2024届河南省周口市高三二模数学试题（含答案与解析）

2024年高中毕业年级第二次质量预测卷

数学试题

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题，共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知全集11兀集合A满足％II则()

A.0GAB.UA

C.2GJD.3gA

2.数据6Q7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为()

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.已知数列｛4｝为等比数列，且q=La,=16,设等差数列也,｝前w项和为S〃，若4=%，贝U

S9-()

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。，b,机(m>0)为整数，若

。和b被m除得的余数相同，则称。和b对模阳同余，记为。三b(mod"z).若

2

a=C\0-2+Cl0-2++C制"乙a三b(modlO),则b的值可以是()

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.声音是由物体振动产生声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin。/,但我们平时

听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/（x）=sinx+；sin2x（xeR）,则下列说法正确的是（）

3

A./（%）一个周期为兀B.〃龙）的最大值为3

C."%）的图象关于点g,。］对称D."%）在区间［0,可上有2个零点

6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互

独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为

（）

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

7.在平面直角坐标系xQy中，设A（2,4）,B（-2,-4）,动点P满足=—1,贝UtanZPBO的最大

值为（）

A2。口4^/29「2同nV2

A.-----D.-----C.-----D.-------

2129412

22

8.已知双曲线C：—2=1（。〉。力〉0）的左、右焦点分别为£、B，双曲线c的离心率为e,在第

一象限存在点P,满足e-sin/PKg=1,且5加弓=4片，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.九±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，复数4=工-孝i对应的点为4复数Z2=4-1对应的点为B,下列说法正确的是

12

()

A.闵=闾=1B.4立2玉「

D.网=|z「Z2I

C.向量对应的复数是1

10.如图，在矩形AB4A中，A&=1,A3=4,点C,D,E与点£，2,4分别是线段A5与A4的四等

分点.若把矩形ABBIA卷成以A%为母线的圆柱的侧面，使线段AA与8旦重合，则以下说法正确的是

（）

4g0,且义

ACDEB

A.直线A。与DE1异面B.AE〃平面4。。

C.直线。耳与平面AEQ垂直D.点G到平面的距离为迪

71

11.已知函数/（%）的定义域为R,且/@+丁）/@—丁）=[/（力了—[/（丁）丁，/⑴=l,/（2x+l）为

偶函数，则（）

A./（O）=OB./（%）为偶函数

2024

C./（2+%）=-/（2-%）D.£/（4）=0

k=l

第II卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.抛物线炉=-y的准线方程为y=l,则实数。的值为.

a

13.在ABC中，A,B,C对边分别为。，"c,已知q=J5，6=4,ccosB+a=0,则边c=,

3兀

点。在线段AB上，且/CD4=—,则CD=.

4

1b

14.已知不等式/二+1_2以2人对任意的实数尤恒成立，则1的最大值为-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被

授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜

负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那

个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果

相互独立.

（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；

（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

16.已知函数/(x)=a(%2-inx)+(l-2a2)x(aN0).

(1)若x=l是函数y=/(x)的极值点，求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

17.如图，在多面体D4BCE中，ABC是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=近.

(1)求证：BC1AE；

(2)若二面角A—5C—£为30。，求直线。E与平面AC£>所成角的正弦值.

22

18.已知椭圆氏=+2=1(。〉6〉0)过点(0,1),且焦距为2后.

ab'

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点5(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,C。的中点分别为M,N.

①证明：直线必过定点；

②若弦AB,CD的斜率均存在，求ACVS面积的最大值.

19.已知数列｛4｝为有穷数列，且4eN*,若数列｛%｝满足如下两个性质，则称数列｛%｝为机的上增数

列：①％+&+%+…+4=，"；②对于使得％<%的正整数对化/)有4个.

