四川省达州市万源中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题

万源中学高2025届高一（下）第一次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义求值即可.【详解】设，则点到原点的距离为，则.故选：D.2.命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案.【详解】命题，为特称命题，其否定是:，，故选：A3.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，如图所示，过点作，垂足为，可得，可得扇形的面积为，的面积为，所以此弧田面积为.故选：A.4.已知命题，，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式结合命题成立可求出实数的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，当时，的最小值为，若命题，为真命题，则，因为“”“”，但“”“”，所以，是的必要不充分条件，故选：B.5.已知则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，，所以，进而可判断三者的关系.【详解】由于，所以，而，所以，又，所以，因此，故选：D7.化简的值为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先切化弦变形，再结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式化简求值即可.【详解】故选：A.8.在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知为等腰直角三角形，由，可得是中点，设，则,由向量的四则运算可得，由二次函数的性质求出的最小值即可.【详解】解：如图所示：由题意可知为等腰直角三角形，又因为，所以，由，可得是中点，又因为动点M在线段AB上，设，则,所以,所以，又因为，所以当时，.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性逐项分析判断.【详解】对于选项A：为奇函数，最小正周期，故A正确；对于选项B：为偶函数，最小正周期，故B错误；对于选项C：为奇函数，最小正周期，故C错误；对于选项D：为奇函数，最小正周期，故D正确；故选：AD.10.已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A.在区间上是增函数B.的一条对称轴方程为C.一个对称中心为D.方程在区间上有3个实根【答案】BD【解析】【分析】由函数图象的平移得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质，讨论的的单调性、对称轴、对称中心和零点.【详解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则，时，，不是正弦函数的单调递增区间，故A选项错误；由，解得的对称轴方程为，其中，时，B选项正确；由B选项可知，不是的对称中心，C选项错误；时，，其中，，，所以方程在区间上有3个实根，D选项正确.故选：BD11.已知则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项：根据基本不等式变式，即可求解；对于B选项：根据基本不等式得到，即可求解；对于C选项：令，，即可判断；对于D选项：利用“1”的妙用得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】对于A选项：因为，，，则，即，当且仅当时等号成立，所以A选项正确；对于B选项：因为，，则，当且仅当时等号成立，所以B选项正确；对于C选项：当且时，，所以C选项错误；对于D选项：，当且仅当，即时等号成立，所以D选项正确，故选：ABD.12.已知定义在上的函数的图象关于点对称且满足，则（）A.的图象关于直线对称B.是周期为4的函数C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据关于点对称，得到，再由结合函数周期性的定义得到函数的周期为，可判断B选项；再由对称的定义判断A选项，利用赋值法求得，，，即可判断C、D选项.【详解】因为定义在上函数的图象关于点对称，则①，又，得②，将②代入①得：③，得④，由得：，得，所以函数的周期为，故B选项正确；则，即，所以关于直线对称，故A选项正确；①中，令，得，所以，故C选项正确；①中，令，得，则，①中，令，得，所以，则，所以D选项错误，故选：ABC.【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得到函数的周期，再利用赋值法求出以及和的值是解决本题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量，则___________.【答案】【解析】【分析】先进行向量的加减坐标运算，再利用向量模的坐标公式求解即可.【详解】由已知向量，向量，得，则.故答案为：14.已知函数为偶函数，则实数___________.【答案】##【解析】【分析】由偶函数定义得关系式恒成立，求解参数即可.【详解】由题意，.为偶函数，对任意恒成立，即，即恒成立.化简整理得，对任意，恒成立，则，解得.故答案为：.15.将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则=___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数图像变换可得，结合正弦函数的对称性可得，代入运算求解即可.【详解】将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位，可得：，因为，则，且直线为的对称轴，又因为，则，可得，所以.故答案为：.16.已知函数相邻两条对称轴距离为3，且，函数，则方程的所有实根之和为___________.【答案】16【解析】【分析】先根据题意求，分析可知方程的实根为与的交点的横坐标，根据图象结合函数的对称性运算求解.【详解】设的最小正周期为，由题意可知：，可得，且，解得，又因为，且，则，可得，解得，所以，又因为，所以关于点对称，且函数关于点对称，由题意可知：方程的实根为与的交点的横坐标，在同一坐标系内作出两个函数图象，如图所示，由图象可知：函数与有8个交点，结合对称性可知：方程的所有实根之和为.故答案为：16.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，函数的定义域是集合.（1）求;（2）若集合，满足，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求，进而结合交集运算求解；（2）由（1）可得，结合题意即可得结果.【小问1详解】因为，令，解得或，可知，所以.【小问2详解】由（1）可知：，因为，且，则，所以实数的取值范围为.18.已知向量与向量满足，，.（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件去括号合并同类项结合向量的数量积公式得到，再由向量的夹角公式即可求解；（2）根据向量垂直的关系得到，结合（1）中的得到关于方程，即可求解.【小问1详解】因为，即，所以，则，又，则，故与的夹角为.【小问2详解】由（1）知：，因为，所以，即，则，解得：，故实数的值为.19.已知函数的最小值是.（1）求实数的值.（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得出，由函数的最小值可得出实数的值；（2）由可得出，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【小问1详解】解：因为，所以，，则.【小问2详解】解：因为，可得，所以，.20.已知函数且在上的最大值与最小值之差为.（1）求实数a的值；（2），若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数单调性运算求解；（2）根据题意可得：是奇函数且为增函数，利用函数的单调性和奇偶性解不等式.【小问1详解】①当时，上单调递增，则，所以，解得或（舍去）；②当时，上单调递减则，所以，解得或（舍去）；综上所述：或.【小问2详解】因为，由（1）可知：，则，可知：定义域为，因为，则为奇函数，又因为在上单调递增，则在上单调递增，综上所述：在R上是奇函数且为增函数，因为，可得，则，解得或，所以不等式的解集为.21.如图是函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．（1）求函数的解析式及上的单调增区间；（2）若时，函数的最小值为，求实数a的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由点是线段DM的中点，根据图象确定，再将最值点代入解析式求角，最后利用整体角代换的方法求解单调区间即可；（2）先求的值域，再利用整体换元法，题目转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类探究即可.【小问1详解】D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点，，.又，.代入点，，，，，令，得的单调递增区间为又在上的单调递增区间为.【小问2详解】由第（1）问知，若，则，令，，对称轴，①当，即时，，解得（舍）；②当，即时，，解得；③当，即时，，得（舍）.综上，.22.已知函数，（1）若函数与函数的图象关于直线对称，求