2022年上海长宁区高考全国统考预测卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图在直角坐标系中，过原点。作曲线y=*+l（%»0）的切线，切点为尸，过点尸分别作x、y轴的垂线,

垂足分别为A、B,在矩形Q4F6中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）

D.

2

2.已知集合4=＞|沈,1},5=卜|3工＜1},则A&可=（)

A.{x|x<0}B.{x|怎1k1}C.{x|-L,x<0}D.{x|x.-1}

3.已知函数/（x）=；sinx+苧cosx，将函数的图象向左平移皿加＞0）个单位长度后，所得到的图象关于V轴

对称，则隙的最小值是（）

71

A.-B.—C.-D.—

6432

4.已知戊为锐角，且当sin2a=2sina,则cos2a等于（)

2214

A.-B.—C.—D.——

3939

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

192513

A.—B.4C.D.——

3T2

6.已知命题p:Hr。>2,x；—8〉0,那么M为()

3

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx〉2,8<0

33

C.3x0<2,x0-8<0D.VX<2,%-8<0

<0

7.已知a,beR,函数/(x)=<11,若函数y=/(x)—ta—Z?恰有三个零点，则()

—x3—(a+l)x+ax,%0

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>Q

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

YCCSX7LTC

8•函数k在一w，5上的图象大致为（）

9.已知i为虚数单位，若复数4=2+乙z.z=5,则|z|=

A.1B.V?

C.5D.5s/5

10.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与

单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗

内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为〃个，已知圆环半径为1,则比值尸的近似值为()

7in12〃8n7rn

-----B.-----D.

8N7rN7rN12N

x/(x)

11.已知函数/⑴=e土-依，xe(0,+a)),当九2〉%i时，不等式恒成立，则实数〃的取值范围为

XX

()

A.(-oo,e]B.(-oo,e)C.D.一吟

47T

12.已知函数/(%)=sin(2x—-)的图象向左平移叭①>0)个单位后得到函数g(x)=sin(2x+—)的图象，则(P的最

44

小值为()

兀715兀

A.—C.—D.

42~8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

F,P(2,、Q)为双曲线C上一点，且鼎=3,

13.已知双曲线C：1—当=1(/?>a>0)的左、右焦点为2

/b2

若线段P耳与双曲线C交于另一点A,则APA8的面积为.

14.过动点以作圆：(x—2了+(y—2)2=1的切线MN,其中N为切点，若I政V|=|MO|(。为坐标原点)，贝!J|MN|

的最小值是.

x+y>3

15.已知实数x,V满足约束条件yW3x-l,则z=1的最小值为.

16.已知b为抛物线C：y2=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线4，12,直线与c交于a、B两点,直线右

与C交于D、E两点，贝!）|人^+|。国的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X（元）

产品销量y

898382797467

（件）

已知变量乂丁且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙3=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

18.（12分）已知函数/（x）=|x-3|+|x—1|.

（1）若不等式/（幻〈龙+加有解，求实数旭的取值范围；

（2）函数/'（x）的最小值为〃，若正实数a,b,。满足a+b+c=〃，证明：4-ab+be+ac>Sabc.

19.（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采

用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

,__________,々级过滤器

----------1过滤器二

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要

更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用

过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为

此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤

器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率

代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

(3)记私〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+〃=19,且me{8,9},

以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定机，〃的值.

20.(12分)已知函数/(x)=-ae*-2a2工.

(1)讨论/Xx)的单调性；

(2)若/'(x)»。恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)已知抛物线G：*=2py(p>0)和圆。2：(%+1)2+/=2,倾斜角为45。的直线过抛物线G的焦点，

且与圆相切.

(1)求P的值；

(2)动点M在抛物线G的准线上，动点A在G上，若G在A点处的切线4交y轴于点3,设=+求

证点N在定直线上，并求该定直线的方程.

22.(10分)如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,

APCD是正三角形，PC±AC,E是乱的中点.

E^7\

A

D

B

(1)证明：AC±BE；

(2)求直线BP与平面比)£所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

设所求切线的方程为y=履，联立],=®优＞°),消去y得出关于x的方程，可得出A=O,求出左的值，进而求得

、y=x+1

切点p的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为y=履，则上＞0,

联立,‘="("〉0),消去y得好—履+i=o①，由4=犷—4=0,解得左=2,

[y=x2+i

方程①为Y_2X+1=0,解得X=1,则点P(l,2),

所以，阴影部分区域的面积为5=j(x2+l-2x)t&=f|x3-^2+%¥=1,

o\373

Q1

矩形。4网的面积为S'=1x2=2,因此，所求概率为尸=刀=二.