(1)写出所有4的1增数列；

(2)当〃=5时，若存在相的6增数列，求机的最小值；

(3)若存在100的%增数列，求％的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

「k._=(x|-l<x<5)人人aA=fx|0<x<31r-、

1.已知全集11兀集合A满足叩zII,，则()

A.OeAB.UA

C.2eJD.3eA

【答案】B

【解析】

【分析】根据全集和集合A在全集中的补集易得集合A,逐一判断选项即可.

【详解】由。<尤<5｝,24=｛才0<%<3｝,可得A=｛x|-l<x<。或3<x<5｝

则UA,2^A,3eA,故B项正确，A,C,D项均是错误的.

故选：B.

2.数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9」的第75百分位数为()

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】因为8x75%=6,

27+89

所以这组数据第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即为二——-=8.8.

2

故选：D

3.已知数列｛4｝为等比数列，且％=1,%=16,设等差数列出｝的前w项和为％若4=%，贝I

S9-()

A.—36或36B.-36C.36D.18

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式求得/=4,继而求得々=%的值，利用等差数列前九项和公式进行计

算即可.

【详解】数列｛4｝为等比数列，设公比为分且4=1,佝=16,

则叫■=■=16,则/=4,

A

则b5=a5=a1q=4,

e(b+/?Q)x9

贝I］s9=52，—=9b5=36,

故选：C.

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。，b,mCm>0)为整数，若

。和力被加除得的余数相同，则称。和Z?对模加同余，记为。三b(modm).若

2

a=C'Z0-2+Cl0-2++C条2?°,a三/mod10),则b的值可以是()

A.2018B,2020C.2022D.2024

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得a+l=C；o+C>2+C>22++C^-220,利用二项式定理说明。被10除得的余数

为0,即可判断.

【详解】因为a=C>2+C>22+.+C；；"°,

所以a+l=C；o+C>2+C>22++C^-220

2O2O1O1O1O9

=(1+2)=3=9=(1O-1)=CIOX1O-C；OX1O+...-CIOX1O+1,

所以a=C；oxK)i°—C；oxl()9+...—C：OX1O=1O(C；O><1O9—C；OX1()8+...—C：O),

即a被10除得的余数为0,结合选项可知只有2020被10除得的余数为0.

故选：B

5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin狈，但我们平时

听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/(x)=sinx+%sin2x(xeR),则下列说法正确的是()

3

A.“X)的一个周期为兀B.“X)的最大值为,

C.4%)的图象关于点C，。］对称D.4%)在区间［0,可上有2个零点

【答案】D

【解析】

【分析】对于A,考查函数y=$[11%与y=gsin2x的周期即可；对于B,考查函数y=sinx与y=；sin2x

的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C,利用中心对称的条件进行验证即可；对于D,令

/（x）=0,解方程即可.

11

【详解】对于A,因为y=sinx的周期为2兀，y的周期为兀，所以/（x）=sinx+^sinZx的周

期为2兀，故A错误;

对于B,因为函数丁=$111工的最大值为1,y=；sin2x的最大值为

故两个函数同时取最大值时，/（尤）的最大值为5,

7171

此时需满足尤=—+IkTi.k£Z且2x=—+2kn,keZ,不能同时成立，

22

3

故最大值不能同时取到，故/（%）的最大值不为则B错误；

对于C,7（兀-x）=sin（兀-x）+gsin[2（兀-%）]=sinx-^sin2x,则

/（x）+/（7r-x）=2sinx^0,

故”力的图象不关于点3,0对称，C错误;

对于D,因为/(x)=sinx+gsin2x=sinx(l+cosx)=0时，sinx=O,又工^［。，兀］,

所以X=0或者x=兀；或者l+cosx=0,止匕时cosx=—l,又％£［0,兀］,

所以％=兀，综上可知，〃尤）在区间[0,可上有2个零点，故D正确，

故选：D.

6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互

独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为

（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据独立事件乘法公式和条件概率公式可得.

【详解】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,5C,

记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件。，

记乙达到优秀等级为事件E.

