2024年高考数学复习：二次根式、分式(教师版)

高考复习材料

专题03二次根式、分式

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一二次根式有意义的条件】...........................................................1

【考向二二次根式的运算】.................................................................2

【考向三分式有意义的条件】...............................................................5

【考向四分式的值为零及求分式的值】.......................................................6

【考向五分式的化简运算】.................................................................8

【考向六分式的化简求值】................................................................11

【考向七分式化简中错解复原问题】........................................................15

严‘

'.普【直击中考】

【考向一二次根式有意义的条件】

例题：（2022•北京•统考中考真题）若GR在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

【答案】x>8

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-820,然后进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

x-8>0,

解得：x>8.

故答案为：x>8.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式夜（a20）是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•江苏徐州•统考中考真题）要使得式子后与有意义，则x的取值范围是（）

A,x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：根据题意，得

x-2>0,

解得xZ2.

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故选：B.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式

是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；⑶当代数式是二次根式时,

被开方数为非负数.

2.（2022•湖南湘西•统考中考真题）要使二次根式而与有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.x<2D.x>2

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案.

【详解】解：•••3X-620,

•0.x>2,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关

键.

3.（2022・广西河池•统考中考真题）若二次根式VT斤有意义，则。的取值范围是.

【答案】a>l

【分析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解.

【详解】解：由题意得，

a—1>0,

解得，a>\,

故答案为：a>\

【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键.

4.（2022・广西贵港•中考真题）若HI在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>-l

【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数.

【详解】解：由题意得：

x+1>0,

解得xN-l,

故答案为：x>-l.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件.

【考向二二次根式的运算】

例题：（2022•甘肃武威•统考中考真题）计算：V2xV3-V24.

【答案】-V6

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【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2&=-&.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・贵州六盘水•统考中考真题）计算：712-273=.

【答案】0

【分析】先把旧化简为2百，再作差，即可.

【详解】解：V12-2V3

=273-273

=0

故答案为：0.

【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键.

2.（2022•山西•中考真题）计算的结果是.

【答案】3

【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案.

【详解】解：原式=J18x；

=V9

=3.

故答案为：3.

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键.

3.（2022•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）计算6+3。的结果是.

【答案】

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：3+3g

—yfi+A/3

=2A/L

故答案为：2VL

【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键.

4.（2022•山东泰安•统考中考真题）计算：布.卡-3。=.

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【答案】2g

【分析】先计算乘法，再合并，即可求解.

【详解】解：网.&一3机

=屈_3乂空

3

=473-273

=2^/3,

故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.

5.（2022•广西河池•统考中考真题）计算：|-2后|-3T-V?x后+（1-5）°.

【答案】I

【分析】根据化简绝对值，负整数指数哥，二次根式的乘法，零次哥进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2夜-g-2夜+1

_2

-3

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数累，二次根式的乘法，零次幕是解题

的关键.

6.（2022辽宁沈阳•统考中考真题）计算：V12-3tan30o+^+|百-2卜

【答案】6

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】解：原式=26-3*走+4+2-6

3

2省-g+4+2-百

=6.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，化简

绝对值是解题的关键.

7.（2022•四川广元•统考中考真题）计算：2s%60。--2|+（%-而）。-旧+（-3）4

【答案】3

【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案.

【详解】解：25/M60°-|V3-2|+(^-Vw)°-Vi2+(-y)2

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=2X^2_-2+V3+1-2V3+4

2

=-\/3-2+^[3+1-2V3+4

=3.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数累、负整数指数累及二次根式的性质与化简，熟练掌握实

数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

【考向三分式有意义的条件】

例题：（2022•山东荷泽・统考中考真题）若占

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得/3>0,求解即可.

【详解】解：由题意，得

[x-3...0

所以x-3>0,

解得：x>3,

故答案为：x>3.

【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0,二

次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•湖北黄石•统考中考真题）函数>=1&+六的自变量x的取值范围是（）

A.%。一3且%。1B.%>-3且xwlC.x>-3D.」之一3且xwl

【答案】B

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

fx+3>0

【详解】解：依题意，[八

[T一1w0

・,•%>-3且xw1

故选8

【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键.

2.（2022•辽宁丹东•统考中考真题）在函数>=正巨中，自变量x的取值范围是（）

X

A.x>3B.x>-3C.应3且xwOD,松-3且冲0

【答案】D

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【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案.

【详解】解：由题意得：x+320且XHO,

解得：x>-3且xxO,

故选：D.

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为。是

解题的关键.

2

3.（2022•江苏南通•统考中考真题）分式一三有意义,则x应满足的条件是__________.

x-2

【答案】中2

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可.

2

【详解】解：分式一^有意义，即x-2/O,

x-2

二xw2,

故答案为：xw2.

【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0.

4.（2022•青海•统考中考真题）若式子]占有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>l

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0,以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求

解.

[x-l>0

【详解】由题意得：斤万力0解得：

故答案为：X>\

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.熟练的掌握分式分母不等于。以及

二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

5.（2022•内蒙古包头•中考真题）若代数式而1+工在实数范围内有意义，则x的取值范围是

【答案】xN-l且xwO

【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可.

