2024年中考数学复习（全国版）一次方程（组）及其应用（练习）（解析版）

题型过关练N

题型01利用等式的变形判断式子正误

L（2023•浙江衢州•三模）已知a=b,下列等式不一定成立的是（）

A.5Q=5bB.a+4=b+4C,b-2^a-2D.-

cc

【答案】D

【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解.

【详解】A.=b,，5a=仍，故该选项正确，不符合题意；

B.ra=b,+4=b+4,故该选项正确，不符合题意；

C.a=b,：.b—2=a-2,故该选项正确，不符合题意；

D.-,a=b,且c次0,r.％=也，故该选项不正确，符合题意；

CC

故选：D.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个

数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果

仍相等.

2.（2023•内蒙古包头•二模）设X、y、c是实数，正确的是（）

A.若*=y,则x+c=c-yB,若x=y,则c-x=c-y

C.若乂=y,则D.若擀=着,则2x=3y

【答案】B

【分析】根据等式的性质，即可一一判定.

【详解】解：A.若x=y,则x+c=y+c,故该选项错误，不符合题意；

8.若乂=9，则c-x=c-y,故该选项正确，符合题意；

C.若x=y且c*0,则擀彳,故该选项错误，不符合题意；

D.若玄=（则3x=2y,故该选项错误，不符合题意；

故选：B.

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【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键.

3.（2023•浙江杭州•统考二模）设a,6,加均为实数，（）

A,若a>b,则—mB,若a=b,则ma=mb

C,若a+m>b—m,则a>bD,若ma=mb,则a=b

【答案】B

【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项.

【详解】解：A、若a>b,则a不一定大于b-m,故错误；

B、若&=b,则ma=mb,故正确；

C、若贝ija不一定大于b,故错误；

D、若ma=mb,m*0,则。=①若ma=mb,m=0,贝］。/^或<7=>故错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质.解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等

式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

题型02利用等式的性质求解

L（2023河北保定•校考一模）已知a-b=a+3则下列表示6的式子是（）

A.B.3tC.3+gD.--4-3

【答案】A

【分析】运用等式的基本性质解题即可.

【详解】解：=a

，两边同时减去。得：—b=+3-乙

二两边同时乘以-7得：b—3+g

故选A.

【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键.

2.（2023・广东江门•统考三模）若一2a=7,贝！|a的值是（）

A.TB.」C.2D,-2

【答案】A

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【分析】根据等式的性质解方程即可求解.

【详解】解：-2a=1

系数化为1,两边同时除以一2得，a=-%

故选：A.

【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键.

3.(2022•安徽合肥・合肥38中校考三模)已知存6,且a+?=6+(则下列结论正确的是()

A.a+b=0B,ab=1

C,若Q+6=0,贝［Jq-b=2D,若a-b=2,贝!Jq+6=0

【答案】D

【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可

【详解】•.■a+\=b+，，

.•."b+—=0,

,(a-b)+黑=0,

(a-b)(7+1)=0,

:a*b,

；.a-b*0,

1=0,即ab=-7,

ab

选项A、B错误；

当a+6=0时，与ab=-7联立，解得｛;或｛:,

b=1b=-1

可得a-b=-2或a-6=2,

故选项C错误；

Z7-7

当。一6=2时，与ab=-7联立，解得｛,一，

b—1

可得a+6=0,

故选项D正确；

故选D

【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可.

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题型03判断一元一次方程.

L(2022・江苏盐城•校联考三模)在下列方程中：①x+2尸3,②3x=9,③子=鼾x=0,是

一元一次方程的有(只填序号).

【答案】③④

【详解】试题分析：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.根

据定义可知：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元一

次方程.

2.(2019-内蒙古呼和浩特・统考中考真题)关于x的方程mx.>(m-1)x-2=0如果是一元一次方程,

则其解为.

【答案】乂=2或*=-2或x=-3.

【分析】利用一元一次方程的定义判断即可.

【详解】解：••・关于x的方程mx2m一+仲-〃x-2=0如果是一元一次方程，

(1)当2m-7=7,即m=7,

即x-2=0

解得：x=2,

(2)当m=0时，-x-2=0,

解得：乂=-2

(3)当2m・1=0,即m=^时，

方程为三一三X-2=0

解得：x=-3,

故答案为x=2或x=-2或x=-3.