S6

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

2.D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的补集，然后求4一(a5)

【详解】

4=瓒kl},B={x|x＜0},所以Al(^B)={x|x..-1).

故选：D

【点睛】

此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

3.A

【解析】

n

化简/(x)=sinx+cosx为〃x）=sinx+-,求出它的图象向左平移砥机＞0）个单位长度后的图象的函数表

3

71

达式y=sin|x+〃z+一,利用所得到的图象关于y轴对称列方程即可求得根=\+H（＞ez）,问题得解。

3

【详解】

函数=；sinx+]^cosx可化为：f(x)=sin71

XH--

3

将函数/（X）的图象向左平移风，〃＞0）个单位长度后,

得到函数＞=Sinx+加+g的图象，又所得到的图象关于y轴对称,

所以sin1o+〃2+g)=±l,解得:m+y=y+Gz),即：m=^+k7T(JcGZ),

JI

又根＞0,所以加而11=7

6

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。

4.C

【解析】

由A/3sin2a=2sina可得cosa=—，再利用cos2a=2cos之0一1计算即可.

3

【详解】

因为2gsinacosa=2sin。，sin。。。，所以cosa=Y^，

3

21

所以cos2a=2cos9a-l=——1=——.

33

故选：c.

【点睛】

本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.

5.A

【解析】

19

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当x=3,—>4,退出循环，输出结果.

3

【详解】

程序运行过程如下：

2211

x=3,M-Qix=—,M=—；x=~~,M=—；

3326

.19223

x=3,M=—；x=-,M=——；

636

1101919

x=V，M=—;x=3,M=—>4,退出循环，输出结果为上，

2333

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.

6.B

【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.

【详解】

已知命题。：上0>2,x；-8>0,那么"是VX〉2,X3-8<0.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

7.C

【解析】

当x<0时，、=/0)—依一6=无一公一人=(1一。)无一5最多一个零点；当x..O时，

y=f(-^)-ax—/?=—%3——(tz+1)%2+ax—ax—=—x3——(tz+V)x~—b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-b=O,Wx=----；y=/(x)—以一匕最多一个零点；

1-a

当x..0时，y=f(x)_ax_Z?=_V——(a+l)x_+ctx_ax_Z?=_—_(a+l)x——b,

y'=x2-(a+l)x,

当a+L,O,即&—1时，y..O,y=f(x)-ax-b^[O,+与上递增，y=/(尤)—公—〃最多一个零点.不合题意;

当a+l>0,即a>—1时，令y'>0得xe[a+l,+g)，函数递增，令V<0得尤e[0,a+1),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数y=/(九)-依-。恰有3个零点=函数y=/(尤)-以-。在(-8,0)上有一个零点，在[0,+◎上有2

个零点，

如图：

卜。>0

—<o且h31,

l-a-(a+1)3——(a+l)(a+l)2-Z?<0

、32

__1：

解得6<0,1—a>0,0>b>—(6z+1),a>—1.

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

8.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<：时的符号，即可求解.

【详解】

XCOQX

由/(-X)=—=-/(X)可知函数/(无)为奇函数.

2+2

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

当0<了<£时，cos冗>0,

2

「-小)=卓＞。，排除选项。,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

9.B

【解析】

由Z.…可得z=3所以⑶*=高=寻卮故选B.

10.B

【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P.

【详解】

设会旗中五环所占面积为S,

士工Sn60〃

由于二=一，所以S=——

60NN

_S12n

故可得=——•

57r7iN

故选:B.

【点睛】

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.

11.D

【解析】

由巫巫)

变形可得%了(%)＜々/(W)，可知函数g(x)=4(x)在xe(0,+oo)为增函数，由

g'(x)=蜻-2ax20恒成立，求解参数即可求得取值范围.

【详解】

xe(0,+oo),

％/(%)<X2f(%),即函数g(%)=4(%)=e"——在无£(°，y)时是单调增函数.

贝！Ig'(%)=ex-lax>。，恒成立.

ex

2〃工—・

x

令m(x)=J,贝!Jmz(x)=――

xx

xe(0,1)时,mr(x)<0,m(x)单调递减,xG(1,+oo)时ni(x)>0,m(x)单调递增.

e

■-2a<m(jr)niin=m(V)=e,:.a<-

故选:D.