由题知，P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（C）=0.7,

所以P（O）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.3+0.5x0.6x0.3+0.5x0.4x0.7=0.29,

P（E）=P（ABC）=0.5x0.6x03=0.09.

所以P（E|D）=蟹=2.

''0.2929

故选：C

7.在平面直角坐标系xQy中，设A（2,4）,动点尸满足po.QA=—i,贝UtanZPfiO的最大

值为（）

A2。口4729「2万口也

A.-------D.-------C.------D.

2129412

【答案】C

【解析】

【分析】设出点P（x,y）,利用数量积的坐标表示得到点P的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.

【详解】设尸（羽y）,则PO=（f,-y）,PA={2-xA-y），

则PO.PA=_x（2_x）_y（4_y）=_l,即V_2x+y2_4y+l=0,

化为（x—l）2+（y—2尸=4,则点P的轨迹为以。（1,2）为圆心，半径为2的圆，

-44

又％=——=2=粒=k所以氏°，。三点共线，

-22

yt

显然当直线PB与此圆相切时，tanN尸60的值最大.

又3£)=后+62=3&PD=2,

则PB=y/Blf-PD2=V45-4=屈，

PD22A/41

则

tanZ.PBO----=/——=—7=^.

PB屈屈

故选：C.

_2_匕2

8.已知双曲线C：=1（。〉0/>0）的左、右焦点分别为6、F2,双曲线。的离心率为e,在第

/b2

一象限存在点P,满足e-sin/PKK=1,且5可%=4片，则双曲线C的渐近线方程为（

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.九±3y=0

【答案】A

【解析】

【分析】由题意设|坨|=/,则卢闾=/—2a,而sin/P|耳闾=2c,由三角形面积公式可

得|P周=4a,从而质|=2a,在△母;居中，运用余弦定理可得一=2,由此即可得解.

a

【详解】

设冏I"^\PF2\=t-2a,而e-sinNP7谯=1,所以sin/尸耳耳=>="

ec

所以点P到耳层的距离为|尸团sinNPGg=%’,

又|耳闾=2c,所以S公尸屿=g，2c，/4=4/,

解得％=4a,即|P耳|=4a,从而|尸阊=2a,

又因为sin/P耳乙=』=色，

所以cosNP看与=11—[上J=匕，

在APFE中，由余弦定理有cosZPFF=-=（甸+（2。）-伽）,

1-c2-4a-2c

b24b

所以4ab=4a2+c2—a2=b2+4a2,即-.....F4=0,

aa

b

解得—=2,双曲线C的渐近线方程为2九±y=0.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，复数4=工-且i对应的点为A,复数Z2=4-1对应的点为3,下列说法正确的是

22

A.团=闾=1B.z「Z2=k|

C.向量AB对应的复数是1网=%]-Z2I

【答案】AD

【解析】

【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可.

【详解】因为z,=1—3i，所以z,=—工一走i，

1_

所以A

团=闫=-+-=1,A正确;

44

、2

fl73.16.、2

zrz2~------1------1=-1,B错误;

(22221

7b7

由上可得AB=(-1,0),对应复数为-I,C错误;

|zi-z^=------：_与1=L,q=1,D正确.

故选：AD

10.如图，在矩形ABBiA中，A&=1,45=4,点C,D,E与点£,2,耳分别是线段A3与4月的四等

分点.若把矩形A3与4卷成以A4为母线的圆柱的侧面，使线段A4与8瓦重合，则以下说法正确的是

()

460,匕4

ACDEB

A.直线AG与。4异面B.AE〃平面4。。

C.直线DE]与平面AED1垂直D.点G到平面DD[EI的距离为亚

n

【答案】ABD

【解析】

【分析】由AG是平面ADC内不过。的直线，可判断A；通过判断AE〃C。可判断B；由长方形

。。印石的邻边DEwDD],可判断C；根据圆。的周长求半径，然后可得G。，即可判断D.

