河北省沧州市孟村回族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

河北省沧州市孟村回族自治县2023-2024学年九年级上学期

期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.计算（而+3产（而_3产的结果是（）

A.而+3B.3C.-3D.V10-3

2.如果方程f+8+1=05>0）有实数根且它的两根之差是I,那么P的值为（）

A.2B.4C.V3D.石

3.观察下列等式：7°=1,7'=7,72=49,T=343,74=2401，75=16807,

根据其中的规律可得70+7]+7。+…+7皿3的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

4.小明正在玩飞镖游戏，如果小明将飞镖随意投中如图所示的正方形木框,那么投中阴影

部分的概率为（）

5.如图，在菱形48co中，点E在边/。上，射线CE交A4的延长线于点尸,若

AB=3,则N/的长为（）

6.方程£=息2有四个实数解，实数左的取值范围为（）

尤+2

A.1<*<3B.k>3C.k>lD.0<k<l

7.如图，45为O。的直径，射线交。。于点尸，点C为劣弧源的中点，连接/C.若

ZBAC=30°,AB=4,则阴影部分的面积为（）

试卷第1页，共6页

4%一5五

C.—D-T

8.已知。力是非零实数，若对于任意的xNO,都有（x-a）（x-6）（x-6-1"0,则下列

不可能的是（）

A.a>0B.a<0C.b>0D.b<Q

9.一条抛物线y=+云+。的顶点为（4,-11）,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一

负，则。，b,c中为正数的（）

A.只有。B.只有6C.只有cD.只有。和6

10.如果点尸（2/）和点。伍,-3）关于直线x=l对称，则的值是（）

A.-3B.1C.-5D.5

II.如图，考古队在A处测得古塔顶端C的仰角为60。，斜坡的长为5米，坡度

i=3:4,8。长为6米，则古塔3C的高度为（）

A.96米B.10百米C.（3+106）米D.（4+9百）米

12.如图，ZMON=90°,长方形48CD的顶点A、8分别在边OM,ON上,当B在边

ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形48co的形状保持不变，其中AB=4,BC=\,

运动过程中，点D到点。的最大距离为（）

试卷第2页，共6页

A.V2+1B.V5+2C.D.2

13.在同一直角坐标系中，函数了=丘-左与＞=工（左HO）的大致图象是（）

14.如图，正方形4BCD和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上，顶点

B,C,G在同一条直线上.。是EG的中点，且/EGC的平分线GH过点。，交BE于点

连接上才交EG于点W,连接交CE于点N.给出以下结论：①G8,2E；

②&1=③AEHMSAFHG；④=亚_\.其中正确的结论是（）

CG'AHOG

A.①②③④B.①③C.②③D.①②③

试卷第3页，共6页

二、填空题

x3/7

15.若关于x的分式方程—+4=2。无解，则。的值为___.

x-33-x

16.如图，设尸，。是边长为1的正方形内的两个点，则/P+BP+PQ+QC+QD

的最小值为.

17.抛物线了="2+6尤+，（。40）的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次

2

方程ax+6x+c=0的两根为国=3,x2=

bcd工。/.

+力77+齐二那么s

的取值范围是

19.已知二次函数y=ax2+bx+c,。片0,a、b、c为常数的图象如图所示，下列4个

结论.

①a6c<0；®b<a+c；③c<46；④a+b<k（ka+b）（k为常数,且左片1）.

其中正确的结论有（填写序号）.

试卷第4页，共6页

y

20.将二次函数y=/-x-12在无轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部

分不变，得到一个新图象.若直线夕=》+机与这个新图象有3个公共点，则加的值

为.

三、解答题

21.已知关于x的方程尤2+履+左-2=0.

(1)求证：不论后取何值，方程必有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根为无=-2,求发的值及方程另一个根.

22.百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40

元.为了迎接“十・一"’国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利,

尽快减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2

件，要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

23.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点5、C在X轴上，ZABO=30°,

AB=2,OB=OC.

(1)如图1,求点4B、C的坐标；

(2)如图2,若点。在第一象限且满足/D=/C,乙D4C=90。，线段8。交了轴于点G,

试卷第5页，共6页

求线段3G的长；

(3)如图3,在(2)的条件下，若在第四象限有一点E,满足NBEC=NBDC.请探究

BE、CE、/E之间的数量关系.

