2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷含解析

2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷

一、选择题。（卷小题4分，共40分。每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将确选

项的代号硫途在都题书的相应往置上）

1.（4分）-2023的倒数是（）

A.2023B.一」C.-2023D.1

20232023

2.（4分）2022年怀化市全力加快陆港建设，架起了对接东盟的开放桥梁，设施功能

不断善，全年完成投资98亿元，其中数据98亿元用科学记数法表示是（）

A.98X108B.9.8X108C.0.98X1O10D.9.8X109

3.（4分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

©

B.绿色食品

D.夫速冻食品

)

A.3%+3y=6孙B.24—ci~~2cl

C.(。+6)2=<22+Z?2D.(-3pq)2=-6〃2q2

5.（4分）下列立体图形中，三视图都一样的是（）

B.

C.D.

6.（4分）如图，直线直线/与a,6分别相交于A,_8两点，AC_LA3交6于点

D.60°

7.（4分）要了解怀化市九年级学生的视力状况，从中随机抽查了500名学生的视力状

况，下列说法不正确的是（）

A.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生

B.本次调查是抽样调查

C.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况

D.本次抽查的样本容量是500

8.（4分）如图，△OA4是由△ODC绕点。旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转

的角度可能是（）

A.顺时针旋转90°B.逆时针旋转90°

C.逆时针旋转60°D.逆时针旋转30°

9.（4分）如图，1SAABC中,ZC=90°,用直尺和圆规在边3C上确定一点P,使

点尸到边AC、A3的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（)

10.（4分）如图，已知反比例函数y上与一次函数y=-X+3的图象交于A、3两点,

P为y轴上一动点，连接以、尸3,当必+P3取得最小值时，△A3P的面积为（）

二、填空题。（每小题4分，共24分。请将答案直接填写在答题卡的相应位置上。）

11.（4分）分解因式：x2-xy=.

12.（4分）一组数据1,2,5,3,。的平均数是3,则中位数是.

13.（4分）函数丫空亘中，自变量x的取值范围是.

14.（4分）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC上，1.DE//BC.若AD=2,

AB=3,DE=4,则3c的长为.

15.（4分）如图，在RtZkABC中，ZACB=9Q°,AC=8,BC=6,CDLAB,垂足为

D,则tanNBCD的值是

D

16.（4分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公

式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,

记上*,则其面积sWp（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶

P2

公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为.

三、解答题。（本大题共8小题，共86分）

17.（8分）计算：诉-2|+3tan30°-蒋了-2023"

18.（8分）先化简，再求值：（上⑴*釐x+1,其中％=加一1.

x-1x2-l

19.（10分）如图，在口A3CD中，点E,R分别在边A3,CD上，且四边形3EDR是

正方形.

（1）求证：AADE2ACBF；

（2）已知口A3CD的面积为20,AB=5,求CT的长.

20.（10分）某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一

次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，

桂花树苗8棵，共花费2800元.（两次购进的两种树苗各自的单价均不变）

（1）两种树苗的单价分别是多少元？

（2）学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗

的数量不超过桂花树苗数量的3倍，问：共有哪几种购买方案？至少要用多少钱?

21.（12分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”

“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展

为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课

程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘

制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应

的圆心角是度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状

调查结果的扇形统计图

22.（12分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和

不等式（组）的“理想解”.

例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时，2%-3=2X2-3=1,x+3=

2+3=5>0同时成立，则称“x=2是方程2x-3=l与不等式x+3>0的“理想解”.

(1)已知①龙-」>3,②2(x+3)<4,③£1<3,试判断方程2x+3=l的解是否

222

是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；

X=XnfQ

(2)若°是方程x-2y=4与不等式组”v3的“理想解"，求xo+2泗的取值范

y=y0ly<1

围.

23.(12分)已知，如图，A3是O。的直径，点C为。。上一点，0RL3C于点

交O。于点E,AE与BC交于点H,点、D为0E的延长线上一点，且N0D3=ZAEC.

(1)求证：3。是O。的切线；

(2)连接3E,求证：BE?=EH・EA；

(3)若O。的半径为10,sinA=3，求3H的长.

5

24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y卷X-2的图象分别交X轴、y轴

于点A、B,抛物线经过点A、B,E是线段的中点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点R是抛物线上的动点，当/0ER=N3AE时，求点R的横坐标；

(3)在抛物线上是否存在点P,使得△A3P是以点A为直角顶点的直角三角形，若

存在，请求出尸点坐标，若不存在，请说明理由；

(4)抛物线上(A3下方)是否存在点使得NA5M=NA3。？若存在，求出点

〃到y轴的距离，若不存在，请说明理由.

2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（卷小题4分，共40分。每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将确选

项的代号硫途在都题书的相应往置上）

1.（4分）-2023的倒数是（）

A.2023B.一LC.-2023D.1

20232023

【答案】B

【分析】运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解.

【解答】解：：-2023X（-1）=1,

2023

・•.-2023的倒数是-

2023

故选：B.