【详解】A选项：由图可知，D&c平面A£>G=。，AG是平面ADC】内不过。的直线，

所以，直线AG与。片异面，A正确;

£.

4(8)1ID,

B选项：由题知，AD,CE是底面圆的直径，且AD_LCE,

所以四边形ACDE为正方形，所以AE〃CD,

又CDu平面4。。，AE<Z平面4。。，

所以AE〃平面A。。，B正确；

£,

C选项：由题知，劣弧£)£1的长为1,。2=1,

所以。Ew,所以长方形DD[E[E的对角线DEVDXE不垂直,

所以直线。片与平面AEQ不垂直，c错误；

D选项：同上可得AG2&为正方向，所以G2,2月,

由圆柱性质可知，DD1±C]D],

又DDXcDE=D[,DD1,D£u平面DD.E^D,,

所以G2，平面

所以G2即为点G到平面DDE的距离，

记圆。|的半径为小贝|」2兀r=4,得厂=2,

71

所以=J/+/此=述,D正确.

Y兀71

故选：ABD

11.已知函数/（X）的定义域为R,且/（x+y）〃x—y）="（x）了一〃l）=l,/（2x+l）为

偶函数，则（）

A./（0）=0B.〃尤）为偶函数

2024

c.f（2+x）=-f（2-x）D,£于⑹=0

k=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】令尤=y=o,可判断A；令x=o,可判断B；由函数图象的变换可得/（尤）的图象关于％=1对

称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得/（2）,/（3）,/（4）,然后可判断D.

【详解】令x=y=0,得[〃0）了=[〃0）了—[〃0）了=0,即"0）=0,A正确;

令尤=0,得y）=[/（。）了—[〃,）了，

又/（0）=0,所以/（y）[/（—y）+/（y）]=0对任意yeR恒成立，

因为/⑴=1,所以不恒为0,

所以/（—y）+/（y）=0,即/㈠）=-/（y），B错误；

将/（X）的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，可得

/（2x+l）的图象，

因为〃2x+l）的图象关于％=0对称，所以〃尤）的图象关于1=1对称，

所以〃%）=/（2—x）,

又/（%）为奇函数,

所以/（2—幻=一/（无一2）=—/［2—（尤一2）］=—/（4一尤）=/（%—4）,

所以/（x）=/（x—4），所以4为的周期.

由/（X）=/（x_4）可得〃%+2）=/（%_2）=_/（2_%）,C正确；

因为/⑶=/（T）=—〃1）=T，/（2）=/（2-2）=/（0）=0,〃4）=3（0）=0,

2024

所以Z”左）=506"（1）+〃2）+〃3）+〃4）］=0,D正确.

k=\

故选：ACD

【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.抛物线炉=-y的准线方程为y=l,则实数。的值为.

a

【答案】-L##-0.25

4

【解析】

【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.

【详解】依题可知-工=1,

4a

1

则nl［二—，

4

故答案为：一二.

4

13.在A5c中，4尻。的对边分别为。涉,（?，已知〃=应，b=4,ccos5+a=0,则边c=

点O在线段A5上，且NCD4=—，则8=.

4

【答案】①.M②.逑##£百

55

【解析】

【分析】利用余弦定理角化边，即可构造方程求得C；利用余弦定理可求得cosA,在八位）。中，利用正

弦定理即可求得结果.

^22_72

【详解】由余弦定理得：C+"0,即302+02—〃=。，

2ac

:.c2=b--3a~=16-6=10-解得：c=—而（舍）或。=屈；

B

\

\

A-^—--------------------

...„,,,Z?2+c~—cT16+10—23J10

在」48。中，由余弦定理得：cosA=----------=-----^—=---，

2bc8V1010

.,.sinA=A/1-COS2A=，

10

b.4710=475

在几位>。中，由正弦定理得：-sinNttM.Sin—乏丁一飞一.

~2

故答案为：M；苧.

1/?

