直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章

立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1

直线与直线的垂直

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．1、在平面几何中，垂直是如何定义的？复习回顾：2、平面内直线夹角是怎样定义的？

1.平移一条线不改变夹角的大小。

平面内两条相交直线所成角：两条直线相交成四个角中，其中不大于90°的角称为它们的夹角

复习回顾：3、空间中直线与直线的位置关系有哪些？共面直线异面直线：平行直线：相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点.复习回顾：本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系。

如图8.6-1,在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?夹角思考探究一、异面直线所成角

abb′a′空间直线所成角→平面直线所成角（空间问题→平面问题）OO

2、异面直线所成角的取值范围：

当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°.

新知生成：二、直线与直线垂直异面垂直：相交垂直：

不在同一平面内，没有公共点，异面直线所成角为90°；

若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。新知生成：不一定1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线

垂直.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.（

）

×√教材P148练习：下列说法正确的有（

）A．异面直线a与b所成角可以是0°.B．若a⊥c，b⊥c，则a

∥b.C．若a

∥b，则a，b与c所成的角相等.D．若a，b与c所成的角相等，则a

∥b.E．若a

∥b，a⊥c，则b⊥c.CE

——求两直线所成角(3)求直线BA′与AC所成角的大小.1.构造2.证明3.计算4.结论例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.

(3)求直线BA′与AC所成角的大小.连接A′C′,∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，∴AA′

CC′,∴四边形AA1C1C是平行四边形.∴AC∥A′C′,

∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°.∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角.连接BC′,易知△A1BC1是等边三角形，∴∠BA1C1=60°，解：（作）（证）（求）

例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.

例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.①作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)；②证：证明①中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）③求：通过解三角形或其他方法，求出①中所构造的角的大小；（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．

求异面直线所成的角的一般步骤A(2)如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值是_____．

——证明两直线垂直

4、如图，在正三棱锥ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点AB=BB'=2，求证：BD⊥AC'.E

教材P148BDCA′B′C′AE•F•4、如图，在正三棱锥ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点AB=BB'=2，求证：BD⊥AC'.证明：(法二)如图，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF.教材P148类型三异面直线所成角的综合应用【例3】

如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD与AC所成的角的大小为