【点睛】

本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题，考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力

和计算求解的能力，难度较难.

12.A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin|2x+20一,再根据sin12x+2夕一?]=sin[2x+?]求°的最小值.

【详解】

根据题意，Ax)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(X+Q)—£=sin(2x+2(p-^)=sin(2x+,

77"TTTCTT.

所以2夕——=2k7r+-,keZ,所以夕=去r+上水eZ.又。>0,所以9的最小值为

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.还

4

【解析】

由已知得归周=3忸闾即归耳「=9归国2,归闾2=0—蛾+2,可解得0,由网2,后)在双曲线c上,代入即可求得

双曲线方程,然后求得直线尸耳的方程与双曲线方程联立求得点A坐标，借助S,PAF2~SAPF1F2_，即可解得所求.

【详解】

由已知得|尸居|=3归闾，又|尸耳「=(2+域+2,|PE「=(2-c『+2,所以(2+c『+2=9[(2-c『+2,解得

42422

1或H1a=3=2

c=3或c=2,c上，所以/一记，所以9或<(舍去)，因

b2=6b1=2

a2+b2-9a2+b2=4

此双曲线C的方程为：-£=1.又片(一3.0),所以线段尸£的方程为y=#(x+3)，与双曲线C的方程联立消去

x整理得8y2_10&>+4=0,所以％=当，%=血，所以点4坐标为一：，乎，所以

<6XGW.

qc_c

^\PAF°\PFF0\A.FF

2X2{22244

【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，考查求三角形面积，考查学生的计算能力，难度较难.

14.述

8

【解析】

解答：由圆的方程可得圆心。的坐标为(2,2),半径等于1.

由M(a,田，贝!|\MN^=(a-2)2+(b-2)2-l2=a2+b2-4a-4b+7,

眼。|2=/+比

由|“V|=|MO|,得a2+b2-4a-4b+l=a2+b2.

整理得：4a+4万-7=0.

8满足的关系为：4a+4Z>—7=0.

求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值.

在直线4a+4Z>-7=0上取一点到原点距离最小，

由“垂线段最短”得，直线0M垂直直线4a+4万-7=0,

HI7

1

由点到直线的距离公式得：的最小值为：,9=-V2.

A/42+428

1

15.-

2

【解析】

作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解（九,y）与（0,0）点的斜率，观察图形斜率最小在点3处，联立

x+y=3

；，解得点3坐标，即可求得答案.

x=2

【详解】

x+y>3

作出满足约束条件1的可行域，该目标函数2=2=曰视为可行解（x,y）与（0,0）点的斜率，故

八xx-0

［x<2

k（）B—z—k°A

由题可知，联立J；：—1得4（2,5）,联立,：［；=3得8（2,1）

所以坛坛B=］，故!

【点睛】

本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

16.16.

【解析】

由题意可知抛物线C:V=4x的焦点F:（1,0）,准线为X=-1

设直线4的解析式为y=M九-1）

•.•直线/14互相垂直

：.1,的斜率为-7

k

与抛物线的方程联立｛',=—1）,消去y得公炉_（2左2+4）X+左2=0

y=4x'）

设点4（%,%）,5（孙冉），。玉,%）。（为4，%）

242+422+4

由跟与系数的关系得看+々=勺"，同理—

•.•根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离

|AB|=不+1+%,+1,同理|DE^=%+1+乂+1

2"2+42r+4A

.,.|AB|+\DE\=父+马一+4=8+—+4^2>8+2A/474=16,当且仅当k2=1时取等号.

故答案为16

点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离

转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题

的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9

17.（1）乙同学正确；（2）—.

20

【解析】

（1）根据变量羽y且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点（,不），判断出乙正确.

（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【详解】

（1）已知变量羽y具有线性负相关关系，故甲不正确，

7=6.5,3=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

卜-M021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为P==

20

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

18.(1)[-1,+co)(2)见解析

【解析】

(1)分离机得到g(x)=/(九)—x=k-3|+|x—l|—x,求g(x)的最小值即可求得机的取值范围；(2)先求出〃，得到

a+b+c=2,利用乘"1"变化即可证明不等式.

【详解】

-3x+4,x<1

解：⑴设g(x)=/(x)-x=|x-3|+|x-l|-x=<-x+2,l<x<3,

x-4,x>3

g(x)在(-甩3]上单调递减，在(3,+8)上单调递增.