14.己知不等式/i+1_2以2b对任意的实数无恒成立，则l的最大值为-

【答案】2-21n2

【解析】

【分析】通过/=x-1+1换元将不等式化成e'—2成+2a—匕一220,对任意的实数尤恒成立，设

a

/(%)=e'—2at+2a—b—2对a的取值分类讨论得至！Ja>Q时

h2

/(Omin=/(ln(2o))=4a-2aln(2o)—/7-2,依题得Z;V4a—2aln(2〃)一2,即一44—21n(2〃)——再

aa

2h

令g(〃)=4—21n(2〃)——,。>0,分析得到^(。幻稣=g⑴=2—21n2,从而即得一<2—21n2.

aa

【详解】令/=X—工+1,贝"=f—l+L不等式可化为：e'—2。«—1+4)2匕对任意的实数X恒成立，

aaa

即e'-2成+2a-〃-220对任意的实数%恒成立.

设/«)=e'—2G+2a—6—2,则/'«)=e'—2a,

当aWO时，r(O>O,/⑴在R上单调递增，-不合题意；

当a>0时，由/'«)=e'—2a=0可得t=ln(2a),

当/<ln(2a)时，-⑺<0,/⑺单调递减，当/>ln(2a)时，尸⑺>0,了⑺单调递增，

则当"ln(2a)时,/⑺而0=/(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-2.

因/(0>0对任意的实数x恒成立，故/⑺而n=/(ln(2a))=4a—2aln(2a)-b-220恒成立，

h2

即b<4a—2aln(2a)-2,则2<4—21n(2a)——.

aa

令g(a)=4—21n(2a)—2,a>o,则g，⑷=_2+之=@三2，

aaaa

当0<a<l时，gr(a)>0,g(a)单调递增，当a>l时，g'(a)<0,g(a)单调递减.

故g(a)max=g(D=2-21112,

bb

即上<2—21n2,故2的最大值为2—21n2.

aa

故答案为：2—21n2.

点睛】关键点点睛：本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题，属于难题.

解题的关键在于通过设f=x-工+1进行换元，将不等式化成e'—2成+2a—6—220,设函数

a

f(t)=et-2at+2a-b-2,分析得到/⑺皿=/(ln(2a))=4,—2aln(2〃)—b—220,然后分离出

h22

-<4—21n(2a)--,将问题转化为求函数g(a)=4—21n(2a)——,a>0的最大值即得.

aaa

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被

授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜

负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那

个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果

相互独立.

(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)-

8

9

(2)分布列见解析，—

8

【解析】

【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式计算即得；

(2)列出随机变量X的所有可能的值，分别求出每个值对应的概率，列出分布列，求出期望值.

【小问1详解】

因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，

则前3局甲都取胜的概率为P=LxLxL=」.

2228

【小问2详解】

X的所有可能取值为0,1,2,3.

其中，X=O表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X=0)=；xg=；；

X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，

则P(X=l)=_xL+L><—=—；

I722222

X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，

则=2)=LLLL；

'72228

X=3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢,

'72228

所以X的分布列为

X0123

11

P

4~288

故X的数学期望为E(x)=0cx—1+,lx—1+2cx—1+c3x—1=—9.

42888

16.已知函数/(%)=a(尤2-lnx^+(l-2a2)x(«>0).

(1)若％=1是函数y=/(x)的极值点，求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

【答案】(1)1(2)单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+8)

【解析】

【分析】(1)由x=l是函数y=/(x)的极值点，/'(1)=0,求解验证即可；

(2)利用导函数求解函数的单调区间即可.

【小问1详解】

函数定义域为(0,+“)，/'('=2奴2+。―2/卜『

因为％=1是函数y=/(x)的极值点，

所以/'(l)=l+a—2a2=0,解得“=—g或a=i,

因为aNO,所以a=L此时/(X)=2X2XT=(2X+1)(X—1),

XX

令r(%)〉o得犬〉i,令r(%)<o得o<x<i,

••./(X)在(0,1)单调递减，在(1,+。)单调递增，所以％=1是函数的极小值点.

