广西2023-2024学年高考数学押题试卷含解析

广西重点中学2023-2024学年高考数学押题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数〃x）=J3—5x+6的定义域为（）

A.{x|x<2或x»3}B.{%卜<-3或％之一2}

C.1x|2<x<3}D.1%|-3<x<-2j

2.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的

概率为

3.要得到函数），=6sin的图象，只需将函数y=^sin图象上所有点的横坐标（

71

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移一个单位长度

7T

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移一个单位长度

I57r

C.缩短到原来的不倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移二个单位长度

224

D.缩短到原来的二倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移坐个单位长度

4.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

5.已知函数"（xeR）,若关于x的方程/（尤）-机+1=。恰好有3个不相等的实数根，则实数机的取值范

围为（）

A.(卓,1)B.(0,华)C.(l,j+l)

6.函数/(%)=(尤2—4%+l)e'的大致图象是()

7.以4(3,—1),8(-2,2)为直径的圆的方程是

A.x2-]-y2-x-y-S=0B.x2y2-x-y-9=0

C.炉+产+%+丁―8=oD.x2+y2+x+y-9=0

8.已知向量a力满足⑷=1,助=6且a与b的夹角为会则(。+加心-加=()

33

A.B.C.

2222

如图，圆锥底面半径为垃，体积为迪万，AB，CD是底面圆。的两条互相垂直的直径，£是母线心的中

9.

3

点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距

离等于()

「V10

L•---------

42

10.设复数z满足|z-2j=|z+l],z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.2x-4y-3=0B.2%+4y-3=0C.4x+2y-3=0D.2x-4y+3=0

11.将函数〃x)=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则9的值为()

12.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图(例如：2017年该工

厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%),根据该图，以下结论一定正确的是()

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

|logx-tz|,0<x<4

13.设函数f(x)=<2若存在实数也使得关于”的方程/(%)=加有4个不相等的实根，且这

/(8-x),4<x<8

4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是.

14.函数/(乃=见匚的极大值为.

X

15.集合A={(x,y)M+N=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|),若A8是平面上正八边形的顶点所构成的

集合，则下列说法正确的为

①。的值可以为2；

②a的值可以为0;

③。的值可以为2+J5；

16.函数/(%)=等％—sinx在0,|上的最小值和最大值分别是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知在二二二二中，角二二二的对边分别为二二二,且上+，=吟

□□JUS.

(1)求的值;

(2)若心二一-、不m二=:，求二+二的取值范围.

18.(12分)设S“为等差数列｛凡｝的前几项和，且出=5,S6+S5=2S4+35.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)若满足不等式力.(、5)"+(-1)13<0的正整数〃恰有3个，求正实数彳的取值范围.

19.(12分)已知非零实数a1满足a<b.

(1)求证：a3-b3<2crb-2alr；

(2)是否存在实数X,使得白24('-:卜亘成立？若存在，求出实数4的取值范围；若不存在，请说明理由

a-b-b)

20.(12分)已知｛q｝为各项均为整数的等差数列，S”为｛4｝的前“项和，若的为卜2和%3的等比中项，邑=49.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

22222018

⑵若［=标+蕊+—+...+藐二’求最大的正整数"使得

2019

,八、一L—皿/■/、In%+ax+1

21.(12分)已知函数/(x)=----------.

(1)若对任意x〉0,f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围;

22

(2)若函数/(X)有两个不同的零点XI,X2(X1<X2),证明：工+工>2.

/7T

22.（10分）如图，四棱锥P-A3CD的底面是梯形.5C〃AO,A3=5C=CD=1,AD=2,=,PA=PC=C

2

(I)证明；AC±BP；

(II)求直线AO与平面APC所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于X的不等式，即可解得函数y=/(力的定义域.

【详解】

由题意可得5X+620，解得x<2或x23.

因此，函数y=/(x)的定义域为{无归<2或1»3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

2、B

【解析】

「2c2

求得基本事件的总数为n=x团=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m=C28=2,

A

利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,

「202

基本事件的总数为n=x匈=6,

其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m=&=2,

rn|

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为p=—=1,故选B.

n3

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基

本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查

了运算与求解能力，属于基础题.