【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键.

题型04解一元一次方程

L(2023•浙江・统考一模)解方程：个一7=个

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【答案】x=7.5

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【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可.

【详解】解：去分母，得：6x-4-6=5-4x,

移项，得：6x+4x=5+4+6,

合并同类项，得：10X=75,

系数化为1,得：x-1.5.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤.

2.(2023・浙江温州・统考一模)解方程当+专=7,以下去分母正确的是()

A.4(x+2)+3(2x-7)=72B,4(x+2)+3(2x-7)=7

C,x+2+2x-1=12D,5(x+2)+4(2x-T)=12

【答案】A

【分析】各项同时乘以72运算即可.

【详解】解：*1,

去分母得，4(x+2)+3(2x-7)=72,

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次方程一去分母.解题的关键在于正确的运算.

3.(2023常州市二模)对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：器/=ad-be,已知彳*一9=78,则

x=()

A.-1B.2C,3D,4

【答案】C

【分析】根据新运算公式，得：2x+4X=78,解得x=3

【详解】解•：优/=ad-be,

•••2x+4x=18,

解得x=3,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错

点是数式与字母不能准确对应.

4.(2023•陕西西安•校考模拟预测)解一元一次方程：1一勺=审一x

4O

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【答案】X*

【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解.

【详解】解：1-号=片一乂

4o

去分母，72-3(4-3x)=2(5x+3)-12x

去括号，12-72+9x=70x+6-12x

移项，9x-10x+12x=6-12+12

合并同类项，7仅=6

化系数为1,x=总

【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

题型05错看或错解一元一次方程

1.(2022•河北邯郸•统考三模)嘉淇在解关于x的一元一次方程亭+□=3时，发现正整数□被

污染了；

(1)嘉淇猜□是2,请解一元一次方程呼=3

(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？

【答案】(l)x=7

⑵2

【分析】(1)由题意得方程当尸+2=3,按解一元一次方程的一般步骤求解即可；

(2)设被污染的正整数为见得方程苛+m=3,求解得x=亨，再根据解是正整数求解即可.

【详解】(D解：符+2=3,

去分母，得3x-1+4=6；

移项，合并同类项，得3x=3

系数化为1,得x=7.

(2)解：设被污染的正整数为加，

则有1+m=3,

资料整理

解之得，x=V

亨是正整数，且加为正整数,

m=2.

【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.

2.（2022•山西太原•一模）（1）下面是小明同学解方程第一个=7的过程，请认真阅读，并完成相应的

26

任务.

解：去分母，得3（x+3）-（5x-3）=1.第

一步

去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步

移项，得3x-5x=-9-3+7,第三步

合并同类项.得一2X=-77.第四步

系数化为1,得x=《.第五步

任务一：①解答过程中，第步开始出现了错误，产生错误的原因是:

②第三步变形的依据是.

任务二：①该一元一次方程的解是;

②写出一条解一元一次方程时应注意的事项.

【答案】

任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任务

二：①x=3；②去括号时，括号前面是时各项都要变号

【详解】

任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）,

②移项法则（或等式的基本性质一），

任务二：①^一平=7,

Zo

去分母，得3（x+3）-（5x-3）=6,

去括号，得3x+9-5x+3=6,

移项,得3x-5x=6-9-3,

合并同类项，得-2x=-6,

资料整理

系数化为，得X=3,

故答案为：x=3；

②答案不唯一如：

I.去分母时，注意不要漏乘(或正确运用等式的基本性质).

n.移项时，注意变号(或正确运用等式的基本性质).

m.去括号时，括号前面是时各项都要变号.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题

的关键.

3.(2022•河北保定•统考一模)已知整式(a2—2ab)—(-ab-4b2),其中“■”处的系数被墨水污染了.当

a=-2,b=7时，该整式的值为16.

(1)则■所表示的数字是多少？

(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由.

【答案】(1)■所表示的数字是2；

(2)小红的说法是正确的，理由见解析.

【分析】(1)直接把a=—Zb=7代入代数式其值等于16,解关于■方程即可；

(2)把(1)求得的■的结果代入代数式整理即可求解.

【详解】(1)(1)将a=-2b=7代入(a?-2ab)-(・ab—4b2),

可得4+4-(Ux(-2)-4)=76,解得・=2；

(2)(2)由(1)求得的结果可得该整式为，

(.a2-2ab)-(2ab-4b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)2>0,

故小红的说法是正确的.

