新高考数学二轮复习零点问题全套培优练习题（选填题8种考法）

专题06零点（选填题8种考法）

考法解读

零函数y=f（x）在区间［a,b］上的图象是否连续，是否有

点存在性定理—

f（a）•f（b）＜0.若有,则函数y=f（x）在区间（a,b）内必有零点

区

间若一个函数（或方程）由两个初等函数的和（或差）构成,

数形结合法

则可考虑用图象法求解

零直接法直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围

点

求分离参数法—先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决

参粉的线人注_解析式变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标

奴形㈤口缶系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

零

点

双

参

数第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式,

的

第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参

零

点数）构造函数求出最值，即可求解.

嵌

r①利用换元思想，设出内层函数

套

函_②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点

数个数或范围

零

点③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同

范围下的零点个数.

典例剖析

考法一零点区间f-考法五比较零点的大小

考法二零点区间求参数——考法六零点之和

_零

点

考法三判断零点个数—考法七零点之和的范围

考法四根据零点个数求参数考法八嵌套函数的零点

考法一零点区间

[例1](2023•吉林长春•东北师大附中校考一模)方程logsx+x=2的根所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】设"x)=bg3X+x-2,则方程1叫工+尤=2根所在区间即为零点所在区间，

.y=iog3尤与>=%-2在(0,+e)上均为增函数，\/'(x)在(0,+8)上单调递增；

对于A,/(l)=log3l+l-2=-l,.•.当xe(O,l)时，/(%)<-!,A错误；

对于B,/(1)=-1<0,/(2)=log32+2-2=log32>0,即〃1)〃2)<0,

.•.训«1,2),使得〃通)=0,B正确;

对于CD,当x>2时，/(x)>/(2)>0,\/'(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点，C错误，D错误.

故选：B.

【变式】

1.(2023•海南•模拟预测)函数/Q)=L-lnx+2的零点所在的大致区间为()

X

A.(l,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

【答案】C

【解析】/(x)=：-lnx+2在(0,+s)连续不断，且单调递减，

/(l)=3>0,/(e)=l+l>0,/(e2)=l>0,/(e3)-^-l<0,/(e4)=l-2<0,

所以零点位于(e2,e3),故选：c

2.(2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测)函数"幻=彳一现产+1的零点所在的区间为(

2

A.

C.

【答案】C

【解析】y=x+i在（0,+8）上单调递增，y=-l°g/在（0,+向上单调递增,

，函数/⑺=尤Tog；犬+1在（0,+“）上单调递增,

111113八

J44

0114--

=--logi.+1=鼻-log?3=log216370g2273<0,

35JJ

1,111c

=log.bl=—>0,

2122

，函数/（X）=X-log』X+1的零点所在的区间为

2

故选：C

3.（2。23•广东梅州•统考二模）用二分法求方程1叫》-£。近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】令〃x）=log4X-5，

因为函数y=iog4=-（在（。,+°°）上都是增函数，

所以函数〃x）=log4X-［在（0,+8）上是增函数，

〃1）=-；<°，"2）=。42-；=3-；=:>0,

所以函数〃X）=1。8.-：在区间（1，2）上有唯一零点，

所以用二分法求方程log8x-：=0近似解时，所取的第一个区间可以是（1,2）.

3x

故选：B.

考法二零点区间求参数

【例2-1］（2023•宁夏银川•银川一中校考三模）函数/（尤）=log?x+f+m在区间（2,4）上存在零点,则实数m

的取值范围是（）

A.B.（5,+oo）

C.(5,18)D.(-18,-5)

【答案】D

【解析】由零点存在定理可知，若函数/5）=1。82天+苫2+机在区间（2,4）上存在零点,

显然函数为增函数，只需满足7（2）•/（4）＜0,即（加+5）（加+18）＜0,

解得-18＜相＜-5,所以实数机的取值范围是（-18,-5）.

故选：D

【例2-2】（2023•浙江绍兴•统考二模）已知函数〃"=lnx+加+6,若在区间［2,3］上有零点，则油的

最大值为.