24.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线＞=。/+法-3与x轴交于

/(-1,0)、5(3,0),与夕轴交于点C,其顶点为。点.

(1)求抛物线的解析式.

⑵连结3。、CD,动点。的坐标为(加，1).P为抛物线上的一点，是否存在以2,D,

Q,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点尸，。的坐标；若不存在，请说

明理由.

(3)连结。。、CQ,当NC0。最大时，求出点。的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】本题考查了积的乘方逆用，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本

题的关键.把原式变形为“m+3产3（，记一3严3（，记一3）,逆用积的乘方计算即可.

【详解】解：（7io+3）2O23（Vw-3）2024

=（Vio+3）2O23（Vio-3）2O23（VTO-3）

二［（Vio+3）（AAO-3）］2023（JO--3）

=1x（710-3）

=Vio-3

故选D.

2.D

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握

bC

王，巧是一元二次方程。/+法+，=0（。/0）方程的两根时，网+%=——，占卞2=-，当方

aa

程有实数根时A±o.根据一元二次方程根的判别式求出。的取值范围，根据根与系数的关

系即可得出答案.

【详解】解：：方程/+/+1=05>0）有实数根，

A=p2-4>0,

•；p>0,

：.P>2,

设A，4为方程的两根，

Xx+X2=-p,=1，

•••两根之差是1,

••X］—X?—1,

X

（占一％2）2=（1+%2）2-4玉•X2=（一0）2-4=1,

解得：p=+V5,

答案第1页，共21页

'：P>2,

p-45

故选：D.

3.A

【分析】由已知可得尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，则7°+71+72+...+7这3的结

果的个位数字与7°+71+72+73的个位数字相同，即可求解.

【详解】解：：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...»

尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，

V1+7+9+3=20,

7。+7、7?+73的个位数字是0,

又：2024+4=506,

12123

7°+7+7+-+72°23的结果的个位数字与7°+7+7+7的个位数字相同,

122023

70+7+7+-+7的结果的个位数字是0.

故选：A.

【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关

键.

4.B

【分析】根据题意，设每个小正方形面积为1,观察图形并计算可得阴影部分的面积与总面

积之比即为所求的概率.

【详解】设小正方形面积为1,观察图形可得，图形中共36个小正方形，则总面积为36,

其中阴影部分面积为。（4+4+6+2）+2=10,

则投中阴影部分的概率为譬得.

Jo10

故答案为B

【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于设每个小正方形面积为1

5.C

【分析】根据菱形的性质，得到：AE//BC,从而得到：AFAEsAFBC,再根据菱形的

AT

四边相等，和黑=:1，得到等=再1根据相似三角形对应边对应成比例，列式求解即可.

ED2BC3

【详解】解：•••四边形/BCD为菱形，

答案第2页，共21页

AE〃BC,AD=AB=BC=3,

：.AFAEsAFBC,

.AF_AE

・・蕨一疏’

・・艾」

*ED~2f

.AEAE

•・就一茄一针

.AFAE_IAFAF1

•・赤一就十：AF+AB~AF+3~39

3

解得：AF=-；

2

故选C.

【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握菱形的对边平行，四边

相等，证明三角形相似，是解题的关键.

6.C

【分析】由题意可得，关于X的方程上工=质2有3个不同的非零的实数解，即方程

x+2

1fx(x+2),x<0、1

7=\:、八有3个不同的非零的实数解，函数»=；的图象和函数

k［一x(x+2),x<0k

x(x+2),x>0

g(x)=的图象有3个交点，画出函数g(x)的图象，数形结合求得左的取值

-x(x+2),x<0

范围.

【详解】解：由于关于X的方程昙=丘2有四个不同的实数解,

当x=0时，是此方程的1个根，

二关于x的方程上工=h2有3个不同的非零的实数解.

x+2

即方程；=x(x+2),x>0

k-x(x+2),x<0

的图象有3个交点，画出函数g(x)的图象，如图所示:

答案第3页，共21页

解得人＞1,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数

形结合思想在解题中的应用，属于中档题.