【详解】解：由题意得：x+l>0,且冲0,

解得：且xwO,

故答案为：xN-l且xwO.

【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数;

分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键.

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【考向四分式的值为零及求分式的值】

例题：（2022・湖南郴州•统考中考真题）若『=工则/=________.

b3b

【答案】I

【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案.

【详解】解：,.,二一=:

b3

3（〃-6）=26,

3a—3b=2b,

3a=5b,

a_5

,•厂5；

故答案为：g.

【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算.

【变式训练】

2X

1.（2022•广西・统考中考真题）当工=_____时，分式—的值为零.

x+2

【答案】0

【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0,X+2X0求解即可.

【详解】解：由题意，得2x=0,且％+2工0,解得：x=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件〃分子为零，分母不为零〃是解题的关

键.

2.（2022•浙江湖州•统考中考真题）当。=1时，分式但的值是.

a

【答案】2

【分析】直接把a的值代入计算即可.

【详解】解：当。=1时，

Q+11+1

-----=------=2.

a1

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可.

2

3.（2022•山东荷泽•统考中考真题）若/一20-15=0,则代数式"心］一\的值是________

—2

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【答案】15

【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为。2一2即15,整体代入即可.

左力▼左力(4〃—4、a2

【详解】解：a------------

[a)a-2

_(a-2)2a2

aa-2

=a(a-2)

=a2-2a,

,•,(72-2^-15=0,

-'­a2-2a=15,

•,・原式二15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

4.(2022•湖北鄂州•统考中考真题)若实数°、6分别满足02-4〃+3=0,按一4加3=0,且"6,则'的

ab

值为.

4

【答案】j

【分析】先根据题意可以把。、6看做是一元二次方程/一八+3=0的两个实数根，利用根与系数的关系得

到a+6=4,ab=3,再根据,+：=*进行求解即可.

abab

【详解】解：•.2、b分别满足〃-4a+3=0,ti1-46+3=0,

・•・可以把a、b看做是一元二次方程/_以+3=0的两个实数根，

•-a+b=4,ab=3,

11a+b4

.•・一+—=----=一,

abab3

4

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系

是解题的关键.

【考向五分式的化简运算】

例题：(2022•甘肃兰州•统考中考真题)计算：+

Vx)x

【答案】-

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【分析】根据分式的加法法则和除法法则计算即可.

【详解】解：［1+工］十巴”，

XJX

_x+1X

~2，

XX+x

x+1X

xx(x+l)'

X

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键.

【变式训练】

1.(2022•西藏•统考中考真题)计算：三心.....—.

au-4a—2

【答案】1

【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案.

［详解］土土生0-------L

aci—4a—2

a(a+2)a_____2

a3+2)(a-2)a-2

a2

a—2a—2

=1

【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计

算是本题的解题关键.

2.(2022・湖北十堰•统考中考真题)计算：竺*］.

a{a/

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

【详解】解：原式=(一)("叽

a\a)

(a+b)(Q-b)a

a(a-b)2

_a+b

a-b

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

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3.(2022・四川泸州・统考中考真题)化简：(--3加+1+])——!

mm

・・m-1

【答案】--

m+1

【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可.

■、生#刀，々Rm-3m+l[、m-1

【详角军】角星：(z---------+1)+---------

mm

_m2-3m+l+m+

mm

m2—2m+1m

------------------------------------

m(m+l)(m—'I)

_(m-1)2m

m[m+l)(m-'I)

_m-\

m+1

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

4.(2022・湖南常德•统考中考真题)化简：14三

(a+2)Q+2

6Z+1

【答案】

a—1

【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别

因式分解，进而约分得到最简结果即可.

【详解】解：原〜式=(1a--l)(\，a+—2)L+q—+3Q+2

。+2a+2

/—a+2a—2+。+3。+2

〃+2(Q+1)(Q—1)

/+2a+1

(Q+1)(Q—1)

(〃+1)2

。+1

Q—1

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键.

5.(2。22・陕西•统考中考真题)化简：然+》含

【答案】4+1

【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可.

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【详解】解：原式=•巴二

a-12a

2a(a+1)((7-1)

a-\2Q

=a+1.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键.

【考向六分式的化简求值】

(3\r*2-4Y+4

例题：(2022•内蒙古•中考真题)先化简，再求值：5*1J今…,其中x=3.

\x-lJx-1

【答案】亨2+¥，-5

2-x

【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案.

3(x+l)(x-l)x-l

【详解】解:原式=

X—1X—1a—2)2

_3-(£+lX£-l)X—1

x-l(x-2)2

4-x2x-l

x—1(x—2)2

(2+x)(2—x)x—1

x-l(2-x)2

2+x

2—x

当x=3时，原式=一5,

故答案是：-5.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要

约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•辽宁鞍山•统考中考真题)先化简，再求值：-「91一一二］,其中机=2.

m-6m+91m-3J

m+35

【答案】

m-53

【分析】先根据分式的混合运算将式子进行化简，再代值计算即可.