【答案】:

【解析】设/Oo）=0，A:0G［2,3］,则1IU：O+QX；+O=O,

2

止匕时b=-lnx0-ax^,贝!]ab=-alwc0-ax1,

lnx、

当a=一百■n时，g（z"）"-

记3尸等则如）二岁，

所以M无）在［2,e）上递增，在［e,3］上递减,

故以X)max=〃(e)=(，所以g(«)max

所以ab的最大值为■

故答案为：

【变式】

L⑵23•北京•统考模拟预测）已知函数4）/IY2的-5+x＜2）,-2＞2'若方程—实根在区间（3D,P

上，则女的最大值是（）

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【解析】当2时，/(X)=X2-5,当/(x)=l时，解得了=一直；

当x>-2时，/(x)=xlg(x+2),其中/•⑴=lg3<l,/(2)=21g4=lgl6>l,

当/（x）=l时，解得xe（l,2）,综上人的最大值是1.

故选：C.

2.（2023•安徽滁州•校考模拟预测）已知函数〃x）=sinx+2x+机在区间（0,力上有零点，则实数根的取值

范围是________

【答案】（一1一兀,0）

【解析】因为y=sinx与y=2元+机在上都单调递增,

所以〃x）=sinx+2x+机在卜上单调递增，

因为/（x）=sinx+2x+»z在区间（0,。）上有零点，

/（0）＜0sin0+2x0+m<0

所以血＞。m<0

.71-71„角军得一1-兀＜机＜0,

sin—+2x—+m>0l+7i+m>0

22

所以实数机的取值范围为（-I-兀,0）.故答案为：（-1-兀,0）.

3.（2023•吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数/（x）=»i（lnx-2）+（〃+1卜在区间［e?,e［上

存在零点,则m2+n2的最小值为.

【答案】J

1+e6

【解析】设函数的零点为乙则7+加（1皿-2）+加=。，则点（加川在直线了（山一2）+»+/=0上.

因为而了/表示（0,0）与（m,用的距离，所以则/+/的最小值即为原点到直线x（lnf-2）+*+f=0的距

2

离的最小值平方，即耐+/N

(ln/-2)2+r2

min

令y=(ln/2)2+r[ln-2[JQe，eJ,

令==当xe(e2,e3)时,g'(t)>0,g(/)单调递增,

,1e6

当xe（e3,e，时，g'（r）＜O,g（/）单调递减，所以当r=e3时，一1"i+e6

e7+

66

所以苏+〃2W苏+/的最小值为'.

1+e61+e6

6

故答案为：'e

1+e6

考法三判断零点个数

【例3-1】（2023・河南•校联考模拟预测）函数/■。）=|（；）”1|-1吗》的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由f（x）=。，Ml（1r-I|=iog2x,因此函数Ax）的零点即为函数y=iog/与y=l（g）x-i|的图象交点

横坐标，在同一坐标系内作出函数y=iog2x与y=l（g）'-i|的图象，如图，

观察图象知，函数，=iog?x与＞=|（：厂-1］的图象有唯一公共点，

所以函数/（尤）=1（；）'-11-log/的零点个数为1.故选：B

【例3-21（2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）函数"X）=sin（3X-"在［0,7t］内零点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

7TTT/sir

【解析】由％$［0,兀］,得3x—彳£,

由/（九）=0,得3%—m=0或3x-g=兀或3%一三二2兀，

贝I了=^或犬二事或尤二爷

所以在［0,可内零点的个数为3.

故选：C.

【例3-3】（2023・河南•校联考模拟预测）设/（%）是定义在R上的周期为5的奇函数，/（3）=0,则/（%）在［0,10］

内的零点个数最少是（）

A.4B.6C.7D.9

【答案】D

【解析】因为Ax）是定义在R上的周期为5的奇函数，

所以/（。）=/（5）=/（10）=0,又/（3）=0,所以/（3）=八8）,

则3）=/（2）"（7）=0,（|卜一佃,则+

所以（I［佃=。"图=4+5，/图=0,

故零点至少有0,22,3,5,7,8,2,10,则Ax）在［0,10］内的零点个数最少是9.

22

故选：D

【变式】

1.（2023•山东潍坊・统考模拟预测）函数“工卜仔-工加内与在区间已用上的零点个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】求函数〃尤）=（/-x）ln|2x-3|在区间［-2,2］上的零点个数，

转化为方程（无2-x）ln|2x-3|=0在区间［-2,2］上的根的个数.