故gCOmin=g(3)=-L

,:g(x)K必有解，/.m>-1.

即加的取值范围为［-1,+8).

(2)/(x)=|^-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,当且仅当lWxW3时等号成立.

〃=2,即a+/?+c=2.

/714^.a4a.b4b.cc

V(ez+Z?+c)—+—+—=1+—+—+1+—+—+4+—+—

\abc)bcacab

/ab4ac4bc、1「

=6+—+—+—+—+—+—>16.

bacacb

当且仅当。=L，b=~,c=l时等号成立.

22

114

•*.—■l--1-->8,即4aZ?+6c+ac28abe成立.

abc

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘“1"变化的灵活应用，属于较易题目.

52

19.(1)0.024；(2)分布列见解析，EX=—;(3)7W=8,"=H

【解析】

(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过

滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条

形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；

(3)由加+〃=19,且加e{8,9},可知若加=8,则〃=11,或若机=9,则”=10,再分别计算两种情况下的所

需总费用的期望值比较大小即可.

【详解】

(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤

器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数

恰好为16”为事件A,

因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以

P(A)=0.6x0.2x0,2=0.024.

(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取

值为8,9,10,11,12,

从而P(X=8)=0.2x0.2=0.04,尸(X=9)=2x0,2x0.4=0.16,

产(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

产(X=12)=04x0.4=0.16.

所以X的分布列为

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4（个）.

或用分数表示也可以为

X89101112

14884

P

2525252525

EX=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（个）.

25252525255

（3）解法一：记y表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）

因为加+”=19,且加e{8,9},

1°若〃2=8,则八=11,

EY}=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2。若m=9,贝1J〃=10,

EK=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因为故选择方案：机=8,"=11.

解法二：记〃，分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）

1°若加=8,则〃=11,

〃，的分布列为

12801680

P0.60.4

48801080

P0.840.16

该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为

E7+=1280x0.6+1680x0.4+880义0.84+1080x0.16=2352（元）；

2°若机=9,则〃=10,

的分布列为

80010001200

P0.520.320.16

Er)2+E^2=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因为助1+EJi<Er)2+E}

所以选择方案："2=8,"=11.

【点睛】

此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.

20.(1)当a=0时，/(元)在(—8,+8)上单调递增；当a〉0时，/(尤)在(―s,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+8)上

「-11

单调递增；当。<0时，/(x)在(―8,ln(—a))上单调递减，在(ln(—a),+8)上单调递增；(2)ae-e\一.

2

【解析】

(1)对a分三种情况。=0,a〈0,a)0讨论求出函数/(x)的单调性；(2)对a分三种情况。=0,。(0,。0,先求出每

一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.

【详解】

(1)f'(x)=e2'-aex-2«2=(e*+a)(ex-2«),

当。=0时，f\x)^e2x>0,7(x)在(—8,+8)上单调递增；

当a>0时，f'(x)<0,x<ln(2tz),f(x)>0,x>ln(2a),

〃x)在(-8,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+s)上单调递增；

当。<0时，f'(%)<0,c_72,f\x)>0,x>ln(-a),

a2

a2=lr+c-

〃x)在(-8/n(-a))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增.

综上：当a=0时，/(x)在(-8,+A)上单调递增;

当a>0时，/(x)在(-oo,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+oo)上单调递增;

当。<0时，在(-8/n(—a))上单调递减，在(ln(—a),+8)上单调递增.

(2)由(1)可知：

当。=0时，/(x)=e2'>0,.•.「=()成立.

当a>0时，/(x)^=/(ln(2a))=1e21n(2fl)-aeln(21i,-2a2ln(2a)=-2a2ln(2a)>0,

ln(2a)<0,/.0<a<—.

2

当a<0时，/(x)^=/(ln(-«))=|e2to(-fl)-aeln(-a)-2a2ln(-a)

o2

=^|--2a21n(—a)20,

333

ln(一即―/工〃<0,

「31一

综上。e—e4,—.

2

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

理能力.

21.(1)p=6；(2)点N在定直线了=3上.

【解析】

(1)设出直线4的方程为>=无+孑，由直线和圆相切的条件：d=r,解得P；

(2)设出“(私-3),运用导数求得切线的斜率，求得4为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线

上；

【详解】

解：⑴依题意设直线4的方程