上海市市北中学2021-2022学年高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知。/3=1,贝!J"m"Ln"是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

2.已知双曲线C：二—与=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳，耳，过耳的直线/与双曲线C的左支交于4、

ab

5两点.若|知|=|9|,4隹=120,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±—xB.y=±-%C.y=±（6—0）XD.丁=±（百一

32

3.存在点/（%，%）在椭圆斗+2=1（。〉6〉0）上，且点V在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线

ab

岑+誓=1垂直的直线经过点I。,-则椭圆离心率的取值范围是（）

ab\

4.己知函数/'（＞）=।’八若函数/（尤）的图象上关于原点对称的点有2对，则实数左的取值范围是（）

—In（—xI,x＜U,

A.（—8,0）B.（0,1）C.（0,+a）D.

22

5.已知双曲线'-谷=l（a〉0,b〉0）,过原点作一条倾斜角为一直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点，以线

a-b~3

段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为（）

A.6+1B.73+1C.2D.75

6.在一个数列中，如果V“eN*，都有。/“+必,+2=左（k为常数）,那么这个数列叫做等积数列，攵叫做这个数列的

公积.已知数列｛4｝是等积数列，且q=l,%=2,公积为8,则q+g+…+%）20=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

7.已知实数a=31n3,b=3+31n3,c=（ln3）3,则a,仇c的大小关系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

8.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）

D.2.8

10.将函数3尤-也cos3x+l的图象向左平移£个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论:

6

57r

①它的图象关于直线对称；

9

②它的最小正周期为,；

3

1

③它的图象关于点（三ITT，1）对称；

18

④它在5号4，于194］上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

sinx

已知函数小）=E的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重

合的变换方式有()

①绕着X轴上一点旋转180。；

②沿x轴正方向平移；

③以x轴为轴作轴对称；

④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

12,二项式[2―展开式中，，项的系数为(

)

^2X)x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知不等式卜+2+国<a的解集不是空集,则实数。的取值范围是_；若不等式

卜2+X—1|+|X2+X+1|>对任意实数。恒成立，则实数X的取值范围是

14.已知点4(0,-1)是抛物线2外的准线上一点，尸为抛物线的焦点，尸为抛物线上的点，且伊耳=时"],若

双曲线C中心在原点，尸是它的一个焦点，且过产点，当机取最小值时，双曲线C的离心率为.

15.在长方体ABC。—AgGA中，AB=1,AD=2,44=1,E为的中点，则点4到平面4。石的距离是

24

16.直线mx+-2=。(m>0,n>0)过圆C：九？十产一2九一2〉一1=0的圆心，则一+一的最小值是.

mn

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体

验”的满意度统计如下:

满意不满意

男4040

女8040

（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

（2）若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券.若在获得了100元购物券的6

人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率.

附表及公式："

(a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

P『k。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）如图，已知正方形ABC。所在平面与梯形AftMV所在平面垂直，BM//AN,NA=AB=2,BM=4,

CN=26

（1）证明：MV，平面3CN；

（2）求点N到平面COM的距离.

19.（12分）已知函数/（x）=x+a6+lnx（。为常数）

（I）当。=—5时，求/（%）的单调区间;

（II）若/（九）为增函数，求实数。的取值范围.

20.（12分）椭圆C：5+/=1Ca>b>0）的离心率为手，它的四个顶点构成的四边形面积为

（1）求椭圆C的方程;

(2)设2是直线x=〃2上任意一点，过点尸作圆/+,2="的两条切线，切点分别为"，N,求证：直线恒

过一个定点.

lr»Y

21.(12分)已知函数〃x)=­.

(1)求函数〃力的极值；

(II)若加>〃>0,且求证：mn>e~'

22.(10分)已知正项数列｛4｝的前〃项和S.=%+2-2/eN*.

(1)若数列｛4｝为等比数列，求数列｛4｝的公比4的值；

(2)设正项数列出｝的前〃项和为T“，若伪=1,且-1.

