2024届天一大联考高三阶段测试六数学试题含答案

届天一大联考高三阶段测试六数学试题+答案

绝密★启用前2024

2023—2024学年高中毕业班阶段性测试（六）

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题

卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={刀|一1<%<4},8={4丁=111（%-3）},则（）

A.{x|3<x<4]B.{x|-l<x<4}C.{x|-3<x<1}D.{x|x>-1}

3+4i

2.已知i是虚数单位，则上一二（）

A.lB.2C，V5D.瓜

3.0x—工]的展开式中产的系数为（）

A.-225B.60C.750D.1215

4.设〃为偶数，样本数据和々，…，的中位数为加，则样本数据

X]+%2，%2+%3，%3+%4,…，+%的中位数为（）

A.m-1B.mC.2m-lD.2m

5.直线/:y=3%+”与曲线y=sin3x相切的一个充分不必要条件为（）

A.〃=1B.a=-2K

4兀

C.ci=TtD.a——

3

6.已知cos。—sin。=工，则cos49=（）

4

97159795

A.-------B.-----------C.--------------D.-------

12816256256

3m

7.已知正数根，〃满足—+1=2m,若根+2M（力71/恒成立，则实数丸的最小值为（）

n

1214

A.-B.-C.一D.-

4525

8.圆锥甲、乙、丙的母线与底面所成的角相等，设甲、乙、丙的体积分别为九%,匕，侧面积分别为$82,83,

高分别为4，4,自，若匕=匕+匕,，=52++，则%=（）

B.2（4一幻+*

%一名

4+ah[h4一色

2D.

--2(4+初22(—)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正方体A3C。—4与。］2中，加,双分别为棱44,4。的中点，则（）

A.AC1±D1CB.A，G，M,N四点共面

C.AG〃平面NDCD.MNL平面ND]C

「心—山\sinx+cosx…，、

10.已知函数/(%)=---------，则()

sinxcosx

Aj（x）的定义域为何

B./（x）的图象关于点对称

37r

c./（X）的图象关于直线x=-■—对称

DJ（x）在区间［0,3）上的最小值为2J5

11.已知A是抛物线E:y2=2px（p〉0）上的动点，点3（-L4）,C（一4,0）,O为坐标原点，点A到E的准线

的距离最小值为1,则（)

A.p=2

B.|AB|的最小值为一

C.tanNACB的取值范围是

_22_

D./AC3/AC。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且q+%=17,%+%=68,则。“=.

MP

13.已知M,N分别为平行四边形ABC。的边BC,CD的中点，若点P满足6酢+5应=4皮，则="

MN

14.已知双曲线。：二—与=1（。〉0为〉0）的右焦点为尸，左、右顶点分别为A，4，点加在C上运动（与

a~b~

5-------------

A，&构不重合）,直线交直线尤=公。于点N,若恒成立，则C的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

将一枚质地均匀的正四面体玩具（四个面分别标有数字1,2,3,4）抛掷3次，记录每次朝下的面上的数字.

（1）求3次记录的数字经适当排序后可成等差数列的概率；

（2）记3次记录的最大的数字为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

16.（15分）

如图，在四棱锥A—BCDE中，ABLBC,BC//DE,DC1BC,BC=CD=-DE=1.

2

D

A

（1）证明：口人后。为等腰三角形;

（2）若平面3CDE，平面ABC,直线BE与平面ACD所成角的正弦值为“，求AB.

10

17.（15分）

记数列｛%,｝的前几项和为S”,q=L（3-2〃）S,+i+2〃（Sn+2a,）=3S”+2a”.

4

（1）证明为等比数列，并求｛4｝的通项公式;

3—2〃

（2）设a=一驾，%=]%，数列｛cj的前几项和为7；,求使不等式fl成立的左的最大值.

，22+113

18.（17分）

22

已知椭圆。：=+二=1（。〉人〉0）的左顶点和在焦点分别为Q,F,且也刊=3,点。（0,1）

ab

满足。QDE=—1.

（1）求C的方程;

（2）过点。的直线/与C交于两点，与x轴交于点T，且点T在点。的左侧，点8关于x轴的对称点

为E,直线QAQE分别与直线x=l交于M,N两点，求□力0N面积的最小值.

19.（17分）

已知函数/（X）=（根+1—x）e*—3根e"—2.

（1）当m=2时，讨论了（%）的单调性;

（2）若x=0是/（x）的极小值点，求实数机的取值范围.

2023—2024学年高中毕业班阶段性测试（六）

数学•答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

l.A2.C3.D4.D5.B6.A7.D8,C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分.