由（尤2_x）in|2x-3|=0,得/_》=0或ln|2x-3|=0,

解得：x=0或X=1或九=2,

所以函数〃x）=（x2-x）ln|2x-3|在区间［-2,2］上的零点个数为3.

故选：A.

2.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程（x-l）e*=x的解个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】易知尤=。不是方程（》一1）炉=》的解，所以方程（x—l）e*=x等价于-1=。，

构造函数-1,刀€（-8,0）5。，+8）,

所以“X)在(y,0),(0,y)上单调递增，

又〃一1)=1一"°"［一;加1°，

所以方程(1-三|「，-1=。在区间［1,上有且仅有一个解,

/(i)=-i/o,/(2)=^-ik

所以方程(1-—)e*-1=0在区间(1,2)上有且仅有一个解,

所以方程(1——)e'-1=。的解的个数为2，即方程(x-1)e'=x的解个数为2.

故选：C.

3.(2023•江苏扬州•江苏省高邮中学校考模拟预测)已知函数〃x)=sin(0x+$),0>O在上单调递

664_

增，则/(X)在(0,2兀)上的零点可能有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

TT717r

【角星析1由---F2kli<cox+—<—+2kit,keZ,

262

--<x<-,:.--+2ht<--co+-<o）x+-<-co+-<-+2ht,即左只能取0,W--<X<—,

6426664623®3®

2兀兀

------1—,

6解得

因为/(%)在一上单调递增,则300<04,

兀兀3

5

由xw（0,2兀）,则+q£（q,20兀+q］,设才=刃%+看，

E〜「兀C兀\Edc兀（7117兀11771兀871c271c

贝U/£|—,2。兀H,因为2。兀HE—,-----,----------==2兀H-----<3兀,

166}6166」6633

所以函数丫=5可在上的零点最多有2个；

故选：A.

4.(2023•宁夏银川•统考模拟预测)〃x)是定义在R上的奇函数，当时,f(x)=x,

f(l+x)=/(l-x),令g(x)=/■(%)—Igx,则函数g(元)的零点个数为£)

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由〃1+X)=〃1T)可得，〃尤)的图象关于x=l对称，

又由"l+x)=y(l—x)可得/(2+x)=f(r)=-y(x),

所以〃4+x)=—/(2+x)="r),所以〃尤)以4为周期，

g(x)=/(x)-lgx的零点个数即为方程〃x)=lgx的根的个数，

也即“X)的图象与y=lgx图象的交点个数，

因为lg9<l,lgl0=l,

所以数形结合可得“X)的图象与y=lgx图象的交点个数为5个，

故选:B.

5.(2023•江西上饶•统考一模)已知函数〃x)=sin2x+2sinx-l,则尤)在xe[0,2023可上的零点个数是

()

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】B

【解析】因为/(x+27t)=sin2(x+27r)+2sin(x+27i)—l=sin2x+2sinx-l=/(x),

所以函数〃x)=sin2x+2sinx-l是周期为2兀的周期函数，

又/'(%)—2cos2%+2cosx=2(2cosx—l)(cosx+1),

当x£[0,2TT]时，令fr(x)=2(2cosx-l)(cosx+1)=0,

可得或X=g或X=n

当OWxw1时，r（x）>0,当且仅当x=g时，/（x）=O

函数〃x）在xe0,1上单调递增，

因为“。）=-1，（雪=竽T>°，所以函数〃x）在存在一个零点;

当:<x<g时，/（x）W0,当且仅当X=7t时，尸（2=0,

所以函数〃元）在xegg）上单调递减，

因为/'）=孚T>。，〃兀）=一1<。，

所以函数/（无）在存在一个零点；

当g<xW2兀时，制勾>0,所以函数“X）在尤（，2兀上单调递增，

因为=一孚一1<0,〃2兀）=一1<0,

所以函数〃尤）在［g，27r不存在零点；

所以当xe［0,2可时，函数AM有两个零点，且零点位于区间（0㈤内，

所以/（X）在xe［0,2023兀］上共有2x1012=2024个零点.

故选：B.

考法四根据零点个数求参数

【例4-1】（2023•全国•统考高考真题）已知函数〃无）=855-1（。>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则

。的取值范围是.

