排列与组合的课件-2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修第三册

排列与组合的课件一二三学习目标理解排列、排列数的概念能正确写出一些简单问题的所有排列（列举、树状图、表格）能够求出排列数应用排列与排列数的知识解决简单的实际问题学习目标

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.复习回顾问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

引入：通过上节课中的问题1和问题2，我们学习了排列的定义，并利用分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的表达和计算方法会显得繁琐冗长．简化一直是数学的追求，能进一步实现对排列问题的简化运算吗？新课导入问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？完成一件什么事怎么完成这件事英文字母有什么要求思考选出2名同学参加活动1名参上午的活动,另1名参加下午的活动第1步：第2步：确定参加上午活动的同学确定参加下午活动的同学32

乙乙丙甲下午丙乙甲上午相应的选法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙6种不同的选法法如左图新知探究追问1

问题1中，你能找到哪些关键词？这些关键词体现了什么意思？问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加上午的活动在前,参加下午的活动在后.有先后顺序的安排如果把上面问题中被取的对象叫做元素.那么问题可叙述为：从3个不同元素a,b,c

中任取2个，然后按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb.不同的排列方法种数为3×2＝6.追问2

如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样叙述问题1?

新知探究问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：显然,从4个数字中,每次取出3个,按“百位”“十位”“个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此，有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步,确定百位上的数字,在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法；第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三位数，不同的排法种数为4×3×2＝24新知探究追问

还有什么方式适合分析该问题？百位：十位：个位：树状图如下图所示：由此可写出所有的三位数：

123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432所以共可得到24个不同的三位数新知探究追问2

如果将问题2的背景去掉，把被选出的数字叫做元素，那么还可怎样叙述问题2?

从4个不同的元素中任取3个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法．所有不同的排列是不排列方法种数4×3×2=24新知探究实质是:从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法.实质是:从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？思考

上述问题1，问题2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？追问：

如何将问题1的一种选法和问题2的一种排法归结为同一种叙述?新知探究一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).排列的定义：定义中包含两个基本内容：取出元素按照一定的顺序排列n个不同的元素概念生成1.判断下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？(6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组.(7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目.（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列是排列不是排列概念辨析（1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m

(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题。（2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列.

而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.排列问题的判断方法：根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.123和321是不同的；123与124也是不同的追问：如何判断两个排列是否相同？方法归纳例1

某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛?(1)要完成的“一件事情”是什么？(2)完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？(3)如何利用计数原理求出比赛的场数？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.（分步计数原理）解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5=30.典例解析例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？思考：这两个问题的区别在哪里？分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.典例解析例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5×4×3＝60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5＝125.典例解析我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数

是多少?又是多少？进而归纳

是多少？排列数可以按依次填2个空位得到：同理，排列数可以按依次填3个空位得到：那么排列数就可以按依次填m个空位得到：

···

?排列数计算公式探究

研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数从n个不同元素中取出m个元素的排列数(m≤n)是多少?新知探究排列数公式：问题2

观察排列数公式的结构，回答下列问题：（1）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？（2）比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？（3）若m=n时，

的表达式有什么特点？公式中是m个连续正整数的连乘积，从n开始每项逐次减1

m≤n,排列数公式的连乘形式

最小因数是(n－m＋1)而不是(n－m).例如：概念生成全排列数：1.全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列.全排列数为:2.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×···×n称为n的阶乘，用

表示,即概念生成例3

计算：解：根据排列数公式，可得：追问

观察例3的运算结果，你有什么发现？能推广到一般情况吗？典例解析追问

你能否对它进行证明呢？证明：因此，排列数公式还可以写成：排列数公式的阶乘形式排列数公式的应用：

连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明.概念提升解：1.计算：课本P20巩固练习2.求证：证明：3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?解：不同的停放方法有课本P20巩固练习例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.百位十位个位第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:典例解析解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有

种取法.第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有

种取法；第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例解析解法3:

从0~9这10个数字中选取3个的排列数为即所求三位数的个数为其中0在百位上的排列数为

例4

用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数典例解析带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数分步先分类后分步方法归纳变式1

用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?解：00变式2

用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?0(1)0在个位的有个；(2)0在十位的有个；(3)没有0的有个.∴共有解：(1)0在十位的有个；(2)没有0的有个.∴共有变式练习追问2

如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括?

问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？

从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？

这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.新知探究组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，

而组合“与顺序无关”.例如:ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.新知探究

例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.

由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示.排列与顺序有关组合与顺序无关新知探究1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

组合排列(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合组合组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价?(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合(6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?(7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?组合排列概念辨析例1平面内有A、B、C、D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?解:

(1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有

条.(2)

将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.这12条有向线段分别为典例解析结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半追问

利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？例1平面内有A、B、C、D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?典例解析写出:(1)用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；(2)从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.解：(1)10121314202123243031323440414243共16个.(2)abacadbabcbdcacbcddadbdc共12个.2.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序?解：4×3×2×1＝24(种).课本P16巩固练习3.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打)，每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次.(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况?(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写