所以4=1.

【小问2详解】

于,()20r■+(1一2a之六一。(2ox+l)(x-a)

xx

因为aNO,所以2axNO,令/'(x)>0得x>。；令/'(x)<0得0(尤<a；

函数的单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+").

17.如图，在多面体D48CE中，是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=&

(1)求证：BC±AE；

(2)若二面角A—5C—E为30。，求直线。E与平面AC。所成角正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵昱

7

【解析】

【分析】(1)取8C中点0,连接AO,EO,利用线面垂直的判断定理证明6cl平面AEO,继而可解;

(2)以。为坐标原点，OB,。。所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的

向量表示进行计算即可.

【小问1详解】

取BC中点。，连接AO,EO.

：ABC是等边三角形，。为8C中点，

A01BC,

又EB=EC,；.EO^LBC,

•：AOEO=O,4。,石。匚平面人£0,

/.3cl平面AEO,

又AEu平面AE。，3CLAE.

D

连接。O,则DOL3C,

由AB=AC=6C=2,

DB=DC=EB=EC=4i得AO=5。0=1,

又AD=2,492+002=^02,...Dou。,

又AOBC=O,AO,BCu平面ABC,

OO_L平面ABC.

如图，以。为坐标原点，。4OB,。。所在直线分别为无，y,z轴,

建立空间直角坐标系O-孙z,

则0(0,0,0),A(AO,O),C(O,-I,O),D(O,O,I),

.-.04=(73,1,0),CD=(O,l,l),

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

,n-CA=0,[A/3X+y=0,

则n即

nCD=0,[y+z=O,

取x=l,则〃=(1,.

•//AOE是二面角A-BC-E平面角，

/.NAOE=30。，

又OE=1,E,0,—,DE=,0,—,

〔22j〔22)

noDEn币

则"ME'"而=一7，

直线DE与平面ACD所成角的正弦值为昱.

7

18.已知椭圆E：二+2二.。〉/,〉。）过点（0,1）,且焦距2下.

a"b"

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点5（1,0）作两条互相垂直的弦A8,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.

①证明：直线MN必过定点；

②若弦AB,C。的斜率均存在，求间行面积的最大值.

【答案】（1）土+/=i

4

（2）①证明见解析；②,

25

【解析】

【分析】（1）根据题意有匕=1,c=B即可求解；

（2）①设直线之：％=/孙+1（帆。0）的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点M的坐

标，继而可得N点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；②根据

5“雁=5皿+5祎=9鹿卜|加—端，表示出肱的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可

求得最大值.

【小问1详解】

依题意有Z?=l,c—^3，解得a?=Z?2+，=4，

所以椭圆的方程为三+y2=i.

4-

【小问2详解】

①设L：%=，取+1（加/0），4（%,%）,5（/，%），贝1J/CD：x=--^y+l（mw0）,

x=my+l/x

992—2m

联立｛,故（加+4）y+2阳-3=0,A=16m+48>0%十%

x2+4y2=4、7m2+4

8

%+%2=加（必+丁2）+2=

m2+4

（A?

4-m4mm、

故M由--代替m,

m2+4?m2+4mJ+4/’1+4加?,

当F4TE4m2'即疗=i时’储-丁4过点巾(亍44、

44m2

-?---7W；---：~~T即机2w1时，KMN

m+41+4m

m

y_1—27°），

HZ+44（m2-l）l疗+44

2

4（m-1）44m2+16g,直线MN恒过点K[g,0

令"=赤用+谖M

5（m2+4）

当根=0,经验证直线MN过点K1：,0

综上，直线MN恒过点K^,。

=

②SMNSSMKS+SNKS=5,IKS|JyM-yNI

1

I3IYYlH

J_1m"I_j_忸+叫_I______m—

I'?-1+4疗加2+4-2'4m4+17m2+4-2'.2,4

4mH——f+17