3、B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=6sin[2x-g]图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到y=若5沅（4x2x—工）=gs就（x—工），

-233

再将得到的图象向左平移:个单位长度得到y=J云加（x-5+?）=氐加（X-菅），

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合0和9的关系是解决本题的关键.

4、D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为a,b,c,d,e,其中a,仇。产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有制?,*,或7,四,加,儿7,加,8?,°6也,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,,共9种情况，所以所选2部专著中至

m9

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为P=—=不.故选D.

n10

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；⑵树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，用），（4,不）….（4,纥）,

再（4,4）,（4,不）.....⑷,纥）依次（A，4）（A，员）…•（&纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

5、D

【解析】

讨论x>0,x=Q,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

当x>0时，/（x）=4,故广函数在1o,£|上单调递增，在；,+，|上单调递减，且=等;

当尤=0时，/（0）=0;

当x<0时，/（x）=耳，=函数单调递减；

如图所示画出函数图像，则0<m—=等，故加e（l,容+1）.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

6、A

【解析】

用工<0排除3,C；用x=2排除。；可得正确答案.

【详解】

解：当x<0时，X2-4x+l>0>e*>0，

所以/(x)>0,故可排除5,C；

当尤=2时，f(2)=-3e2<0,故可排除D

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题.

7、A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出。力,厂，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(X-。了+”-力2=/，

由题意得圆心。3,6)为A,5的中点，

根据中点坐标公式可得。=3一-2=：1,6=—1¥+2=1

2222

又厂二口二加3+2)2+(-1—2)：二叵，所以圆的标准方程为：

222

1117

(^--)2+(y--)2=y»化简整理得犬+,2_》_/_8=0,

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

8、A

【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【详解】

(〃+Z?)•(2〃—Z?)=2〃—b+tz,Z?=2—3+lx\/3x~~~=~,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

9、D

【解析】

建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离.

【详解】

将抛物线放入坐标系，如图所示，

PO=y[2>OE=1,OC=OD=y/2>

设抛物线y2=2°x,代入C点,

可得同=-2%

二焦点为1一5，。）

即焦点为0E中点，设焦点为产，

EF=-,PE=1，：.PF=—.

22

故选:D

【点睛】

本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论

证能力，应用意识.

10、B

【解析】

设2=%+河，根据复数的几何意义得到x、y的关系式，即可得解；

【详解】

解：设2=尤+”

V|z—2z|=|z+11,x2+(y—2)2=(x+1)"+y2,解得2x+4y—3=0.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.

11、D

【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

将将函数〃x）=sin2x的图象向左平移。个单位长度，

可得函数g（x）=sin[2（尤+。）]=sin（2尤+20）

又由函数g（x）为偶函数，所以2夕=^+而/eZ,解得夕=?+与/eZ,

JTTT

因为0K°＜一,当k=0时，（p=一,故选D.

24

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用

三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（-8,1）

【解析】

先确定关于X的方程/（》）=机当4为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想

来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.

【详解】

tz-log2x,0<^<4

由题意，当〃22时,log2x-a<0,此时y（x）=<，此时函数/（九）在（0,4）单调递减,

a-log2（8-x）,4<x<8

在（4,8）单调递增，方程/（%）=〃?最多2个不相等的实根，舍

当a<2时，函数/（龙）图象如下所示:

从左到右方程〃x）=m,有4个不相等的实根，依次为占，x2,x3,%，gp%1<X2<X3<X4,

由图可知〃—log2%i=log2%2—a，故%“2=4",且%3=8-X2，%4=8-％1，

_（4?"'（4"、

从而x；+尤；+%；+%：=2H——-16%+——+128,

Ixi）、%17

4a

令/=MH----，显然1>4",

再

x；+x；+x；+x：=2/—161+128-4"匕要使该式在。>4〃时有最小值，则对称轴/=4>4"，解得a<L

综上所述，实数”的取值范围是（-8,1）.