(m+3)(m-3)m-32

【详解】解:原式=2

—(m-3)m—3m-3

(m+3)(m-3)m-5

(m-3)2m-3

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(m+3)(m-3)m-3

(m-3)2m—5

冽+3

m-5'

当机=2时，

m+3_2+3_5

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则.

(2x—1)x—1

2.(2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题)先化简，再求值.卜一一一k——，其中x=cos30。.

VxJx

【答案】x-l；^-1.

2

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，把x的值代入计算即可求出值.

【详解】解：jx-在匚］+3

IXJX

x2-2x+1x

xx-1

xx-1

=x-l.

当％=侬30°=*时，

原式=YLi.

2

【点睛】此题考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.(2022・辽宁锦州•统考中考真题)先化简，再求值：(二r+L土二|，其中x=6-l.

x-2Jx-2

3

【答案】一］,V3

x+1

【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可.

【详解】解：原式:瑞入+高入;二

3x—3x—1

(x+l)(x-2)x—2

3(x-l)^x-2

(x+l)(x-2)x—1

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3

x+1'

3

把x=6-1代入得：原式=7-----------=6.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是

解题的关键.

4.（2022•山东聊城•统考中考真题）先化简，再求值：—竺上一三，其中

a\a）a-2

-i

a=2sin450+

【答案】三，V2+1

Q—2

【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把。，b的值代入化简后的式子进行计算即可

解答.

/一44a-42(a+2)(Q-2)a2

【详解】解:Q----------------X------------5-------------

aaQ—2a(a-2)a-2

a+22a

a—2ci—2ci—2

''a=2sin45°+2x—+2=V2+2,

2

代入得：原式=-f+2=拒+i；

V2+2-2

故答案为：一'；V2+1.

a-2

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

177—2Z7—1

5.（2022・湖南•统考中考真题）先化简（1-力）+亍+口^,再从1,2,3中选一个适当的数代入求

值.

33

【答案】—--

【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定。的值，代入计算即

可.

ci—22a—1

【详解】解：原式-+

u—\U—Z.

21

=---------1---------

a—1Q—1

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3

因为〃=1,2时分式无意义，所以。=3,

3

当。=3时，原式=彳.

【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关

键.

4丫？—Oy_

6.（2022•四川广安•统考中考真题）先化简：（，-+尤+2）+；匚,再从0、1、2、3中选择一个适合

x—2x—4x+4

的数代人求值.

【答案】x；1或者3

【分析】根据分式的混合运算法则即可进行化简，再根据分式有意义的条件确定x可以选定的值，代入化

简后的式子即可求解.

2

【详解】(24+x+2)+x-2x

X—2X2-4X+4

4(x+2)(x—2)r%2—4x+4

=[r-------+------------------L]x----------------

x—2x—2x—2x

_4+工24)-2)2

x-2x(x-2)

x2x-2

=-------x--------

x-2x

根据题意有："0,x-2^0,

故xw0,xw2,

即在0、1、2、3中，

当时，原式=x=l；

当x=3时，原式=x=3.

【点睛】本题主要考查了运用分式的混合运算法则将分式的化简并求值、分式有意义的条件等知识，熟练

掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

z.\,。+1>°

（4।/7—2

7.（2022•内蒙古通辽•统考中考真题）先化简，再求值：。-―十^^,请从不等式组4a-5,的整

[aja<1

数解中选择一个合适的数求值.

【答案】a2+2a,3

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出。的值并代入原式即可

求出答案.

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【详解】解：〃+人?

Ia)a

_/_4a2

aa-2

_(a+2)(a-2)a2

aa-2

—a2+2a，

a+l>0①

'Svi②，

I3

解不等式①得：a>-l

解不等式②得：a<2,

-1<6Z<2,

・・・a为整数，

••.a取0,L2,

「QW0,Q—2w0,

••a=1,

当a=l时，原式=「+2x1=3.

【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以

及乘除运算法则，本题属于基础题型.

【考向七分式化简中错解复原问题】

例题：(2022•宁夏,中考真题)下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务.

_____

x-4x+2)x-2

xx-21x-2

X2~4^X2-4)'^T……第一步

x—x—2x—2

第二步

X2-42-

-2x-2

(x+2)(x-2),^-第三步

=——-……第四步

x+2

任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是

②第步开始出现错误，错误的原因是.

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任务二：直接写出该分式化简后的正确结果.

【答案】任务一：①一,分式的性质；②二，去括号没有变号；任务二：一二

【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案;

任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【详解】任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质.

②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号.

故答案为：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号.

任务二：

---

XX

x—x+2x—2

X2-42

2x-2

（x+2）（x-2）2

1

x+2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质.

【变式训练】

1.（2022・江西・统考中考真题）以下是某同学化筒分式（学）-一二）十工；的部分运算过程:

lx-4x+2）x-2

x+11

解：原式(x+2)(x—2)x+2

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

x+1-x—2x—2

(