【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键.

题型06二元一次方程(组)的概念

1.下列方程组中，二元一次方程组的个数有()

x+3y=5〜x+xy=3〜x+y=55x-2y=3x=0

0{②{“±6③④{(+V=3

x+y=5

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

资料整理

【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程

组可得.

x+3y=5

【详解】解：①｛X符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；

a+y=i

②「+”旷=3方程组含有二次项孙，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；

x-y=6

③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；

y-z=6

5x-2y=3i

Q方程组含有二是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；

1=3x

XA

⑤（符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；

x+y=5

综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程

都是整式方程.②方程组中共含有两个未知数.③每个方程都是一次方程.

2.（2023・贵州六盘水•统考二模）下面4组数值中，哪组是二元一次方程x=5的解（）

A.LB.7C.LD.｛X=一

y=7V=2y=2V=-2

【答案】B

【分析】二元一次方程x=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使

方程左右相等的解才是方程组的解.

【详解】解：A.把「代人方程，左边=7+2*右边,所以不是方程的解；

y=7

Y—7

B.把｛一代入方程，左边=右边=5,所以是方程的解；

y=2

V—9

C.把｛代入方程，左边=6#右边，所以不是方程的解；

y=2

D.把｛'=-7代入方程，左边=一5次右边，所以不是方程的解.

y=-2

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义.要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x,y的值代人

原方程验证二元一次方程的解是本题的关键.

资料整理

y=-7

3.（2023・河北张家口•统考一模）｛不是下列哪个方程的解（）

y=7..

A.x+y=0B.x—y—2C.2x-y--7D.x+2y-1

【答案】C

y——7

【分析】将｛代入各个方程，即可判断.

y=1

y——7

【详解】经代入计算，可知｛■能使方程X+y=O、x—V=—2、x=7成立,

y=7

v——7

｛不能使2x-y=-3成立，

y=7

y=—7

・•・｛不是2x—y=-7的解.

y=1

故选：c.

【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键.

V—7

4.（2022•浙江绍兴•校联考二模）已知｛是方程4x-町=7的一个解，那么。的值是

V=-3

【答案】1

V—7

【分析】先将｛代入方程4x-即=7,得到4x7-ax（一刃=乙求解即可.

V=-3

y—7

【详解】•；｛是方程4x-ay=7的一个解，

y=-3

4xJ—ax（―3）=7,

解得a=7,

故答案为：L

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键.

题型07解二元一次方程组

L（2022•辽宁沈阳•统考模拟预测）二元一次方程组-,NV=5的解是_____.

V=2x

【答案】｛,=7/J=2

y=2x=7

【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可.

【详解】解：｛X+2y=廿

y=2x②

把②代人①得：5x=5,解得：x=7,

把x=7代入②得：y=2；

资料整理

y—7

二原方程组的解为｛;

y=2

故答案为｛X=1.

y=2

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

2.（2022•江苏无锡・统考二模）已知方程组｛-2丫=6,贝”十'的值为_____.

2x+y=21

【答案】9

【分析】解方程组，求得以y的值，进而求得答案.

【详解】解：由方程组｛*+为=°,解得｛X=12

2x+y=21y=—3

...x/v=9

故答案为：9.

【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.

xy-7=7m

3.（2023•陕西西安•校考二模）解方程组：｛23_2

4x-y-8.②

x=四

【答案】｛8

V=片

【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.

【详解】解：方程组整理得：伊―2'=却，

4x-y=8®

②x2-①得：5x=12,

解得：x=三

D

把x=5代人②得：?—y=8,

OO

解得：y

x=-

则方程组的解为｛:.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代人消元法与加减消元法.

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题型08错看或错解二元一次方程组问题

1.（2023•广东惠州・统考二模）小丽和小明同时解一道关于x、y的方程组「X其中久b为常数.在

x-by=5

Y—_7Y­7

解方程组的过程中，小丽看错常数“a"，解得｛；小明看错常数“b"，解得｛X—。

V=3y=1

（1）求a、b的值；

（2）求出原方程组正确的解.

