八年级数学下册 勾股定理全章复习与巩固（学生版）

勾股定理全章复习与巩固

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课程标准

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

继知识精讲

知识点01勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.(即：)

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:

(1)已知直角三角形的两边，求第三边；

(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;

（3）求作长度为6的线段.

知识点02勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把

其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、bc,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

（2）验证与/+〃是否具有相等关系，若/+62=，，则4ABC是以/C为直角的直角三角形，反

之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程/+/=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、VZ

为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（a、bc）是勾股数，当t为正整数时，以川、bt以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角

形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、bc,S.a<b<c,那么存在/=办+。成立.（例如④中存在7?=24+

25、9z=40+41等）

知识点03勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

Q能力拓展

考法01勾股定理及逆定理的应用

【典例1】如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AD=375,AB=10A/5,BC=8A/5,E是

AB上一点，且AE=4j^,求点E到CD的距离EF.

【即学即练】如图所示，在AABC中，D是BC边上的点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的

长.

考法02勾股定理与其他知识结合应用

【典例2】如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200

米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是

多少？

□

cD

C

'B

A,

【即学即练】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP

最短.求EP+BP的最小值.

【典例3］如图所示，等腰直角AABC中，ZACB=90°,E、F为AB上两点(E左F右)，且NECF=45°,

求证：线段AE,BF,EF之间的数量关系.

【典例4】在AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时，AABC是直角三角形；当

a2+b2/c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断AABC的形状(按角分类).

(1)请你通过画图探究并判断：当AABC三边长分别为6,8,9时，AABC为三角形；当△ABC三

边长分别为6,8,11时，AABC为三角形.

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2>c2时，AABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，

△ABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当a=2,b=4时，最长边c在什么范围内取值时，4ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

考法03本章中的数学思想方法

1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问

题转化为直角三角形问题来解决.

【典例5］如图所示，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上

的点，且DELDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.

【即学即练】已知凸四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,

求证：BD2=AB2+BC2

2.方程的思想方法

【典例6】如图所示，已知aABC中，/C=90°,NA=60°,a+b=3+返,求的值.

【即学即练】直角三角形周长为12c机，斜边长为5c机，求直角三角形的面积.

【即学即练】如图所示，在4ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点

以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒

时，4BPQ的面积为多少？

航分层提分

题组A基础过关练

1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）.

A.1,5,2,2B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

2.在AABC中，NA,NB,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果NA—NB=NC,那么aABC是直角三角形

B.如果a2=b2—c2,那么AABC是直角三角形，且NC=90°

C.如果NA:NB:NC=1：3：2,那么aABC是直角三角形

D.如果a?：b2:c2=9：16：25,那么aABC是直角三角形

3.如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点JB,C都在格点匕若AD是

△/8C的边NC上的高，则8。的长为（）

W

A.13B.13C.7D.13

4.如图，在四边形中，ND=乙4cB=90。,8=12,AD=16,8c=15,贝ij43=（）.

D

A.20B.25C.35D.30

5.已知放△45。中，Z.C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则放△45C的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6.如图，已知A/BC中，//BC=45。，F是高4D和BE的交点，心#,BD=2,则线段。尸的长度

为（）

A.2&B.2C.拒D.1

7.如图，圆柱的底面周长是24,高是5,一只在N点的蚂蚁想吃到3点的食物，沿着侧面需要爬行的最

短路径是（）

A.9B.13C.14D.25

8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为"匀称三角形〃.若RM4BC是

"匀称三角形"，且NC=90°,AC>BC,贝i"C:8C:/3为（）

A.石：1：2B.2:e:5c.2:1:0D.无法确定

9.如图，将矩形4BCD沿对角线AD折叠，使点C落在尸处，2尸交4D于点£若LBDC=62°,则

乙DM的度数为（）

A.31°B.28°C.62°D.56°

10.如图，在RMABC中，AB=AC,NBAC=90。，点D,E为BC上两点.NDAE=45。，F为AABC外一

点，且F5L8C,FAVAE,则下列结论:

S=3AD-EF

①CE=BF；②BD.CE2=DE2；③4；@CE2+BE2=2AE2,其中正确的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

题组B能力提升练

11.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇N8生长在它的中央，高出水面的部分

为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部3恰好碰到岸边的"，则这根

芦苇的长度是尺.

12.如图，等腰中，4B=AC,BC—10,5。_1_4(7于0,日BD=8.贝|5根8。二

13.如图，在四边形/BCD中，AD=2叵,AB=2^,BC=IO,CD=8,ABAD=90°,那么四边形

ABCD的面积是.

14.如图所示，在数轴上点N所表示的数为0,则a的值为

15.如图一只蚂蚁从长为5cm,宽为3cm,高为4cm的长方体纸箱的/点沿纸箱爬到5点，那么它爬行的

最短距离是cm.

B

题组C培优拔尖练

16.已知直角三角形的两条直角边的长分别为26+1和2百-1,求斜边c的长.

17.在四边形中，乙4=NB=9O。,E为边上的点.

图1图2图)

(1)连接CE,DE,CE1DE.

①如图1,若/E=8C,求证：AD=BE.

②如图2,若AE=BE,求证：CE平分乙BCD；

(2)如图3,尸是/BCD的平分线CE上的点，连接瓦"DF,若BC=4,CD=6,2,

求0尸的长.

18.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏

力，如图，有一台风中心沿东西方向42由A行驶向8,已知点C为一海港，且点C与直线43上的两点A

,B的距离分别为/C=30。而，BC=400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250碗以内为受影

响区域.

c

(1)求的度数.

(2)海港C受台风影响吗？为什么？

(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港0刚好受到影响，当台风运动到点尸

时，海港C