①求数列也｝的通项公式；

②求证：工去

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

构造长方体A5CD-45iCiOi,令平面a为面ADDiAi,底面A5CD为「，然后再在这两个面中根据题

意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.

【详解】

如图，取长方体A5CD-451GD1,令平面a为面ADDiAi,底面A5CD为0,直线的)=直线/。

若令AZ)i=»z,AB—n,则m_L",但机不垂直于/

若m_L/,由平面ABC。，平面AD2A可知，直线机垂直于平面0,所以用垂直于平面P内的任意

一条直线〃

：.mLn是ml.I的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从和

mLl^mLnl两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析.

【解析】

设|9|=加，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设|AB|=|4周=m,:.\BF,\=^|AB|2+|Af；|2-2|AB|.|AF,|-cosl20=6m,由双曲线的定义可知：g用=加—2a,

因此忸制=2a,再由双曲线的定义可知：忸闾-忸周=2an〃z=手a,在三角形A耳鸟中，由余弦定理可知：

22O22222

\FXF^\=|A^|+|AF；|-2|A^|-|A^|-COS120^C=(5-273)«^a+b=(5-2亚a

n/=(4—2百)/=：=(4一273)n?=6一1,因此双曲线的渐近线方程为：

aa

j=±(V3-l)x.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

3.D

【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.

【详解】

因为过点M椭圆的切线方程为学+符=1,所以切线的斜率为-悬,

b

我

由为"=_1，解得％=£<8，即从<2c2,所以—°2<2c2,

所以£〉走.

a3

故选：D

【点睛】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.

4.B

【解析】

考虑当了＞0时，丘-l=lnx有两个不同的实数解，令/z（x）=lnx-丘+1,则做了）有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数k的取值范围.

【详解】

因为/（%）的图象上关于原点对称的点有2对，

所以x＞0时，立—1=Inx有两个不同的实数解.

令〃（x）=lnx—丘+1,则/?（力在（0,+8）有两个不同的零点.

-7、1-kx

又h（%）=----,

x

当左＜0时，”（无）＞0,故在（0,+8）上为增函数，

/?（%）在（0,+a）上至多一个零点，舍.

当左＞0时,

若小,则〃(%)>0,〃⑺在(0,)

上为增函数;

若.*g,+℃）上为减函数;

,则〃（九）＜0,力⑺在

故Mx)max==ln/

因为M光）有两个不同的零点，所以ln1＞0,解得0〈上＜1.

又当0＜左＜1时，工〈,且/?

<0,故〃⑺在上存在一个零点.

ek

又〃(%■)=In我-：+1-2+2\nt-et,其中/=/〉1.

令g(/)=2+21nf—ef,则=

当f>l时，g'(，)<0,故且⑺为仙+⑹减函数，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因为我/I,所以3）在1

,+oo上也存在一个零点.

综上，当0＜左＜1时，妆了）有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

5.B

【解析】

求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得尸,。两点坐标的关系，根据网2,口列方程，化简后

求得离心率.

【详解】

设尸（七,％）,。（%2，%），依题意直线PQ的方程为丁=氐，代入双曲线方程并化简得

x?=:b,,J=3/=:),故X]+招=0,%=2"，2'>/%=3%,%=23a2，设焦点坐标为

b2-3crb2-3a21212b2-3a2飞2b1-3a1

F（c,0）,由于以PQ为直径的圆经过点尸，^FPFQ=G,即（％—c，x）—（％—G%）=。，即4芯々+°2=0,即

6//—3/=o,两边除以/得偿1—6仅]-3=0,解得=3+2君.故

)\aJ\a)

="+26=6+1，故选氏

【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

6.B

【解析】

计算出血的值，推导出4+3=a"(〃eN*),再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

由题意可知44+14+2=8,则对任意的veN*，4彳°，则%a2a3=8,a3=------=4,

由a“a“+M,+2=8，得an+ian+2an+3=8,-%""+1。"+2=%+14+2。"+3>''4+3=口”，

2020=3x673+1,因此，q+dH----=673(4+d+/)+%=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

7.B

【解析】

4

根据1<ln3<§,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.