7.A

【分析】连接OC,OF,交AC于E,由圆周角定理可=尸=30。，

NCOF=60。=NOAF,可知A/OF和ACO尸均为等边三角形，继而可知48〃可得

S4ACF='ACOF＞再结合阴影部分的面积=S&JICF+$弓形=S&COF+$弓形=扇形COF即可求解.

【详解】解：连接。C,OF,交NC于E,

;点c为劣弧筋的中点,

:&=前，

•：ABAC=30°,

：.ABAC=NCAF=30°,ZCOF=60°=NOAF,

•：OA=OF=OC=-AB=2,

2

.♦.A/。尸和ACO尸均为等边三角形，即：ZAOF=ZCFO=60°,

答案第4页，共21页

・・.AB//CF,

••^/\ACF~S/\COF，

2

则阴影部分的面积二^AACF+S弓形=SACOF+S弓形=S扇形co尸=71OC=——

3oU5

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关

性质定理是解决问题的关键.

8.D

【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质.

根据题意分3种情况讨论，分别根据不等式的性质求解判断即可.

【详解】•・,对于任意的xNO,都有(％—Q)(X-6)(x-b-1)20,

，①当x-b>Q,x-b-l>0,

x>afx>b,x>b+l

*：x>0

/.a<0,b<0,Z?+l<0

；・a<0,bW—1；

②当X-QNO,x-b<0,工-6-1«0时，

x>afx<b,x<b+l

x>0

Aa<0,b>0,b+l>0

a<0,b>0；

③当X-Q«0,x-b>0,x-6-IVO时，

x<a9x>b,x<b+\

x>0

>0,b<0,6+1>0

tz>0,b<0,6+1>0

二.Q>0,-1</)<0；

综上所述，不可能的是b<0.

故选：D.

9.A

答案第5页，共21页

【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数y=无+c的图象与x轴交点的个

数；另外，与X轴的两个交点XI、X2,且X].X2=£〈0,由这些已知条件，即可做出判断.

a

【详解】解：由题意，得

62-4℃〉0①

二<0②

a

'皿也=71③

4。

--=4®

、2a

由③得：贵二处=11⑤

4a

由①、⑤得，b-4aC=ll>0,BP4a>0

4a

a>0@

由②、⑥得，c<0

由④、⑥得，b<0

a>0,b<0,c<Q

故选：A

【点睛】在解关于二次函数与一元二次方程时，充分利用顶点坐标，和根的判别式来解答，

这样会降低题的难度，提高做题效率.

10.A

【分析】本题考查了坐标与图形变化，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的相关性质是解答本

题的关键.

根据题意，利用轴对称的性质构建方程组，求出。，b的值，由此得到答案.

【详解】解：根据题意得：

点尸(2,6)和点。(a,-3)关于直线x=l对称，

b=-3

-<2+a，

----二1

12

Jfl=0,

[b=-3

**•Q+Z?=-3,

答案第6页，共21页

故选：A.

11.C

【分析】作AFLBD,由二3：4,可设/尸=3x,DF=4x,结合4)=5,利用勾

股定理可求得工的值，解RtaZEC即可得到结论.

【详解】如图，作，BC,AFLBD,垂足分别为及尸，则四边形AEBF是矩形，则AE=FB,

•・•斜坡/。/=3：4,设4/=3x,DF=4x,

AD=5x,

VAD=5^\x=l,

：.AF=3,DF=4,

丁BD长为6,

：.AE=FB=DF+BD=4+6=10,

丁ZCAE=60°,

・•・CE=AE义tanNCAE=10也，

JBC=BE+CE=\+3，

即古塔3c的高度为(3+10码米，

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造

直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.

12.B

【分析】取的中点E，连接。£、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可

知当。、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长,

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.

【详解】解：如图，取4B的中点E,连接OE、DE、OD,

答案第7页，共21页

•/OD<OE+DE,

.,.当O、D、£三点共线时，点。到点O的距离最大,

止匕时，VAB=A,BC=\,

：,OE=AE=-AB=2,

2

DE=^AD2+AE2=V22+l2=y/5

0。的最大值为：V5+2.

故选B.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系,

矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点。、E、。三点共线时，点。到

点。的距离最大是解题的关键.