【答案】（l）a=1,b=-2

⑵/

y——7

【分析】（D根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得｛,即-7-3b=5是正确

y=3

y—9

的，解得b=-2小明看错常数“b”，解得「一，即2a17=3正确，解得a=7；

V=1

（2）由（1）知关于x、y的方程组｛0x=3可化为｛X'V=3,根据二元一次方程组的解法求解即

x-by=5x+2y=5

可得到答案.

【详解】（1）解：••・在解方程组的过程中，小丽看错常数“a"，解得广=一1

V=3

■■—1—3b—5,解得b——2；

v

••・在解方程组的过程中，小明看错常数“b"，解得｛X—、O

y=1

•••2a+1—3,解得a—7；

：•a=7；b=—2；

x+v=5®

（2）解：由（1）知｛

x+2y=5(2)

由①一②得一v=-2解得y=2,

将y=2代入①得X=1,

y—7

•••原方程组的解为｛一.

y=2

【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问

题的关键.

2.（2021•广东汕头•统考一模）甲、乙两人同解方程组｛°、［勾=75Q,由于甲看错了方程①中的0,

4x-by=-10②

Y—_q,v-5

得到方程组的解为｛乙看错了方程②中的6,得到方程组的解为｛

V=7V=-4

资料整理

(1)求a,6的值;

(2)若关于x的一元二次方程ax?—bx=。两实数根为X：,x2,且满足Zx?一必＜2=乙求实数加

的值.

n=7

【答案】⑴｛:；(2)m=-5

b=-2

【分析】(1)将0=-3代入方程②求出b的值，将｛*=5代入方程①求得°的值，即可得出答案，

V=7y=-4

(2)再将a,6的值代人ax?-bx=。中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得

出m的值.

【详解】解：⑴根据题意得｛50：外7=75解:=7

4x(-3)-b=-10b=-2

n=7一

(2)当｛时，一元二次方程ax2-bx=0化为lx?+2x=0,

b=-2

由根与系数关系得x7+X2=-MX7XX2=-j

联成方程组得｛X7+X2,解得｛X7=,

义一义

7122=7x2=-7

・••m=—5

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以

及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键.

3.(2022许昌市二模)下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

2x-y-4①

解方程组：｛

8x—3y=20@

解：①x4,得8x—4y=7侬，...........第一步,

②一③，得一V=4........................第二步,

V—一4.第三步,

将y=-4代入①，得x=。.......第四步，

Y。

所以，原方程组的解为｛一.........第五步.

y=-4

填空：

(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做.

A、代入消元法

B、加减消元法

资料整理

(2)第步开始出现错误，具体错误是;

⑶直接写出该方程组的正确解：.

【答案】(DB

(2)二；一3y-(-应该等于y

x=4

⑶｛，

V=4

【分析】(1)②-③消去了x,得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；

(2)第二步开始出现错误，具体错误是-3厂(-旬)应该等于产

(3)解方程组即可.

【详解】(D解：②一③消去了X,得到了关于y的一元一次方程，

故答案为：B；

(2)解：第二步开始出现错误，具体错误是-3y-应该等于y,

故答案为：二；-3y-(-应该等于y；

(3)解:②-③得y=4

将y=4代入①，得：x=4,

x=4

原方程组的解为｛.

y=4

x=4

故答案为：｛.

y=4

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一

元方程是解题的关键.

4.(2021•浙江嘉兴・统考二模)解方程组：｛3X—2V，小海同学的解题过程如下：

.................................................x+y=5②

解：由②得y=5+x,③.........(1)

把③代人①得3x-2x+5=6,.................(2)

x=-7.........(3)

把x=-7代入③得y=7,.........(4)

y——7

，此方程组的解为｛...........(5)

y=1

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程.

【答案】不正确，(1),(2),(3),(4),过程见解析

【分析】第(D步，移项没有变号，第(2)步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第(3)步移项没有

资料整理

变号，写出正确的解答过程即可.

【详解】解：错误的是(1),⑵，⑶，(4),

正确的解答过程：

由②得：尸5-x③

把③代人①得：3x-10+2x=6,

解得：x岭,

把工与代入③得：用

X=上

5

，此方程组的解为｛g.

y-

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一

元方程是解题的关键.

题型09构造二元一次方程组求解

1.(2021・青海・统考中考真题)已知a,b是等腰三角形的两边长，且a,b满足V五二与73+(2a+3b-

73y=0,则此等腰三角形的周长为().

