．36πC．54π D．81π2.已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为()A．eq\f(8\r(3)π,3)B．8eq\r(3)πC．eq\f(16\r(3)π,3) D．16eq\r(3)π3．(2022·新高考卷Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3类型二与球有关的切、接问题1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144π D．192π2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π3.已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝eq\r(2)，PB＝eq\r(3)，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为.类型三空间中点、线、面的位置关系平面基本性质基本事实1基本事实2基本事实3图形语言文字语言过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用确定平面判断线在面内证明三点共线或三线共点推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；确定平面推论2确定平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.直线与直线的位置关系共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（既不平行，也不相交）直线与平面的位置关系在平面内，有无数个公共点符号aα相交，有且只有一个公共点符号a∩α=A平行，没有公共点符号a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示平面与平面的位置关系平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线:符号α∩β=a1.（多选）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB．若α，β不重合，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l⊄α，A∈l，则A∉αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合2.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则()A．点P一定在直线BD上B．点P一定在直线AC上C．点P一定在直线AC或BD上D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上3.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）GE与HF的交点在直线AC上.类型四平行、垂直关系基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行1.线面平行的判定符号：2.线面平行的性质符号:3.线面垂直的判定符号：4.性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号：推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．符号语言：a∥b,a⊥α⇒b⊥α性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行符号：推论：α∥β，l⊥α⇒l⊥β5.面面平行的判定符号：6．面面平行的性质符号：补充：平行于同一平面的两平面平行.符号：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.符号：α∥β，a⊂α⇒a∥β.面面垂直的判定符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。8.面面垂直的性质符号：α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m⇒l⊥β9.证明线线平行的方法①三角形中位线②平行四边形③线面平行的性质④平行线的传递性⑤面面平行的性质⑥垂直于同一平面的两直线平行；证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.1.(2022·高考全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D2.（多选）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是()AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE3.如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求证：(1)平面EFO∥平面PAD；(2)PD⊥平面ABCD.4.如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求证：FG∥平面BCD；（3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由.类型五空间角1.异面直线所成的角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。,90。].2.线面角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：[0。,90。].如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.③范围：0°≤∠AOB≤180°.1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成角的大小为____________．2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为____________．3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为____________．4.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形.（1）求证：BD⊥PC；（2）求二面角B­PC­D的大小.

课后作业1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥l D．m⊥n2.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．eq\r(2) D．2eq\r(2)3.下列说法正确的是()A．多面体至少有3个面B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形4.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶25.平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内有无数条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．α内的任何直线都与β平行D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α6.（多选）若a，b为不重合的直线，β为平面，则下列结论正确的是()A．若a⊥β，b⊥β，则a∥b B．若a∥β，b∥β，则a∥bC．若a∥β，b⊥β，则a⊥b D．若a∥β，b⊂β，则a∥b7.(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是()A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直线PD与直线MN所成角的大小为90°8.给出下列四种说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．39.已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB＝90°，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为eq\f(4,3)，则球O的表面积为()A．16π B．36πC．64π D．144π10.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′-BCD的体积为eq\f(1,3)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为____________厘米．12.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝eq\r(2)，ED＝eq\r(2).则点B到平面AED的距离与EF到平面ABCD的距离的和为____________．13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．15.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的侧面积为____________，体积是____________．16.试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若________，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A-PB-C的余弦值．

答案类型一1.C．2.A．3.C．由已知得该棱台的高为157.5-148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝eq\f(1,3)×9×(140＋eq\r(140×180)＋180)×106＝60×(16＋3eq\r(7))×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).类型二1.A2.B3.eq\f(9,2)π类型三1.ABD2.B3.【证明】（1）因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD，又因为E、F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E、F、G、H四点共面.（2）因为G、H不是BC、CD的中点，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG与FH不平行，则必相交，设交点为M，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG⊂平面ABCHF⊂平面ACD))⇒M∈平面ABC且M∈平面ACD⇒M在平面ABC与平面ACD的交线上⇒M∈AC.所以GE与HF的交点在直线AC上.类型四1.A2.ABD3.证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点．因为E，F分别是PC，DC的中点，所以EF∥PD.又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.同理可得，FO∥平面PAD.又EF∩FO＝F，EF，FO⊂平面EFO，所以平面EFO∥平面PAD.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面PAD，所以PD⊥平面ABCD.4.（1）证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.因为DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，所以AE⊥平面CDE.（2）证明：取AB的中点H，连接GH，FH，所以GH∥BD，FH∥BC，因为GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以GH∥平面BCD.同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD，因为GF⊂平面FHG，所以GF∥平面BCD.（3）取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB.证明如下：取线段DC的中点M，取线段DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MSeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BC，又REeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BC，所以MSeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))RE，所以四边形MERS是平行四边形，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，所以EM⊥DC.由（1）知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因为EM⊂平面CDE，所以EM⊥BC.因为BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD，因为EM∥RS，所以RS⊥平面BCD.因为RS⊂平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB.类型五1.60°2.30°3.eq\f(π,3)4.（1）证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO.因为△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB.又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD.又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC，所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC，又OC，PO⊂平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以BD⊥PC.（2）如图，取PC的中点E，连接BE，DE，因为PB＝BC，所以BE⊥PC.又BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE，所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B­PC­D的平面角.因为BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB，AD⊥PA，由平面几何知识，可求得BE＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(2)，PD＝BD＝eq\r(5)，所以DE＝eq\r(3)，所以BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，即二面角B­PC­D的大小为90°.课后作业1.C2.D3.D4.CD5.C6.AC7.ABC8.B9.A10.B11.1212.2＋eq\r(2)13.(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BC∥l.14.(1)证明：因为△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，所以PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF＝D，CD，DF⊂平面EFDC，所以PA⊥平面EFDC，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面EFDC.(2)因为AB∥CD，PA⊥CD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，所以CD＝PD＝AD＝2.又AB＝2CD，所以AB＝4，所以S直角梯形ABCD＝eq\f(1,2)×AD×(CD＋AB)＝eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6.又AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.过P作PO⊥AD，垂足为O(图略)，则PO⊥平面ABCD.因为△PAD为正三角形，所以PO＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，所以V四棱锥P-ABCD＝eq\f(1,3)×PO×S直角梯形ABCD