【详解】

4

解：1<In3<一,

3

,4(4T64

?°<匕=万(九

.\Z?=3+31n3>6,3<a<3<6'J

­•c<a<b.

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.D

【解析】

利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选：D

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题.

9.C

【解析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.

【详解】

初始值〃=0,S=1

第一次循环：〃=1,s=lx』=《；

22

第二次循环：n=2,=L

233

131

第三次循环：〃=3,S=-x-=-

344;

141

第四次循环：n=4,S=-x-=-

455;

第五次循环：〃=5,=1；

566

第六次循环：n=6,S=|x-=-;

677

171

第七次循环：n=7,S=-x-=-

788;

1Q1

第九次循环：〃=8,S=-x-=-

899;

191

第十次循环：n=9,S=-x—=—<0,1；

所以输出S=9xg=0.9.

故选：C

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.

10.B

【解析】

根据函数丁=Asin(a)x+9)图象的平移变换公式求出函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相

关性质求解即可.

【详解】

^^lf(x)=sin3x-y/3cos3x+l-2sin(3x-y)+1,由y=Asin((ur+9)图象的平移变换公式知,

函数g(x)=2si"[3(x+m)-g]+l=2si"(3x+?)+l，其最小正周期为丁=白，故②正确；

6363

令3%+/=4兀+彳，得了=[+会优GZ),所以广葛不是对称轴，故①错误；

令3%+/=依，得了斗-看(旧)，取左=2,得》=，，故函数g(W的图象关于点(詈，1)对称，故③正确；

.7in71，02左乃2左2左"兀』,=10乃137一,016万19万

令2kg—<3x+—<2kn+——，k^Z,得--------<x<----+—，取左=2,得----<x<----，取上=3,得----<r<----，

26239399999

故④错误；

故选：B

【点睛】

本题考查丁=Asin(a)x+9)图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和

整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题

型

11.D

【解析】

计算得到了(尤+2㈤=/(x),+故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像

知①③错误，得到答案.

【详解】

、sinx,\sin(x+2左万)sin%\„

/小+o2/⑺=…(…广ET-x)，让z,

当沿X轴正方向平移2左肛左£Z个单位时，重合，故②正确；

COSXcos%

l+2cosx1+2cosx

故—=+函数关于X=£对称，故④正确；

根据图像知：①③不正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

12.D

【解析】

写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.

【详解】

二项式[鼻―展开式的通项为(+i=a]£|[―百(―3)47-2「，令7—2/=—1,得r=4,故:项的系

数为J3)4=等.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.«>2,xe(-00,-2]o[1,-H»)

【解析】

利用绝对值的几何意义，确定出卜+2,H的最小值，然后根据题意即可得到。的取值范围

।..IItz+ll—13tz—11\a+11—|36Z—11

化简不等式口+x-1+d+x+iNJ——y——L,求出I——II——L的最大值，然后求出结果

【详解】

的最小值为2,则要使不等式的解集不是空集，则有。之2

-2+2?a<-

a

-4；-l<a<0

|d!+l|-|3tz-l|]一|a+l|-|3tz-l|_

化简不等式|^2+x-l|+|x2+x+l|>=

一有nI4；0<a<—

3

2c、1

----2；QN—

a3

即x?+%—1|+|%2+%+1N4

2X2+2X；x〈上5或a2士5

而|X?+x—1+%2+X+1=<22

-1-A/5-1+A/5

2；---------<x<----------

22

当2/+2x24时满足题意，解得2或％之1

所以答案为%£(-00,-2]o[l,+oo)

【点睛】

本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝

对值时的分类讨论化简

14.V2+1

【解析】

由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到口坐标和准线方程；过P作准线的垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得

黑=根，可知当直线出与抛物线相切时，机取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得尸点坐标，根据双

\PA\

曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.