9.AC10.CD11.ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

,2

12.2n-'13.-14.2

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解析（1）抛掷正四面体玩具3次，所有可能的结果有43=64种，

3次记录的数字可以排成等差数列，如果3个数字相同，则不同的结果有4种，如果3个数字互不相同，则

不同的结果有2A；=12种，

4+121

因此所求的概率为

⑵X的所有可能取值为L2,3,4,

P（X=1）=—,

,）64

尸（X=2）=C；+：j+C；7

64

22C；+2C；+C19

P（X=3）=

6464

3?C；+3C；+C37

p（X=4）=

6464

故X的分布列为

X1234

171937

P

64646464

171Q3755

X的数学期望E（X）=lx—+2x，+3x』+4x'

v76464646416

16.解析（1）取。E的中点连接

因为3C〃DE,BC,DE=DM,所以四边形3CDM是平行四边形，

2

所以//CD.

因为BCLCD,所以3CL5M.

又因为所以平面ABM,

所以。平面ABM,所以。

即AM是。E的垂直平分线，所以AE=AD,即口4皮）是等腰三角形.

（2）由（1）知因为平面A5C_L平面5CDE,所以平面A3C,从而可知

两两垂直.

以8为坐标原点，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设A（a,O,O）（a〉O）,由已知得3（0,0,0）,E（0,—1』）,。（0,1,1）,。（0』,0）,

所以丽=（0,0,1）,而=（。一1。）,而=（0,-1,1）.

设”=（x,y,z）为平面ACD的法向量，

则_得＜取x=l,得五=（l,a,0）.

n-CA=0,Q=%

设直线BE与平面AC。所成的角为。，

则sin6=cos（n,BE\=/何=,

'/42^210

解得〃=3,故AB=3.

17.解析（1）由（3—2〃）S“+i+2〃（S”+2a〃）=3S”+24,

得（3—2〃）（S,M—S“）=2（l—29风,即（3—2〃）4M=2（1—2〃）a,,

所以珍二2.古，变形得3_27+1）=2.方

故数列彳餐是首项为一@一=1,公比为2的等比数列,

[3-2nI3-2

所以^^=2"T,即a'=（3—2〃）"T.

3-In

⑵因为3-S=2〃-1,

/（3-2叱2“T2"

所以q,

她+i（2〃-1）（2〃+1）2n-l2〃+1'

12

(2°2。(22}/2"-22八-1、(2"T2")=1一工

++■••++

、九一〃一工

(13)(35)232、2〃-12n+l?2〃+l

因为42一|1，2k即822k

所以1———

2k+l13132k+l

设函数/（〃）=jcN*.

2n+l

2"+|2"_(4〃+2-2〃-3)2"_(2n-l)2n

因为/(〃+1)-/(〃)=>0,

2/7+32〃+1(2n+3)(2n+l)(2n+3)(2n+l)

所以〃〃)=二:

〃eN*）单调递增.

J2/7+1

2664

又/⑹=—,所以上W6,

2x6+113

所以使-E成立的最大正整数k的值为6.

18.解析（1）由题意知。（-。,0）,设E（c,0）（c〉0）.

因为函=3,所以a+c=3①.

因为加1）,而=（G—1）,而力=T，

所以一。c+1=-1,BPac=2②.

由①②解得a=2,c=1,b=J4-1=y/3，

22

所以C的方程为土+乙=1.

43

（2）设4（%,%）,3（%2，%），由题可设直线AB:y=履+1,则双如一%）,%>0,%>0.

令y=0,得》=一』，由一工<—2,得0〈左<」.

kk2

[y：依+：,得（3+4左2）f+8"—8=0,

[3X2+4/=12,V）

cr,,-8k-8

所以%+%2=E，中2=K.

直线QA的方程为y=上5（X+2）,

X]i-z

3%

令X=l,得加=/

直线QE的方程为y=Dy（x+2）,

I乙

3y2

令x=l,得>N=一力

/、

所以阿N|=“一%|=3X1%

（％+2x2+2?

%上方_kx+lkx+l

因为I-xI2

%+2x2+2再+2x2+2

2kxxx2+（2k+1）（再+%）+4

玉%2+2（再+犬2）+4

-8—8k

2kx+（2左+l）x+4

3+4左23+4左23

-8-8k1—24'

+2x+4

3+4左23+4左2

^\TF\=1+-,

k

199（左+1）

所以SQTMN—X-------

21—2左2M1-2左）

3

设上+1=%,则上二%—1,1</<一,

2

_%%_9

则"=2（7（3—2/）=2（—2/+*3）=2J―3+5

^2（5-2V6）

当且仅当2/=?,即/="时等号成立，所以□力0N面积的最小值为？（5+2卡卜

，22

19解析（1）当〃2=2时，f（x）=（3-x）e'-e2'-2,

则/⑺=（3-x-I）e*-2e2Y=（2-x-2er）e\

易知函数M无）=2—龙—2y在R上单调递减,又丸⑼=0,

所以当x<0时，A(x)>0,即/(犬)〉0,当x〉0时，下(无)<0,即/(无)<0,

所以/(x)在(-叫0)上单调递增，在(0,+")上单调递减.