A.8B.6或8C,7D.7或8

【答案】D

【分析】先根据非负数的性质列式求出。、6的值，再分。的值是腰长与底边两种情况讨论求解.

【详解】解：---72a一3b+5+(2a+3b-13)2=0,

2a-3b+5=0

(

2a+3b-13=0

①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3,能组成三角形，周长=2+2+3=7；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3,能组成三角形，周长=2+3+3=8,

所以该等腰三角形的周长为7或8.

故选：D.

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【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0,则每

一个算式都等于0求出6的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判

断.

2.(2023•江苏淮安・校考二模)反比例函数y=：的图象经过A(3m)、B(m-出两点，贝欧的值为()

A.4B.6C,9D.12

【答案】B

【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案.

【详解】解：•.•反比例函数V=:的图象经过A(3m)、B(m-㈤两点，

k=3m

k=6(m-7)，

解得｛A=T

m=2

故选：B.

【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

3.(2023・广东深圳•深圳市南山外国语学校校联考二模)若(4x+y-4)2^\2x-y+7|互为相反数，则xy

的值是.

【答案】^0.25

【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可

得到x与y的值.

【详解】解：r(4x+y-+\2x-y+7|=0,

4x+y—4=0

,,‘2x-y+7=0,

y/——j

解得：｛-2,

y=2

.•2=(y,

故答案为：-4.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

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题型10利用一元一次方程解决实际问题

1.(2022•陕西宝鸡•统考一模)某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台

每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳

构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多

少台？

【答案】16；4

【分析】设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为(20-X)台，利用耳挂绳是口罩面的

2倍列出方程即可求解.

【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为(20-X)台，

依题意得，96000(20-x)=2x12000X

解得x=16

20-x=20-16=4,

.•.该企业购进生产口罩面的机器76台，生产耳挂绳的机器为4台.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键.

2.(2022•山西运城•统考一模)在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公

路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，

还剩70米的工程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？

【答案】甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米

【分析】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，根据题意可列出关于x的一元一次方程，

解出x,即可求出答案.

【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，

根据题意可得：2x+4x+4(x-5)=400—70,

解得：x-35,

x—5=35—5=30,

答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米.

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用,根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键.

3.(2022•安徽马鞍山•安徽省马鞍山市第七中学校联考二模)某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种

销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张(线下下单没有该消费券)，同规格的

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一杯奶茶，线上价格比线下高20%,外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付

金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格.

【答案】该款奶茶线下销售价格为20元

【分析】找到等量关系式：线上6杯奶茶的价格+配送费-28=线下6杯奶茶的价格，设该款奶茶线下销售

价格为x元，根据等量关系式列方程，解方程即可.

【详解】解：设该款奶茶线下销售价格为X元

6义（1+20%）x+4-28=6x

7.2x+4-28=6x

1.2x=24

x=20

答：该款奶茶线下销售价格为20元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系式.

4.（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度

重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛.已知在一次足球比赛中，胜一场得4分，平一场得2分，负

一场得。分，某队在已赛的73场比赛中保持连续不败的战绩，共得4。分，求该队获胜的场数.

【答案】7场

【分析】设该队获胜x场，则平43-X）场，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解.

【详解】设该队获胜x场，则平“3-X）场，依题意

得:4x+2（13-x）=40,

解得：x=7

答：该队获胜7场.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键.

5.（2023•河北沧州•统考三模）嘉嘉和淇淇玩游戏，下面是两人的对话.

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常心里随便想一个数，然后按N

图中的步骤正确操作，我就能立

刻说出你想的那个数。

嘉嘉y

really?这么神奇!

淇淇

想一•个数■>X3+-6-►4-3—+7f结果告诉嘉嘉

(1)如果淇淇想的数是一6,求他告诉嘉嘉的结果；

(2)设淇淇心里想的数是x,求淇淇告诉嘉嘉的结果；若淇淇告诉嘉嘉的结果是66,求淇淇想的那个数是几.

【答案】(1)-7

⑵61

【分析】(1)根据题意列式计算即可；

(2)根据题意建立方程求解即可.

【详解】(1)解：(-6x3-6)+3+7

=(-18-6)^3+7

=-24・3+7

=-8+7

――7；

(2)解：由题意得，(3x-6)+3+7=66,

解得X=61,

...淇淇想的那个数是61.

【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列

出式子和方程是解题的关键.