【详解】

4(0,1)是抛物线准线上的一点：.p=2

二抛物线方程为d=4y.-.F(0,l),准线方程为y=-l

过尸作准线的垂线，垂足为N,则|尸叫二|夕方|

PFPN

\,PF\,=m,\P^,：.-\\—=m

111PA||PA

设直线PA的倾斜角为e,贝!Jsincr=m

当机取得最小值时，sina最小，此时直线K4与抛物线相切

设直线9的方程为y=Ax-l,代入必=4＞得：x2-4kx+4=Q

.•.△=16工-16=0,解得：k=+\或（一2,1）

二双曲线的实轴长为|PAHPH=2（、历一1），焦距为H耳=2

•••双曲线的离心率e=2（g_］）=3+1

故答案为：V2+1

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当机

取得最小值时，直线E4与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.

15.逅

3

【解析】

利用等体积法求解点到平面的距离

【详解】

由题在长方体中，VA_ADE=^-x^x2xlxl=^,

1323

AD=小,DE=4i,EA=yl^+AE2=73,

所以4。2=。52+4石2,所以。E_LAE,

S

AAiDE=gX挺X6=手

设点A到平面\DE的距离为h

匕“卜冬心解得肚手

故答案为：&

3

【点睛】

此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.

16.3+272；

【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得以〃的关系，再由基本不等式求得题中最小值.

【详解】

圆C：一+/—2%—2丁—1=0的标准方程为(x—l)2+(y—1)2=3,圆心为C(U),

由题意加+〃—2=0,即m+n-2,

.2412、/、_2mn__~~~n=3+2加,当且仅当网=二，即

••—l—=(z—l—)(m+〃)=3-i-----1—>3+2、---x一

mnmnnmNnmnm

m=2(0—1),〃=2(2—0)时等号成立，

故答案为：3+2行.

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑

配出基本不等式中所需的“定值”.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q

17.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)石.

【解析】

（1）由题得K2=曰q5.556>5,024,根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；

（2）获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为A，4；女顾客有4人，记为纥,B2,B3,B4.从中随机抽

取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是

女顾客的概率.

【详解】

解析：⑴由题得K2=20°（40X4。-80x40）2=5。»5.556>5.024

120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

（2）获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为A，4；女顾客有4人，记为B],B2,B3,B4.

从中随机抽取2人，所有基本事件有：（44）,（4,4），（4，与），（。四），（4，用），（&，4），（&,与），（&,四），

（A,B4）,（4，四），（综骂）,（综用），。,骂），（且也），（号用）,共15个.

其中仅有1人是女顾客的基本事件有：（4,4），（4,32）,（4，耳），（4，用），（4,4）,（4，与），（4，与），（4，4），

共8个.

所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率尸=1.

【点睛】

本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属

于中档题.

18.（1）证明见解析（2）正

5

【解析】

（1）因为正方形ABC。所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，平面ABC。平面=所以

平面ABMN,

因为上Wu平面A5MN,5Nu平面A5MN,所以BCLBN,

因为2C=2,CN=26，所以BN=JCN?-BC°=2四，

因为N4=24s=2,所以AB?+.2=删2,所以ABJ_4V,

因为在直角梯形中，BM=4,所以MN=2后，

所以BM+MN=BM,所以BNLMN,因为3cBN=B,所以MV,平面5CN.

