2023～2024学年八年级数学下册第16章 二次根式（单元测试拔尖卷）

第16章二次根式（单元测试・拔尖卷）一、单选题（本大题共

10小题，每小题3分，共30分）

1.与百（J两-6）最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

2.若无亘有意义，则字母X的取值范围是（）

x-2

A.x>lB.x#2C.x>lHx=2D..x>-l且x#2

3.化简,3_2/-J3+2/的结果是（）

A.&B,-V2C.2D.-2

4.化简二次根式a1+的结果是（）

A.yj—a—2B.—yj—a—2C.\la—2D.—da-2

5,化简、口71的结果为()

丫56

A.—B.307330C.3更

D.30VFT

3030

6.若Q=(6-1)(6+1)+卜-亚|,b=(5/24-5/3)-V24,则Q与b的大小关系是（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定

m3

7.若二次根式万方有意义，且关于x的分式方程产-+2=一三有正数解，则符合条

1-xx-1

件的整数机的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

8.已知x=&-6/=亚+6,则代数式Jx?+2xy+/+x-_y-4的值为()

A.3B.-C.V3-1D.

242

x-m八

—>0,

9.如果关于x的不等式组I：2的解集为x>2,且式子户时的值是整数，

------x<-2

3

则符合条件的所有整数m的个数是().

A.5B.4C.3D.2

10.设a为，3+4-力-君的小数部分，b为,6+3为々6-36的小数部分，则

的值为()

A.\[64-V2—1B.yfb—V24-1C.A/6—V2—1D.y/6+>/2+1

试卷第1页，共4页

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.设X=G-2,贝叱+3/+11/+2苫+1=.

12.a,6为有理数，且a+®="+26，则。+6=.

13.若（2+6）（2+加）的积是有理数，则无理数加的值为.

14.在实数范围内分解因式：2--6孙-/=.

15.已知y=Jx-2+J2-X-6,贝+户”的值为.

._______y2xy

16.已知y=Vx-8+j8-x+18,求代数式丁—T-~T--厂的值为

y/x-yjyXyjy-yyjx

17.可以用配方法化简二重根式，

例如：74-273=^（V3-1）2=73-1,

请化简式子：/5-2娓+17-4也.

4-2V2

18.观察下列等式：

第1个等式：4=£方=&-1，

第2个等式：%石=百-后,

第3个等式：%=百+2=2-3,

第4个等式：4=会后=加一2，

按上述规律，计算4+/+%-+/=.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.计算：

—y/8

（2）（2>/5-l）（l+2V5）+V3（>/i2-V27）

20.计算

⑴储户卫疯+二户）/%户；

VmmmvnVm

⑵（6+4^）+（告+4一展）（』）.

7a+7b7ab+b\/ab-a7ab

试卷第2页，共4页

1(4Q+4

21.(1)已知其中4=匚忑，化简求值［＞士卜〃2；

(2)已知(J”?2+1+〃,(J〃2+1+”)=1,探究m与“的关系.

22.如图1,从一个大正方形纸板中截去面积分别为8,32的两个小正方形.

(1)求留下的部分(阴影部分)的面积；

(2)如图2,用余下部分的长方形纸板/,在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后

将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形,

高为a,求盒子的底面积；

(3)用余下部分的长方形纸板8,在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突

起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而且长与

宽的比是3:1,求这个盒子的容积.

23.先观察等式，再解答问题：

(T)+4"+-T=i+-----=i—；(5)./1+-4-+^=1+———=1-；

VI22211+12\223222+16

③+——=1—.

V324233+112

(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想+"+"的结果，并验证；

(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含"的式子表示的等式(〃为正整数).

(3)应用上述结论，请计算/4+媪+奈的值.

24.如图1,在RtZUBC中，ZBAC^90°,AB=AC,D,E两点分别在48,AC1.,

&DE〃BC,将绕点N顺时针旋转，记旋转角为a.

