充要条件（导学版）人教版数学必修一

人教版高中数学必修1第一章集合与常用逻辑用语充要条件授课：张丹老师[慕联教育同步课程导学篇]课程编号：TS2004010302RB1010402ZD（A）学习目标结合具体实例，理解充要条件的意义11会判断某些问题成立的充要条件2思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？可以发现:命题（1）（4）与它们的逆命题都是真命题，命题（2）是真命题，但它的逆命题都是假命题，命题（3）是假命题，但它的逆命题都是真命题.（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（4）若A∪B是空集，则A与B是空集.（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；“若q，则p”命题为真，逆命题也为真命题为真，逆命题为假命题为假，逆命题为真命题为真，逆命题也为真导入就记作此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果，那么，p与q互为充要条件1．充要条件如果“若p，则q”与它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有如果，，我们说p是q的充分不必要条件如果，，我们说p是q的必要不充分条件如果，，我们说p是q的既不充分又不必要条件知识梳理(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件；解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（也可能是菱形），所以，，所以p不是q的充要条件；解：(3)因为时，不一定成立(也可能

)，即

，所以p不是q的充要条件；(4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题,即，所以p是q的充要条件.例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：，q：；（4）p：是一元二次方程的一个根，

q：；p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？①若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；以上每一条都给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件.⑤若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.④若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；例4:已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可．

（2）必要性（）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r．

由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．OP解：（1）充分性()：如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Ｒｔ△OPQ中，OQ＞OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．Q练习1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．解：（1）由等腰三角形的定义可知，，所以p是q的充要条件；

（3）若A={1,2,3},B={4,5,6},则A∩B为空集，但A与B都不为空集，，所以p不是q的充要条件.所以p是q的充要条件；如图，若∠1=∠2，则∠AOB=∠BOC,且在⊙O中，OA=OB=OC,则△AOB与△BOC全等，则AB=BC，巩固练习（2）由圆的性质可知，（2）必要性（）：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E∵AD∥BE，DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形.∴DE=AC.∵AC=BD，∴BD=DE.∴∠1=∠E.又∵AC∥DE，∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.在△ABC与△DCB中，

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴∠ABC=∠DCB.∴梯形ABCD为等腰梯形.练习2:证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．BCDA分析：设p：梯形ABCD为等腰梯形，q：AC＝BD．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可．证明：（1）充分性（）：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠DCB.在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AC=BD.综上，，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD.巩固练习EBCDA12课堂小