（2）如图，取砌1的中点E,则应：=AN,

又BM〃AN,所以四边形A3EN是平行四边形，所以NE〃A5,

又A3〃C。，所以NE〃C。，因为平面COM,COu平面COM,所以NE〃平面COM,

所以点N到平面CDM的距离与点E到平面CDM的距离相等，

设点N到平面CDM的距离为h,由BE=EM可得点B到平面CDM的距离为2h,

由题易得CD_1_平面BCM,所以CD±CM，且CM=^BC2+BM2=J*+4?=2#),

所以％=-x-xCr)xCMx2/i=-x-x2x275x2/7=^^,

BCDM32323

X^_BCD=|X|XJBCXCDXJBM=|X|X2X2X4=1,所以由匕一⑺”=%_BCD可得半=g，

19.(I)单调递增区间为[o,；),(4,^o)；单调递减区间为(II)[—4,+s).

【解析】

(I)对函数/(九)进行求导，利用导数判断函数/(%)的单调性即可;

(II)对函数/(%)进行求导，由题意知,/(力为增函数等价于/(九)20在区间(0,+。)恒成立，利用分离参数法和

基本不等式求最值即可求出实数。的取值范围.

【详解】

(I)由题意知，函数y=/(£)的定义域为(0,+。),

当。=—5时，八x)=2x-56+2=(26-1)(石-2),

lxlx

令八x)=0,得％=：,或%=4,

所以/'(九)，/(九)随x的变化情况如下表:

X4(4,+co)

同)4

/’(%)+0—0+

9।/

递增------ln4递减-6+ln4递增

4

.••/（X）的单调递增区间为（o,：］

,（4,+8）,单调递减区间为

•

（II）由题意得f'（x）=1+号+工=2x+"«+2之o在区间（0,+。）恒成立，

2yJxx2x

即FV+9］在区间（0,+8）恒成立.

当且仅当«=4,即X=1时等号成立.

G+~j="E9=2

7x

所以-“V=4所以。的取值范围是［-4,+8）.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和

逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

20.（1）1-+/=1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）设点P（2,%）,N（%,%），由？PNLON,结合斜率公式化简得出2-2%一为%=0,

2-2工2-%%=0，即河（石,乂），N（尤2，%）满足2-2x-J%=0,由%的任意性，得出直线MN恒过一个定点

(1,0).

【详解】

cT=/+02

2

1ra=2

（1）依题意得--2a-2b=2y/2,解得＜

b2=c2=1

c_42

a2

即椭圆C：y+y2=l；

（2）设点尸（2,%）,N®,%）

其中x；+y；=2,xl+yl=2

由/WOM,WON得岂T.MmT，.»T

石一2百x2-2x2

即入；+V；-2%i-x%=0,x；+y1-2X2-y2y0=0

注意到x；+y：=2,x；+yl=2

于是2-2西一%%=0,2-2x2-y2y0=0

因此N(4%)满足2-2x-双=0

由％的任意性知，x=l,y=0,即直线MN恒过一个定点（1,0）.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

21.（I）极大值为：无极小值；（II）见解析.

e

【解析】

（I）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数/（%）的极值；（II）得到

=/（睢根据函数的单调性问题转化为证明m>—>e,即证则<"2二1〃）,令

nne

G（x）=e2lnx-2x2+£lnx（l<x<e）,根据函数的单调性证明即可.

【详解】

（I）/（x）=—.-./（%）的定义域为（0,+8）且/•'（X）=上上

XX

令/'（x）>0,得0c令/''（小。，得x〉e

.•./（九）在（O,e）上单调递增，在（e,a）上单调递减

二函数/（九）的极大值为/（e）=¥=:,无极小值

n1

(II)</m>n>09m=rf:.n\nm—m]nn

.•.如=皿，即/(〃，)=/(〃)

mn

由（I）知/（九）在（O,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减

且则l<〃ve<加

一/

要证相〃>/,即证机>一>e,即证〃加)<y—,即证/■(〃)</

nn7

日「pin"〃(2—ln〃)

即证——<—一-——L

ne

由于即0vln〃<l,即证/Inav2〃2一〃2]n〃

令G(x)=/lnx-2x2+x2]nx(l<x<e^

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