(1)问题发现当a=0。时，线段8DCE的数量关系是二

试卷第3页，共4页

(2)拓展探究当0。4a<360。时，(1)中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明;

(3)问题解决设0E=2,8c=6,0。4a<360。，△ADE旋转至A,B,E三点共线时，直

接写出线段BE的长.

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解.

【详解】解：原式=南-3,

•.•49<54<64,

7<V54<8>

•••7.52=56.25，

7<754<7.5，

J区最接近7,

・••南-3最接近7-3即4,

故选：B.

【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质

是解题关键.

2.D

【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案.

【详解】五亘有意义，贝Ijx+IK)且x-2,0,

x-2

解得:疟・1且xr2.

故选D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键.

3.D

【分析】先将根号内整理为。-收>和(1+3)2,再化简，并计算即可.

【详解】原式=’1-2&+2-川+2五+2='(1-可-/(1+可=^/2-1-(1+72)=-2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解3±2及=(1土血产是解题的关键.

4.B

【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得。、6的取值范围，然后再利用二次根式的性

质进行化简即可

答案第1页，共16页

【详解】―。

故选8

【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断

字母的取值范围.本题需要重点注意字母和式子的符号.

5.C

【详解】先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得小［=旧=噜，

故选C.

点晴此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有

理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.

6.B

【分析】先利用二次根式的混合运算化简。和田再根据二次根式的估算比较即可.

【详解】解：v2<16,

•••V2<4，

••-1+V2<5.

•.-a=(>/3-l)(V3+l)+|l-V2|

=3-1+72-1

=1+V2，

6=(也+百)|厉

=2+3+26-26

=5,

:・a〈b,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混

合运算法则是解题的关键.

7.D

答案第2页，共16页

【分析】根据二次根式万嬴有意义，可得加42,解出关于x的分式方程4+2=2

1-xx-1

的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据〃?

为整数，确定机的所有可能的整数值，求和即可.

【详解】解：去分母得，-m+2(x-D=3,

n?3

・•・关于X的分式方程一+2=一・有正数解，

1-xx-1

q>o,

2

:.ni>-5,

又・.・x=l是增根，当x=l时，

生甘=1,即加=-3,

2

••・mw-3,

•:\j2-m有意义，

A2-7TZ>0,

m<2,

因止匕一5V〃?W2且加工一3,

•・•加为整数，

・•・〃？可以为・4,-2,-1,0,1,2,其和为~4,

故选：D.

【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解

题的关键是理解正数解，整数团的意义.

8.C

【分析】根据已知，得至!]X+^=夜一6+后+G=2>/^,x-y=0-百一0—e=-26，

整体思想带入求值即可.

【详解】解：•."=&-百/=&+石，

.­-x+j；=V2-V3+V2+V3=2>/2,x-^=72-73-V2-V3=-2>/3,

•••yjx2+2xy+y2+x-y-4=J(x+V)2+(x-y)-4

答案第3页，共16页

=^（272）2-273-4

=78-2^-4

=小4-2也

=—1.

故选c.

【点睛】本题考查二次根式的化简求值.熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行

求解，是解题的关键.

9.C

【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为x>2可得出mW2,再由式子

J3-网的值是整数,得出|m|=3或2,于是m=-3,3,-2或2,由mW2,得m=-3,-2或

2.

【详解】解：解不等式y>0得x>m,

x—2

解不等式工一一x<-2Wx>2,

・••不等式组解集为x>2,

•.•式子产碗的值是整数，

则|m|=3或2,；.m=-3,3,2或-2,

由m<2得，m=-3,-2或2.

即符合条件的所有整数m的个数是3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组

的解法是解题的关键.

10.B

【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、

答案第4页，共16页

运算、求值，即可解决问题.

【详解】，3+右->/3-石

_V5+1V5-1

y/2y[2

=0

・•・a的小数部分为近一1，

J6+3G-J6-3G

=(12+6>/3卜2-6百

-2V-2-

_岳33-V3

=FF

=屈

••.b的小数部分为&-2,

3------=卡+2-近-1=太-血+1,

baV6-2V2-1

故选：B.