13.B

【分析】根据左的取值范围，分别讨论左＞0和左＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例

函数图象的特点进行选择正确答案.

【详解】解：当k＞0时，

一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，

函数的＞=£（左片0）（以0）的图象在一、二象限，

故选项②的图象符合要求.

当kVO时，

一次函数尸kx-k经过一、二、四象限，

函数的y=二伏HO）（k和）的图象经过三、四象限，

1^1

故选项③的图象符合要求.

故选：B.

【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的左

答案第8页，共21页

值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与V轴的交点与一次函数的常数项相关.

14.A

【分析】①先利用正方形的性质证明VBCE/VOCG,然后有NBEC=/DGC,通过等量代

换可得NBEC+NHDE=90。,则Effl）=90。，即可判断①的正误；

②首先证明丝,则有EG=3G,进而可得8c=（后-1）CG,由此可判断②的

正误；

③通过直角三角形斜边中线的性质得出点〃在正方形CGFE的外接圆上，然后根据圆周角

定理的推论得出/FHG=NEHF/HEG=NHFG,即可判断③的正误；

④先得出是AEBG的中位线，则HO//BG,HO=LBG=^EF,然后根据平行线分线段

22

成比例得出黑=2=拒，贝！J有。石=（后+1）OM,进而可求出土£=穿=也一1,

OMHO\*HOE

又因为=S4HOE，则可判断④的正误.

【详解】•・,四边形/BCD和四边形CGEE是正方形，

・•.BC=CD,CE=CG,/BCE=ZDCG.

BC=CD

在△BCE和△QCG中，\ZBCE=ZDCG,

CE=CG

:.^BCE^DCG（SAS）,

/BEC=ZDGC,

•・・ZDGC+ZCDG=90°,ZCDG=ZHDE,

/.NBEC+NHDE=90。,

:.EHD=90°,

/.GHLBE,故①正确；

■:GH平分ZEGC,

ZEGH=ZHGB,

•;GH【BE,

:"EHG=/BHG=900,

ZEGH=ZBGH

在△ET/G和△BHG中，\GH=GH,

ZEHG=/BHG

答案第9页，共21页

...AEHG之A8〃G(ASA),

EG=BG

■：EG=桓CG，

.-.BC=(V2-1)CG,

=故②正确；

CG

•.・△£〃G是直角三角形，。是EG的中点，

：.OE=OG=OH,

「•点〃在正方形CGFE的外接圆上，

・：EF=FG=CG,

ZFHG=ZEHF=ZEGF=45°,ZHEG=/HFG,

:AEHMS^FHG,故③正确；

・・•四边形CG尸£是正方形，.。是EG的中点，

・•.CG=EF,0E=OG,EF//CG,

•;AEHGWBHG,

:.EH=HB,

vEO=OG,

.•.H9是△助G的中位线，

16

HO//BG.HO=-BG=—EF,

22

:.HO//EF,

・•・AEMFSAOMH,

P工6,

OMHO

：.EM=42OM，

:.OE=(6+\)OM,

・・・AHOM与AHOE高相同，

S.HOM.=0"__!_=72-1

"S^HOEOEV2+1''

vEO=OG,

•v—v

-3HOG-3HOE'

答案第10页，共21页

.•.芍3=拒-1,故④正确；

、4H0G

故选：A.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平

行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，

平行线分线段成比例是解题的关键.

15.1或g

【详解】解：去分母得：x-3a=2a(x-3),

整理得：(1-2(7)x=-3a,

当1・2〃=0时，方程无解，故；

当1-2^0时，x=f^-=3时，分式方程无解，

1-2(7

则Q=l,

关于x的分式方程等+m=2。无解，则。的值为：1或;.

x-33+x2

故答案为：1或女.

16.1+6/百+1

【分析】将AAPB绕点A顺时针旋转60°至OAP'B',将AD0C绕点D逆时针旋转60°至

△DQC,则“PA和A。。。'是正三角形，进而可证当",P,P,0,Q'C六点共线时

/P+5P+P0+C0+。。的值最小.连接则A/3夕和△COC是等边三角形，然

后分别求出B'E,EF,C'F的值即可.