【答案】［2,3）

【解析】因为0W%W2TT,所以。WgxW2诙，

令/（%）=coss—1=。,贝"coss=l有3个根，

令t=a）x,则cos，=l有3个根，其中，£［0,2师］,

结合余弦函数y=cos,的图像性质可得4兀02师〈6兀，故2WG<3,

故答案为：［2,3).

【例4-2］(2022•天津•统考高考真题)设oeR,对任意实数x,记=min{国-2,/一办+3.-5}.若/'(x)

至少有3个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】a>10

［解析］设g(x)=x2-ar+3a—5,〃(尤)=国一2,由,一2=0可得x=±2.

要使得函数〃x)至少有3个零点，则函数g⑺至少有一个零点，则公=片-124+2020,

解得aW2或a210.

①当a=2时，g(尤)=/-2尤+1,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示：

此时函数/(X)只有两个零点，不合乎题意；

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为4、马(不〈当)，

要使得函数/(X)至少有3个零点，贝。马4-2,

a小

一<-2

所以，2,解得4G0；

g(-2)=4+5fl-5>0

③当a=10时，g(x)=%2-10x+25,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示:

由图可知，函数〃x)的零点个数为3,合乎题意；

④当。>10时，设函数g(x)的两个零点分别为W、尤4(毛<%)，

要使得函数/(X)至少有3个零点，则三22,

a一

—>2

可得彳2,解得々>4,此时a>10.

g⑵=4+a-520

综上所述，实数，的取值范围是［10,y).

故答案为：［io,y).

【变式】

1.(2023•广西梧州•校考一模)若函数〃x)=24加+4X—1在区间(-1,1)内恰有一个零点，则实数。的取值范

围是__•

【答案】R搞］【一2

【解析】当a=0时，/(x)=4x-l=0=>x=1w(-1,1),符合题意，

4

当aw0时，二次函数/(x)=24ax2+4x-1的判别式为：A=16+96a,

11

若AR,”-：,此时函数/(x)=24/+4x—l的零点为x=；,符合题意；

62

当时，只需/(1>/(-1)=(244+3)(24。-5)<0,所以-：<。<三且“中()；

6824

当/⑴=0时，经验证符合题意；当/(-1)=0时，。=三，经验证符合题意；

824

所以实数a的取值范围为［-］同

故答案为：一：，£；1一；1

2.(2023•江苏淮安•江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)已知函数『(x)=ln2x-"有三个零点，则。的取

值范围是______.

【答案】［。，小

【解析】由〃司=0得，a=—,

X

所以若函数〃x)=ln2x-仪有三个零点，则方程。=电七有三个根,

X

设g(无)=史，则,(x)=电％

XX

令g'(%)=。得,I=1或九=©2,

当xe(O,l)时，g[x)<0,g(x)递减，

当xe(l,e2)时，g,(x)>0,g(x)递增，

当尤式e[+oo)时，g,(x)<0,g(x)递减,

作出函数g(元)的大致图像，如图,

3(2023春•湖北)设函数/(x)=e，-2mx在区间［1,3上有零点，则实数m的取值范围是.

「ee3l

【答案】

26

【解析】令/(x)=eJ2%x=0,贝iJ%=G,函数/(x)=e,—2M在区间［；,3］上有零点等价于直线丁=根

2x2

QX「1一

与曲线gU)=1在彳€-,3上有交点，

2xL2.

则gG)=(l产,当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当xe(l,3］时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

2x/

g(xL=g⑴=,g［：］=e5,g(3)=，,显然?>丁,二g(x)e,

乙、乙)OoZO

e匕3］「11

即当加£时，函数/(%)在上有零点；

2OJ_

-3-

ee

故答案为：~.

4.(2023•山西・校联考模拟预测)已知函数〃力="一log.Movavl)有3个零点，则实数〃的取值范围

为.