【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题解题的关键是灵活运用二次根式的运

算法则来分析、判断、解答.

11.1473-24

【分析】利用(x+2)2=x?+4x+4和x=6-2,推得/+4x+l=0,借助该式将多项式进

行降基化简，即可求解.

【详解】解：•••x=V3-2,

••.(X+2)2=(6-2+2『=3,

又；(x+2)2=x2+4x+4,

即x?+4x+4=3,

答案第5页，共16页

整理得x2+4x+1=0,

X6+3X5+11X3+2X+1

=x4(x2+4x+1)+3x5+1lx3+2x+l-4x5-x4

=-x5-x4+1lx3+2x4-1

=-x3(x2+4x+l)-x4+1lx3+2x+l+4x4+x3

=3X4+12X3+2X+1

=3x2(x2+4X+1)+2X+1-3J?

=-3x2+2X+1

=-3(X2+4X4-1)+2X+1+12X+3

=14x+4,

将x=6-2代入原式可得14x(百一2)+4=146-24.

故答案为：14百-24.

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是通过完全平方公式

得到X?+4x+1=0,借助该式将原多项式进行降慕化简.

12.2

【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即“+26=’(1+可=1+5且a,b为

有理数，求出。=1力=1,进而得到4+6=2.

【详解】解：；"+26=J1+3+26=6+(可+2百=J(1+可=1+6

•••。+6方=1+6

•••a,b为有理数

a=l,b=1

a+b=2

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变

形.

13.-V3(答案不唯一)

答案第6页，共16页

【分析】对（2+百）（2+心）进行化简，由题意令2石+2机+仃〃?=4,（。是有理.数）即可求

解.

【详解】解：（2+石）（2+加）

=4+25A+2m+yf^m

（2+®（2+M的积是有理数，〃?是无理数,

2-73+2m+是有理数，

令26+2"7+百，”="，是有理数）

解得：w=y^=(a-273)(2-V3)=(2a+6)-(o+4)V3,

当2a+6=0即a=-3,

时m=-V3>

故答案为：Y（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的

混合运算法则即有理数的性质.

（3-vnY3+而]

14.2[X--------------------

【分析】先提取2,再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可.

【详解】解：2x2-6xy-y2

=2卜_3孙一;

=2卜2_3孙+%2_%2

答案第7页，共16页

=2x—

（/H

故答案为：2x------y

【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方

差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键.

15.2+&##&+2

【分析】先利用二次根式有意义求得x与y的值，然后把x与y的值代入变形后的代数式求

值即可.

【详解】解：'''y—\Jx—2+A/2—x—>/3，

Jx-2>0

解得x=2,

[2-x>0

.•.J；=V2-2+V2-2-V3=-V3,

・・・（/x+\>20）22/\x-\y20）23

=（x+y广2（X-y）2tt22（X_y）

=［（'+力卜7）了°"卜7）

222

=［（2-^）（2+Vi）］"（2+73）

=2+y/i.

故答案为：2+VJ

【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键.

16.-V2

【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x=8,则y=18,然后代入化简后的代数式求

值.

【详解】解：由题意得，x-8>0,8-x>0,

解得，X—8,则y=18,

•••x>0,y>0,

答案第8页，共16页

ist_x+y_2而,而

八工弧电-6)

x+v2历

y/x-Jy4x-^[y

_(yJx—yfy)2

二6-6

=y/x-\jy

把x=8,y=18代入

原式=质-V18

=2a-372

~~y［2，

故答案为：-应.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根

式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简.

17.2

【分析】先把5-2卡，7-46分别化为便-0『与（2-匈1再化简，结合分母有理

化，最后计算加减运算即可.

［详解］解：出-2瓜+/7-4耳+变V

4-20

4

=’（百一近）+J（2_@,(^-0

2(2-V2)

_也正+252GM(2+码

一'‘♦(2-甸(2+&)

=2-V2+(>/2-1](2+>/2)

=2-&+2&+2-2-&

=2；

故答案为：2

【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式

答案第9页，共16页

的化简的方法与技巧是解本题的关键.