【点睛】

本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.

1

14、-r

e

【解析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数/（X）的极大值.

【详解】

.”、Inx—1小、

函数/(%)=------，XG(0,+O0),

X

f1-Qnx-1)_2-Inx

-J(%)=2=2，

XX

令/(%)=。得,%=/,

当尤£(0,/)时，尸⑴>0,函数/(%)单调递增；当%£(/,+oo)时，-⑴<0,函数/(%)单调递减，

.・・当x=e2时，函数/'(x)取到极大值，极大值为/(e2)=也二=[.

ee

故答案为：—.

e"

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域

优先法则的应用.

15、②③

【解析】

根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC：y=(V2-l)x,得到A(1,0-1),C(V2+1,1),得到答案.

【详解】

如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，

集合3：xy+l=x+y,故=即x=l或y=l,

集合A：x+y=a,A8是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

故AC所在的直线的倾斜角为22.5。，左从。=tan22.5。=拒—1,故AC：y=(0—1,，

解得A0,0一1),此时也，C(V2+1,1),此时。=行+2.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.

1G叵兀e应力[

1b、-----------------1

824

【解析】

求导，研究函数单调性，分析，即得解

【详解】

由题意得，/（X）=-cosX,

令八，）>。，解得?<K,f，

77

令"x）（°'解得。

7C]\7171

，/（九）在。,二上递减，在7彳递增.

L4；142J

.•J（X）1ran=U等等

而/(O)"/

故/（X）在区间［o,上的最小值和最大值分别是叵一变叵—1.

L2J824

故答案为：叵—立叵一1

824

【点睛】

本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）二二三（2）二一二E'-r.\,7'

2

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求二的值，所以可以考虑到根据余弦定理将二…•，二

分别用边表示，再根据正弦定理可以将会转化为三，于是可以求出二的值；（2）首先根据工二-、,圣。:二=:求出角二的

xnx.一

值，根据第（1）问得到的二值，可以运用正弦定理求出二二二二外接圆半径二，于是可以将二一二转化为二二汇1+J：-nZi,

又因为角二的值已经得到，所以将二二二一二二,：□二转化为关于二的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外

本问也可以在求出角二的值后，应用余弦定理及重要不等式二+二之二二二求出二+二的最大值，当然，此时还要注

意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由「，」=」；一,

应用余弦定理，可得

化简得二二-匚则二=—

(2)Tcos二+VlsinZ=2

?□€(«,□)-+7=3所以n=；

则，一=二•।

=si二二一sin：子—二；

=Ls:n"*—ccs.Zl

=\7sm_ZI*7,.

又…二•二9二々匚+二空匚

9i

法二

因为二二工由余弦定理二=二-一二；-二匚必二

2

得；，二一二一匚二

又因为二二<孑，,当且仅当二时“=”成立.

所以二二二一二：一，二二2(二+二)；・3(三三；=三士

一一一二二又由三边关系定理可知-二二W

综上二一二m—.\7'

，，

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

18、(1)。“=2〃+1；(2)[4,5).

【解析】

(1)设等差数列｛g｝的公差为d,根据题意得出关于%和d的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通

项公式可得出数列｛。,｝的通项公式;

(-1)"-n(n+2)

可得出2<

(2)求出Sn,可知当〃为奇数时不等式不成立，只考虑〃为偶数的情况，利用数列单

调性的定义判断数列｛2｝中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数彳的取值范围.

【详解】

(1)设等差数列｛q｝的公差为d,

%=q+d=5

Oj+d=5

则6x5,_5x44x33+35,整理得

H———d+H———d—+-----3a+13d=35

2l

解得q=3,d=2,因此，4=q+(H—l)d=3+2(〃—1)=2〃+l

(2)S〃="1+4)=畸+2〃+1)一2+2人

〃22

满足不等式2.(V2)n+(-l)，!-1S”<0的正整数“恰有3个，得彳<

(一1)〃〃(〃+2)

由于；1>0,若"为奇数,则不等式彳<不可能成立.