【详解】解：将△加3绕点/顺时针旋转60。至CMP3'；将△OQC绕点。逆时针旋转60。至

:.B'P'=BP,AP=AP',CQ=C'Q',DQ=DQ',

/.^APP和A。。。'都是等边三角形，

AP'P=AP,CQ=C'Q',QD=Q'D',

答案第11页，共21页

AP+BP+PQ+CQ+DQ

=B'P'+P'P+PQ+QQ'+Q'C,

：.当B',P',P,Q,Q',C六点共线时AP+BP+PQ+CQ+DQ^^.

连接8/C。，

•；AB'=AB,NB'AB=60°,

**.ANBB，是等边三角形，

：.B'在4B的垂直平分线上，

同理可证CC'=DC'=1,

C在CD的垂直平分线上，

•四边形/BCD是正方形，

AB//CD,

：.B'C'垂直平分/58,

/.ZAB/E=30°,四边形AEFD是矩形,

AE=—AB'=—,EF=AD=1,

22

同理可求CK=

2

/.B'C'=B'E+EF+C'F=1+G,

答案第12页，共21页

即AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小为1+百.

故答案为：1+百.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，

等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.

17.-1

【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据抛物线的对称性求出

抛物线与x轴的另一个交点坐标为,再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为其对应的

一元二次方程的解进行求解即可.

【详解】解：：抛物线对称轴为直线x=l,且与x轴的一个交点坐标为（3,0）,

.••抛物线与x轴的另一个交点坐标为

关于x的一元二次方程办2+bx+c=0的两根为国=3,%=-1，

故答案为：-1.

18.1<S<2

【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论.

【详解】；a,b,c,d都是正数

.cabcd、

..S=------------F------H--------1------->

a+b+da+b+cb+c+da+c+d

abeda+b+c+d

----------1-----------1-----------1----------=----------=1

a+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

abcdabeda+bc+d-

S=------------1--------1--------1-------V-----1-----1-----1----=-----1----=2

a+b+da+b+cb+c+da+c+da+ba+bc+dc+da+bc+d

.*.1<S<2

故答案为：1<S<2.

【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求

解.

19.①③

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与了轴的交点判断。的符号，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由图象可知：a<,c>0,

答案第13页，共21页

/.b>0,

/.abc<0,故①正确；

②当％=—1时，y=a-b+c<0,

6〉a+c故6<a+c,故②错误；

③当尤=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且尤=一2=1,

2a

=代入得9(-2)+3b+c<0,得c<：6,

222

b>0,

c<4b,故③正确；

④当x=l时，了的值最大.止匕时，y=a+b+c,

而当x=左时，y=ak2+bk+c,

所以a+6+c>ak2+bk+c>

故a+b〉ak2+bk，即a+b>左(“左+6),故④错误.

故①③正确.

故答案为：①③.

【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数了二^^+乐+^:系数符

号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与了轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活

运用二次函数的性质是解题的关键.

20.-13或-4/-4或-13

【分析】如图所示，过点/作直线y=x+m,将直线向下平移到恰好相切位置，根据一次函

数y=x+7〃在这两个位置时，两个图象恰好有3个交点，即可求m的值.

【详解】解：如图所示，直线/、〃在图示位置时，直线与新图象有3个交点，

答案第14页，共21页

y=x2-x-12,令y=0,贝！］x=4或-3,则点/（4,0）,

，将点A的坐标代入y=x+H7即可解得：m=-4,

••・二次函数在x轴下方的图象对应的函数表达式为：y=x2-x-12,

y=x2-x-12=x+m,

整理得：x2—2x-12-m=0,

△=4+4（12+〃?）=。，解得：加=-13,

故答案为：-13或-4.

【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性

质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系.

21.（1）证明见解析；

（2）上的值为2,方程的另一个根为0.

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A=（左-2y+4>0,由此可证出不

论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；

（）将》=-代入原方程可求出发值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根.

22a

【详解】（1）证明：A=b2-4ac=*-4（左一2）=F-4*+8=（左一2『+4,

•,■（Ar-2）2>0,

二.（左一2丫+4>0,BPA>0,

•••论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；

（2）解：将x=-2代入原方程可得：4-2/+%-2=0,

解得：k=2,

，关于x的方程为：y=x2+2x,

b.