【答案】I。,5)

【解析】设。=6一'(/>0),贝lj/(x)=e-"

设“x)=l+W^(x>0),则〃(x)=e(lnx+£|,

设夕(无)=in尤+-!-(x>o),则e'(x)=，--L=^l)

Zxxtxtx

当xe］o,J］时，9'(x)<0,当xe］；,+oo］时，°'(x)>0,

所以"(x)在(0,［上单调递减，在上单调递增，

则夕(x)mi„=«'=Tnr+l,

①当0<rWe时，(p(x)>0,则勿(x)20,

所以力⑺在(。,+向上单调递增，

所以〃(x)在(0,+8)上至多一个零点,

所以/'(X)至多有一个零点，不符合题意;

②当c>e时，°(x)1111n=-山/+1<0,

令加«)=e'—(/>e),

则m\t)=ez-1>0,

所以m(0在(e,+8)上单调递增，

所以m(t)>m(e)=ee-e>0,

所以e'>t>e

所以e7<：<L

te

又因为夕(e-')=e:>0,"([二—^—<0,^(1)>0,

所以由零点存在性定理可知，存在册©(。,，，使得6(%)=。；存在Xzeg」)

使得。(w)=。,

所以当xe(o,可)时，°(x)>0,当时，夕(x)<0,当了«孙小)时,e(x)>o,

所以/7(x)在(0,为)上单调递增，在(X]，W)上单调递减，在(％,内)上单调递增.

又因为e"<x<-<—<x<l,

lte2

ft（e9=1-e，e<0,3）>出）=1_^'，M%）（个）=1-3<0，硝）=1>。，

令丁=邛（f>e）,贝uy="^<。，

所以y=皿在（e,+s）上单调递减，

匚匚2In11

所以——<-,

te

所以i一旦U>o,

t

所以〃（xj>〃]「>。，

所以由零点存在性定理知，人（无）在（0,占），（X],X2）,（吃,长0）上各有一个零点，

所以当f>e时，〃尤）在（0,占）,（占,%）,（%,+oo）上各有一个零点，

即：当0<“<尸时，/（力在（0,%）,（jq,x2）,（净田）上各有一个零点.

所以实数0的取值范围为/，：）

故答案为：,，5]

考法五比较零点的大小

【例5-1】（2022•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数〃x）=2'+x,g（x）=log2x+x,

%（x）=2sinx+x的零点分另lj为a,6,c则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由/z（x）=2sin尤+尤=0得x=0,二。=0,

由/（x）=0得2,=一x,由g。）=0得log?x=Ix.

在同一平面直角坐标系中画出y=2*、j=iog2%,y=-x的图象,

由图象知a<0,b>0,:.a<c<b.

故选：D

【例5-2](2023•江西南昌)己知函数/'(尤)=x-&(x>0),g(x)=x+e',〃(x)=x+lnx的零点分别为4,

々，%,则().

A.x；<x2<x3B.x2<xt<x3

C.x2<x3<D.x3<x；<x2

【答案】C

【解析】函数/(尤)=尤-«5>0),g(x)=x+ex,/z(x)=x+lnx(x>o)的零点，即为y=落与y=6(了>0),

J=~ex,y=-lnx(x>0)的交点，

作出y=x与y=«(x>0),>=-螳，y=—lnx(x>0)的图象，

故选：C

【变式】

1.（2022•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）己知实数a,b,c满足&=（g：=lnc,则下列不等式

一定不成立的为（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】由y=«,y=[,y=ln尤的图象如下:

y=V^

X.y=

0/®

由图知：当G=（g）=lnc£（O,〃）时，a<c<b,D可能；

当y[a=（g）=Inc£（〃,㈤时，a<b<c,B可能；

当&=[g）=lnc£（w,+co）时，b<a<c,A可能.

故选：c

2.（2022•江西•校联考模拟预测）已知函数/（冗）=2"+冗-4,g（x）=e”+x-4,力（无）=lnx+x-4的零点分别

是〃，b,c,贝!]4,b,c的大小顺序是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<l

【答案】C

【解析】由已知条件得

/（x）的零点可以看成y=2*与y=4-x的交点的横坐标，g（x）的零点可以看成y=^与〉=4-%的交点的横坐

标，"（%）的零点可以看成y=ln%与y=4-%的交点的横坐标，

在同一坐标系分别画出y=2",y=e、，y=lnx,y=4-％的函数图象,如下图所示,

可知C>Q>b,

故选：C.

fc

3.（2023•陕西西安）己知函数/（x）=2，+x,g（x）=log2x+x,〃（尤）=丁+x的零点分别为。、b、c,则。、

b、c的大小顺序为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为函数>=2晨y=x均为R上的增函数，故函数F（x）=2，+x为R上的增函数，

因为/（-1）=3-1<。，/（0）=1>0,所以，

因为函数>=厩2尤、y=X在（0,+8）上均为增函数，故函数g（X）=log2X+X在（0,+8）上为增函数，

因为g（；）=-l+g<0,g⑴=1>0,所以，

由/7©=°卜2+1）=0可得c=0,因此，a<c<b.