(-1Y-n-(n+2)

只考虑〃为偶数的情况，令*=—心口-----，

(⑹

则砥二「二产，阳+2=筌『・

«+1)(左+2)2k(k+l)("1)(2必)

-。2k+202k—2"12，T—2*T

当左=1时，b4-b2>0,则&<%；

当上=2时，％—d=。，则仇=仇；

当上23时，b2k+2-b2k<0,则4>4>%；>，.

所以，&<仇=%>4>bl0>

,

又么=4,b4-b6-6,4=5,Z?10=—,..4<2<5.

因此，实数2的取值范围是［4,5).

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

19、(1)见解析(2)存在，2e[-l,3]

【解析】

(1)利用作差法即可证出.

(2)将不等式通分化简可得£!吗互2人，讨论">0或而>0,分离参数，利用基本不等式即可求解.

abab

【详解】

(l)tz3-b3-(2a1b-lab1)+ab+b?)-2ab(a-b)

=(a-_ab+/)=_b)

a<b,:.a-b<0

又TI+|z?2>0

/.a3-Z?3<2a2b-2ab2

即"一+"+矿>

a2b2~ab''

①当龙〉。时，(*)即於二产4+/1恒成立

balba与

•/-+->2-.-=2

abNab

(当且仅当〃=/?时取等号)，故；l«3

②当时而。,(*)会*\:+H恒成立

ba

—

ab

(当且仅当a=-b时取等号)，故；IN—1

综上，Ae[-1,3]

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

20、(1)(2)1008

【解析】

(1)用基本量求出首项4和公差d,可得通项公式；

201Q

(2)用裂项相消法求得和T〃，然后解不等式】〈可而可得.

【详解】

1f21

al=—a?-a.,(a]+2d}=—(CL+12t/)

解：⑴由题得r32叼3,即「i)3vii)

$7=49[7q+21d=49

r1fa=0

CL=II

解得二c或,7

d=2d=—

1〔3

因为数列{a,J为各项均为整数，所以J[。，即

a=乙

b=2=______211

（2）令"anan+l（2n-l）（2n+l）2n-l2n+l

2n2018

-----<-----

335572n-l2n+l2n+l2n+l2019

i2018

即1------<——，解得“<1009

2n+l2019

所以〃的最大值为1008

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，考查裂项相消法求数列的和.在等差数列和等比数列中基本量法是解

题的基本方法.

21、(1)a<-l；(2)证明见解析.

【解析】

(1)求出/■'(%),判断函数/(%)的单调性，求出函数/(光)的最大值，即求。的范围；

(2)由⑴可知，石e(L+(»).对/分%2«1，2)和％e[2,+co)两种情况讨论，构造函数，利用放缩法

和基本不等式证明结论.

【详解】

/、工“、lnx+ox+1Inx1如\Inx

(1)由"％)二-----------=一+-+a,得/(九)二——r.

XXXX

令/(x)=0,/.l=1.

当Ov尤vl时，/(x)>0；当x>l时，/(x)<0；

・•・以力在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

对任意%>0,/(x)<0恒成立，，a+1<0,。a<-1.

(2)证明：由(1)可知，“X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

：.\e(0,l),x2e(1,+co).

若乙«1,2),则2—9€(0,1),

令g（x）=/（x）-42—%）=皿1ln（2-x）1

-------,--0-<-x-<l

Xx2-x2-x

In[一（x—I）?+1]

ln（2-x）Inxln（2-x）

-------->--------------->0

（2-x）2%2x2

二g（x）在（0,1）上单调递增，g（x）<g⑴=0,.•./（x）</（2—x）,

.,•/（2—石）>/（』）=〃％）.

%e(O,l),/.2-^>1,又马〉1,/(%)在。，+⑹上单调递减,

:.2-xi<x2,.\x1+x2>2.

若々G[2,+8）,则X]+%2>2显然成立.

综上，再+X?>2.

2I22I2

X—+x2>2—x%2=2%,土一+%>2^-xxl=2X2

xX

x2丫9i\l

以上两式左右两端分别相加，得