6.(2023•陕西西安•交大附中分校校考三模)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15m.现计划对其

进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.若扩充后的矩形绿地的长是宽的2

倍，求新的矩形绿地的长与宽；

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15m

35m

【答案】40m,20m

【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm,然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即

可.

【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm,

由题意得，35+x=2115+x),

解得x=5,

：,35+x=40,15+X=20,

.•.新的矩形绿地的长与宽分别为40m,20m.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键.

7.(2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测)以井测绳.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之,

绳多半尺.则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份测量，绳子比井

深多五尺；如果将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺.求此水井的深度.

【答案】13尺

【分析】设井深为x尺，则绳子的长度为3(x+5)尺，然后根据将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多

半尺列出方程求解即可.

【详解】解：设井深为x尺，则绳子的长度为3(x+5)尺，

由题意得，x+0.5=^-,

解得x-13,

答：水井的深度为13尺.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键.

8.(2023•陕西西安•西北大学附中校考模拟预测)《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我

问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.其大意为：今有若干人住店，若每

间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？

【答案】店中共有8间房

【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得.

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【详解】解：设店中共有X间房

依题意得：7x+7=9（x—7）,

解得：x=8,

答：店中共有8间房.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键.

9.（2022•安徽合肥•合肥市第四十五中学校考一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百

步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”题目意思是：同样时间

段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等，若走路慢的人先走100步，

求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？（注释：“步”是古代的一种计量单位）

【答案】250步

【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为。根据二者的速度差x时间=路程，即可求出/值，再将

其代入路程=速度X时间，即可求出结论.

【详解】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为4

根据题意得：（100-60）Z=100,

解得：Z=2.5,

100;=100x2.5=250.

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

题型11利用二元一次方程解决实际问题

L（2023•福建泉州•福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某

景区游玩，该景区门票价格规定如图：

票价

成人:每张55元

学生:按成人票半价优惠

团体票（16人以上，含16人）；

按成人票6折优惠

（1）明明他们一共72人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？

（2）购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的72名家长

共2。人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用.

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【答案】（1）8个成人，4个学生

（2）方案见解析，638元

【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；

（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票.先凑够

16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省.

【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生.

x+y=12

由题意得：｛

55x+卷y=550'

解得：OK

y=4

答：他们一共去了8个成人，4个学生.

（2）学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵

.•.应尽可能不买成人票，尽量多买学生票

，当七（2）班4名同学和他们的72名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱.止匕时,

购票费用为：

55x76x0.6+会4=638元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱

方案是解题关键.

2.（2023•广东东莞•模拟预测）A、3两地相距4千米，甲从/地出发步行到2地，乙从3地出发骑自行车

到/地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍.

（1）求甲、乙每小时各行多少千米？

（2）在他们出发后多长时间两人相距1千米？

【答案】（1）甲每小时行3千米，乙每小时行5千米

（2）出发后《小时或《小时两人相距1千米

OO

【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间.关系式为：路程=速度X时间.题

中的两个等量关系是：30分钟X甲的速度+30分钟X乙的速度=4千米，4千米-40分钟X甲的速度=（4千米-40

分钟X乙的速度）x3,依此列出方程求解即可，注意单位换算；

（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解.

【详解】（1）解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米.

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30,30.

—x-A—y=4

依题意：｛6：60

4--x=3（4-丝y）

60'60」,

Y=Q

解方程组得｛—

y=5

答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米.

（2）相遇前：（4-7）+（3+5）=彳（小时），

相遇后：（4+7）+（3+5）=:（小时）.

故在他们出发后外时或4小时两人相距1千米.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一

次方程组的模型.

3.（2021•江苏泰州•统考中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工.实际施

工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%,乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.甲、乙两工

程队原计划平均每月分别修建多长？

【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米

【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米,根据原计划每月修建喘km

和甲提高效率后每月修建淄km列出二元一次方程组求解即可.

【详解】解：设甲工程队原计划每月修建X千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，

,150

X+V=—

｛J30

（1+50%"+厂果

解得，｛'=2

y=3

答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程.

4.（2017・安徽・中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个

物品的价格是多少？

请解答上述问题.

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【答案】共有7人，这个物品的价格是53元

【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，

伊一3"，解得｛乂"

7x+4=y,y=53,

答：共有7人，这个物品的价格是53元.