故选：A.

考法六零点之和

【例6-1】（2023青海西宁•统考二模）函数〃尤）=4sin］尤-|尤-1|的所有零点之和为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】令f（x）=。，得4singx=|x-l|,解得x=-3或x=5,即为零点，

令g（%）=4sin］x,/z（x）=|x-l|,

2兀A

g（x）的周期T=N=4,对称轴尤=1+4匕左eZ,且九⑺的对称轴尤=1,

2

做出g（x）=4sin］尤和双力=卜7的图象如图所示：

显然，在(0,1)和(1,2)上各存在一个零点，

57r

g(5)=4sin—=4=/J(5)=|5-1|,〃(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上两函数必存在一个交点，

/(x)在(4,5］上有两个零点,同理/(%)在［-3,-2)上存在两个零点，

所以f(x)在［-3,5］上存在6个零点，

因为g(x)和〃(x)关于尤=1对称，则/⑴零点关于x=l对称，

所以“X)的所有零点之和为6x1=6.

故选：C

【例6-2】(2023•河南•模拟预测)已知定义域为R的函数〃尤)满足〃2+0=-〃-X)，且曲线y=/(x)与

曲线y=-一)有且只有两个交点，则函数g(x)=〃尤)+—1的零点之和是()

x—1x—1

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【解析】由题意定义域为R的函数“X)满足〃2+力=-/(-力，

则“X)的图象关于点(1,0)成中心对称，

函数y=的图象是由>=-工的图象向右平移一个单位得到，

X-1X

故、=-二7的图象关于点(1，。)成中心对称，

x-1

又曲线y=/(x)与曲线>=-一二有且只有两个交点，

则这两个交点关于(1,0)对称，故这两个交点的横坐标之和为2,

而函数g(x)=〃x)+—1的零点即为曲线y=〃x)与曲线y=——二交点的横坐标，

X~LX~1

故函数g(x)=〃x)+—1的零点之和是2,

X—1

故选:A

【变式】

1.(2023•河南・统考三模)已知函数/(X)是定义域为R的偶函数，且满足了(x+3)=/(x),当xe[0,1时,

o315

f(x)=x2,则关于犬的方程/(尤)=弓31\|在[—-]上所有实数解之和为()

4344

2123

A.9B.—C.—D.7

22

【答案】B

333

【解析】函数〃x)是定义域为R的偶函数，当xe[0，t时，f(x)=x2,则当xe[-1章时，f(x)=x2,

又〃x+3)=〃x),则函数y=f(x)的周期是3,显然〃x+3)=〃r),

即直线X=；是“X)图象的一条对称轴，因此直线x=3，%eZ是“X)图象的对称轴，

Q27r__7_1__33927r

函数y=l；cos?x|的最小正周期是2兀一2,直线X=：匕左eZ是y=|：cosqx|图象的对称轴,

43-243

函数＞=/(元)与y=lj9cos2：Kx|在当x34欢eZ时取得相同最大值9

4324

92兀

在同一坐标平面内作出函数y=/(x)与＞=l：cos〒尤|的图象，如图，

43

观察图象知，函数＞=/(x)与y=|9[cos2兀?x|在3上15有7个公共点，对应横坐标依次为

4344

玉，X2，玉，*4，*5，，6，X1，

321

由对称性知，%+%7=%2+%6=无3+%5=2%4=3,于是玉+%2+X3+X4+X5+X6+X7=3x3+—=—,

所以关于尤的方程/(尤)=Ecos§xI在上所有实数解之和为3.

43442

故选：B

2.(2022•江西•江西师大附中校考三模)定义在R上的函数f(x)满足〃-尤)+〃力=0,〃力=〃2-尤)，且

当xe[0,l]时，〃力=炉.则函数y=7〃x)—x+2的所有零点之和为()

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【解析】依题意，〃尤)是奇函数.又由〃x)=〃2-x)知，的图像关于x=l对称.