石+%2==-2,

a

；•方程另一个根为-2-（-2）=0,

答：人的值为2,方程的另一个根为0.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题关键是：（1）当A>0时，方程

答案第15页，共21页

有两个不相等的实数根；（2）两根之和等于-2.

a

22.每件童装应降价20元.

【分析】设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，根据平均每天销售这种童

装盈利1200元，即销量x每件的利润=1200元，列出方程求解即可.

【详解】解：设每件童装应降价x元，则

（40-x）（20+2x）=1200,

即：X2-30X+200=0,

解得：尤i=10,x2=20,

•••要扩大销售量，减少库存，

•1•舍去再=10.

答：每件童装应降价20元.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，

再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程

求解即可.

23.（1）^（0,1）,5（-V3,0）,C（V3,0）

⑵卡

@BE+CE=CAE,理由见解析

【分析】（1）根据/48。=30。，48=2,在中，有：AO=；AB=1,进而有

BO=y]AB2-AO2=A/22-12=G，问题随之得解；

（2）求出/c=^AO2+OC2=2，即4s=/C，可得乙iBD=NADB,接着求出NBAG=120°,

证明△切。丝△C4O,即有48/0=60°=/G4O,可得/640=180°-/。/（3-/。4。=30°,

得出Z8/O=NB4G+NG/O=150。，进而有=a1D8=15。，可得

ZGBO=ZABD+ZABO=45°,即有NG3。=NBGO=45。，问题随之得解；

（3）由（2）可知：ZADB=15°,可得N8OC=N/D8+NZDC=60。，进而有

NBEC=NBDC=60。,延长E8至R使BF=CE,连接外，过/点作跖于M点，

答案第16页，共21页

根据NCM3=NCMC=60。，即有ZB/C=120。，进一步有NA4C+ZBEC=180。，即可证明

ZABF-ZACE,接着证明既也ANCE(SAS),问题随之得解.

【详解】(1)解：•••443。=30。，AB=2,

.•.在RtZ\/3。中，有：AO=1AB=1,

,,BO—VAB~—AO2=V22—I2=V3>

OB=OC,

/.OB=OC=6

4(0,1),8(-6,0),C(石,0)；

(2)解：：OC=549=1，

.•.在RtA/CO中，AC=JAO2+OC2=2>即/8=4C,

,/AD=AC,

：.AD=2,

：.AD=2=AB,

：./ABD=ZADB,

•••450=30。，ZAOB=90°,

：.ZBAO=60°9即/BZG=120。，

•：OB=OC,AB=AC=2,AO=AO,

：.△BAO2/\CAO,

：.ZBAO=60°=ZCAO,

\9ZDAC=90°,

：./GAD=180°-ADAC-ZOAC=30°,

VZSAG=120°,

:.ABAD=ZBAG+ZGAD=150°,

・•・ZABD=ZADB=15°,

VAABO=30°,ZAOB=90°,

・•・ZGBO=ZABD+ZABO=45°,

・•・/GBO=/BGO=45。，

：.BO=OG,

答案第17页，共21页

•・•BO=6,

：•BO=OG=C，

・••在△BOG中，BG=^JBO2+OG2=V6；

(3)解：BE+CE=6AE,理由如下：

由(2)可知：ZADB=15°,

•：AD=AC,ZDAC=90°,

：.NADC=ZACD=45°,

：.ABDC=ZADB+ZADC=60°,

・•・/BEC=/BDC=60。,

延长仍至产，使BF=CE,连接NTL过4点作防于〃点，如图,

ZOAB=ZOAC=60°,

・•・ZBAC=120°,

：./BAC+/BEC=180。,

：.ZACE+ZABE=180°f

ZABF+ZABE=180°f

・•・/ABF=ZACE,

又•：AB=AC,BF=CE,

：.^ABF^AACE(SAS),

：・AF=AE,ZBAF=ZCAE,

答案第18页，共21页

：・NFAE=NBAC=120。,

：.ZF=ZAEF=30°,

•・•AMLEF,AF=AE,

：.AM=-AEME=-EF,

229

__________h

/.ME=slAE2-AM2=-AE

2

/.FE