18.J〃+1—1##-1++1

【分析】首先根据题意，可得:罚力，然后根据分母有理数化的方法，求出算

式的值是多少即可.

【详解】解：第1个等式：4=£方=07'

第2个等式：%=正：6=行一0，

第3个等式：出=余万=2-0，

第4个等式：4=会后=遥-2,

第〃个等式：%=不归r=G—

q+Q,+Q3+…+。〃

=yl~2-1+\/3―V2+…++1—yfH

=+1-1

故答案为：yjn+1-1.

【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母

有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

19.（1）|V2

⑵16

【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解;

（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答.

【详解】（1）解：V18-V8+

2

=3五一2版+与

=(3-2+1)V2

答案第10页，共16页

=”

(2)解：(275-1)(1+2^/5)+V3(V12-727)

=(2A/5)2-1+V36-V8T

=20-1+6-9

=16.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，二次根式的

化简，是解决问题的关键.

(2)-y/a+4b

【分析】(1)先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、

分式的运算法则计算即可；

(2)先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运

算法则计算即可.

【详解】⑴解：面心上标+'胆)+。%胆

VmmmVnVm

,2\nabi—nm、1\m

1\nm1/mnImm

=立山•丁麻伊〃・丁赤匕:

=4」+工

b“aba~b2

a2-ab+l

a2b21

(2)解：(&+与绅)+(4+--一号)

7a+'byjab+b\jab-a7ab

_a+y[ab+h-\[aba4a[>[a-\[b)-b4b(4a+\fb)-(a+b)(a-b)

\[a+\[b\[ab(y/a+>{b}(y[a-yfb)

_a+ba2-ay[ab-b\[ab-b2-a2+b2

\[a4-VK4ab(4a+\lb)(y[a-y[b)

答案第11页，共16页

_a+b-\[ab(a+b)

\[a-\-yfb\[ab{4a+\/b)(\fa-y/b)

a+b\[ab[\[a+4b)

Va+\Jb-\[ab(a+b)

=-yfu+y[b•

【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解

题的关键.

21.(1)1+；(2))?+〃=0

3

【分析】(1)根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案；

(2)利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案.

(〃-2)2

a

='a^2f

.一//c=2+百

,2-石(2-码(2+6)，

2+73273+3=1+亚

原式=

2+G-2-33

(2)+1+〃?2+i+n1

(>/%?2+1一Jm2+1+用)(J"+1+〃)=(J//+1一加)

二•J”2+1+〃=J72+1一加,目R+1-\/加2+1—-m-n,

vw2+l>0,/?2+l>0,

.，•(/管+1-J/w?+1)=(一〃？一〃y,BPrn2+2mn+A?2=0,

:.m+n=O.

【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是

答案第12页，共16页

解决问题的关键.

22.(1)32

⑵16-4/

(3)372

【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出

算式是解答关键.

(1)先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可；

(2)利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积；

(3)设底面长方形的宽为x,长为3x,利用长方体的容积等于长x宽X高求解即可.

【详解】(1)解：•:瓜=2五,V32=4A/2,

•••留下的部分的面积为2夜x4应+2后x4&=32;

(2)解：由题意，

盒子的底面积为2夜x4及-4/=16-4/s

(3)解：设底面长方形的宽为x,长为3x,

由题意，得2四-x=4&-3x,­•.x=V2,

二无盖的长方体盒子的高为-0卜2=交，

无盖的长方体盒子的容积为30x亚x也=30.

2

23.见解析

[~~11~।11।1

(2)1+—r+-------7=1+---------=11------r

1n~(〃+1)〃〃+1+

【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可.

(1)利用题中等式的计算规律得出结果，并验证.

j+/+.+])2右边为1与一7」7八的和，列出等式即

(2)找出第〃个等式的左边为

可.

答案第13页，共16页

（3）按