/(%+4)=/(1+(X+3))=/(1-(X+3))=/(-2-X)=-/(2+X)

=-/(2-(-^))=-/(-x)=/(%),

所以是周期为4的周期函数.

/(2+%)=/(l+(l+%))=/(l-(l+x))=/(-%)=-/(%)=-/(2-x),

所以关于点(2,0)对称.

丫一2

由于V=7〃X)-X+2=0O〃X)=——

从而函数y=7〃x)-x+2的所有零点之和即为函数/(x)与g(x)=]的图像的交点的横坐标之和.

而函数g(x)=子的图像也关于点(2,0)对称.

画出y=〃x)，g(尤)=寸的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7〃x)-x+2所有零

点和为7x2=14.

2H-1,0<X<2

3.(2023・湖北•校联考模拟预测)函数/(幻是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(*)=1

-/(x-2),x>2

则函数80)=才'。)-1在[-6,+00)上的所有零点之和为()

A.-32B.32C.16D.8

【答案】D

【解析】函数/(x)是定义在R上的奇函数,/(-x)=-/(x).

又.,函数g(x)=—g(—x)=(-x)/(一元)一1=V(x)-l=g(尤)

函数g(x)是偶函数，

，函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.

函数g(x)在［-6,6］上所有的零点的和为0,

函数g(x)在［-6,+oo)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+oo)上所有的零点之和.

即方程fix)=工在(6,+8)上的所有实数解之和.

X

21-1,0〈龙41

由0<2时,〃尤)=2H-1,故有/(x)=.2X1-I,l<x<2

1/(^-2),X>2

・•・函数/(X)在(0,2］上的值域为［0』,当且仅当x=2时=

又当x>2时,=；〃尤一2),如图：

・•・函数/("在(2,4］上的值域为［0号；

函数/'(%)在(4,6］上的值域为0,；；

函数〃x)在(6,8］上的值域为「011当且仅当无=8时,"》)=：,

LOJO

即方程7。)=!在(6,8］上的又一个实数解X=8.即g⑺=犷⑺-1有一个零点X=8；

函数“X）在（8,10］上的值域为0,（，当且仅当x=10时，〃尤）=《＜$,

故〃尤）〈工在（8,10］上恒成立,g⑺=犷⑺-1在（8,10］上无零点，

同理g（x）=遮（力—1在（10,12］上无零点，

依此类推涵数g（尤）在（8,—）无零点.

综上函数8（句=犷（%）-1在［-6,+8）上的所有零点之和为8,

故选：D.

4.（2023•全国•模拟预测）已知定义在R上的函数/'（X）满足：/卜-1^为偶函数，且

-8sinx,<x<0

〃尤）=12;函数g（x）=lgx+]则当xe［-4%,3司时，函数y=/（%）-g（x）的所有零点

之和为（）

A.—77rB.一6兀C.D.—3%

~2

【答案】A

【解析】因为《尤-1^为偶函数，所以〃尤）关于》=£对称,

所以当%£（一肛0）时，/（x）=-8sinx,

当九£（0,乃）时，了—1£（—匹0）,/（%）=^•［-8sin（x-=4sinx,

当了£（兀,2兀）时，了—乃£（0,万）,/-［4sin（x-TT）］=-2sinx,

当龙£（2匹3»）时，九一》£（肛2兀）,/（%）=g•［-2sin（x-»）］=sin%,

当了£（—乃,0）时，工+%£（0,万）,/（x）=；1-8sin（x+»）］=4sinx,

函数g（x）=lgx+g为＞=lg|x|的图象向左平移g个单位,

〃x）,g（无）的图象如下图所示,

〃力心（力均关于％=-^对称，〃x）,g（x）有14个交点，

所以函数y=〃x）-g（x）的所有零点之和为：71-1X2）=-7%.故选：A.

考法七零点之和的范围

【例7-1X2023・上海嘉定,校考三模）已知函数〃x）=J[og"-I）xe（2+功’若满足〃"）=〃"）="""、

b、c互不相等），则a+6+c的取值范围是（）

A.（3,2023.5）B,（3,2024）C,[3,2024）D.[3,2025）

【答案】D

因为〃a)=〃/7)=〃c),

由函数的性质得o