(2)由题意知/=+-根e"=0"x-Me')e",且/'(0)=0.

令函数g(x)=m-x-me',则g'(x)=-l-mex.

①若冷0,则8'(%)<0超(可在口上单调递减.

又g(0)=0,则当x<0时，g(x)〉0,所以r(x)〉0"(x)在(—叫0)上单调递增，

当x〉0时，g(x)<0,所以/'(x)<0,/(x)在(0,+动上单调递减.

所以“X)在x=0处取得极大值，不合题意.

②若一1<m<0,贝工]〉0,令g'(x)<0,得x<ln]—故g(x)在—",ln1—■上单调递

减.

又(一”,0)口-co,Inf-—,g(0)=0,

Ik机"

所以当x<0时，g(x)〉0,从而r(x)>0,〃x)在(一。,0)上单调递增;

当0<x<ln]—时，g(x)<0,从而/'(x)<0,/(x)在0,14—，]上单调递减，

所以/(x)在x=0处取得极大值，不合题意.

③若加=—1,则In—：=0,令，(x)〉0,解得x>0,令g'(x)<0,解得x<0,

所以g(x)在(-叫0)上单调递减，在(0,+")上单调递增，

所以g(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，所以g(x)>g(O)=O,从而广(。在0,

所以/(%)在上单调递增，不合题意.

④若用＜一1,贝!Jin<0,

令g'(x)〉0,解得尤＞In，故g(x)在In,+。上单调递增.

)

又(0,+。)=In,+oo,g(o)=o,

7

故当In<%<0时，«?(%)<0,从而/在In,0上单调递减,

7

当x〉0时，g(无)＞0,从而/'(x)〉04(x)在(0,+动上单调递增.

所以/(x)在x=0处取得极小值，符合题意.

综上，根的取值范围是(-叫-1).

2023—2024学年高中毕业班阶段性测试（六）

数学•命题报告

一、试题基本信息

1.考查内容：高考考查的全部内容；

2.试卷形式：单项选择题（8）十多项选择题（3）+填空题（3）十解答题（5）.命题风格贴近新高

考全国卷的命题风格,并结合学生实际情况，调控试题整体难度为中等；

3.考查目标：检查学生知识掌握的情况，为后续复习备考提供有效的数据参考，使教师更好地制订

教学计划.

二、试题简评

1.本试卷注重基础知识、基本方法的全面考查，试卷全面覆盖了函数与导数、三角函数、数列、不

等式、向量、立体几何、解析几何、统计与概率等主干内容.如第5,19题全面考查函数与导数中核心的

知识；第6,10题考查了三角函数的图像与性质以及三角恒等变换；第8、9、16考查了圆锥的侧面积和

体积、以及空间位置关系的推理及线面角的相关计算等内容；第11、14、18题则考查了解析几何中的基

础知识；第4、15考查了计数原理和概率与统计相关的知识。

2.本试卷在考查基础知识的同时，注重知识方法的综合性要求，考查学生的能力与核心素养.如：

第5题考查以导数的几何意义为载体，考查充分条件与必要条件的判断，考查学生的逻辑推理的核心素

养；第13题考查利用平面向量为条件考查解三角的相关知识，考查学生的逻辑推理与数学运算的核心素

养，以及创新意识。第19题考查利用导数工具研究函数的单调性、考查极值点的概念与定义等性质，考

查学生分析问题的能力、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算的核心素养。

3.本试卷难度梯度设置合理，具有较好的区分度，例如单选的前题，多选第9题，填空12题以及解

答题15题均以基础常规考法和单一知识点呈现体现了试卷的基础性，第8,11,14,18,19题在以常规

载体的前提下，对设问，考法进行创新，加入的思维和计算的综合度，体现了高考“无思维，不命题”的

命题趋向和风格。

三、多维细目表

考查要求学科素养

预

数

数

数

设

分

基

综

题应逻数直

学

据

学

值

创难

础

题型具体知识点合

用辑学观

运

分

号抽

新度

性

性

性推建想

算

析

性象

理模象

1单选题5集合的交集运算・VV易

2单选题5复数的四则运算以及模长的求解■易

3单选题5二项式定理中系数的求解・VV易

4单选题5样本数字特征■V