2.（4分）2022年怀化市全力加快陆港建设，架起了对接东盟的开放桥梁，设施功能

不断善，全年完成投资98亿元，其中数据98亿元用科学记数法表示是（）

A.98X108B.9.8X108C.0.98X1O10D.9.8X109

【答案】D

【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定

〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的

位数相同.当原数绝对值三10时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解：98亿=9800000000=9.8X109.

故选：D.

3.（4分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

【答案】D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：4既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意;

3、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

4.(4分)下列运算正确的是()

A.3x+3y=6xyB.2#・a=2a

C.(a+6)2=a2+b2D.(-3pq)2=-6p2q2

【答案】B

【分析】分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可.

【解答】解：A.3x和3y不是同类项，不能合并，故本选项不合题意;

B.2屋+a=2a,故本选项符合题意；

C.(a+Z?)2=a2+2ab+b2,故本选项不合题意；

D.(-3pq)2=9p2q2,故本选项符合题意.

故选：B.

5.（4分）下列立体图形中，三视图都一样的是（)

【答案】C

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到

的图形解答即可.

【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意;

3、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意;

C、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；

。、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意.

故选：C.

6.（4分）如图，直线。〃人，直线/与a,6分别相交于A,两点，AC_LA3交Z?于点

C,Zl=40°,则N2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】先根据平行线的性质求出NA3C的度数，再根据垂直的定义和余角的性质

求出N2的度数.

【解答】解：•.•直线。〃江

：.Z1=ZCBA,

VZ1=4O°,

AZCBA=40°,

'：AC±AB,

：.Z2+ZCBA=9Q°,

.*.Z2=50°,

故选：C.

7.（4分）要了解怀化市九年级学生的视力状况，从中随机抽查了500名学生的视力状

况，下列说法不正确的是（）

A.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生

B.本次调查是抽样调查

C.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况

D.本次抽查的样本容量是500

【答案】A

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是

总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总

体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出总体、

个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容

量.

【解答】解：A.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，原说法

错误，故本选项符合题意;

B.本次调查是抽样调查，说法正确，故本选项不符合题意;

C.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，说法正确，故本选项

不符合题意；

D.本次抽查的样本容量是500,说法正确，故本选项不符合题意；

故选：A.

8.（4分）如图，△OR4是由△ODC绕点。旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转

B.逆时针旋转90°

C.逆时针旋转60°D.逆时针旋转30°

【答案】B

【分析】根据旋转的性质，即可解答.

【解答】解：如上图，△OB4是由△ODC绕点。旋转得到的图象，则其旋转的方

向和旋转的角度可能是逆时针旋转90°,

故选：B.

9.（4分）如图，在△ABC中，ZC=90°,用直尺和圆规在边3C上确定一点P,使

点尸到边ACA3的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

cc

【答案】c

【分析】P到边AC、A3的距离相等，可知点尸在NA的平分线上，由此判断即可.

【解答】解：•••「到边AC、A3的距离相等，

点尸在NA的平分线上.

故选：C.

.(4分)如图，已知反比例函数y上与一次函数y=-x+3的图象交于A、3两点,

尸为y轴上一动点，连接以、尸3,当必+P3取得最小值时，△A3P的面积为()

3

2

【答案】D

【分析】联立两个函数解析式，求出43两点坐标，利用轴对称求出必+P3取得

最小值时点尸的坐标，铅锤法求出面积即可.

’a

【解答】解：联立函数解析式得：yT,

y=-x+3

解得［'=2,或［x=l,

ly=lly=2

・•.根据图示位置，A(1,2),B(2,1),

找到点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点P,此时点P就是满足PA+PB

取得最小值的位置.

•.,点A(1,2),

AC(-1,2),B(2,1),设直线的解析式为了=履+6,

••[-k+b=2①

'I2k+b=l0，

②-①得3左=-1,

：.k=-A,将k=-工代入①得：—+t=2,

333

3

直线BC的解析式为：y=-L+上，

33

令无=0,y=-

3

:.p(o,A).

3

根据解出条件可知：AC=2,

••S/\PAB=SAABC~S/\APC,

.,.SAMB=1XACX(VA-yB)-IXACX(yA-yP)

22

=AX2X(2-1)-AX2X(2-.§.)

223

=2

3"

故选：D.

二、填空题。(每小题4分，共24分。请将答案直接填写在答题卡的相应位置上。)

11.(4分)分解因式：/-xy=x(x-y).

【答案】见试题解答内容

【分析】根据观察可知公因式是X,因此提出X即可得出答案.

【解答】解：x2-xy=x（x-y）.

12.（4分）一组数据1,2,5,3,。的平均数是3,则中位数是3.

【答案】3.

【分析】根据中位数的定义求解即可.

【解答】解：根据题意，1,2,5,3,。的平均数是3,

l+2+5+3+a=3,

~5，

解得，（2=4,

将这组数据从小到大排列为1,2,3,3,5,

最中间的数是3,则这组数据的中位数是3.

故答案为：3.

13.（4分）函数丫金且中，自变量x的取值范围是x24且xW5.

x-5

【答案】x24且xW5.

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，厂4三0且『570,

解得x24且xW5.

故答案为：G4且xW5.

14.（4分）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC上，1.DE//BC.若AD=2,

AB=3,DE=4,则BC的长为6.

【分析】由DE//BC可得出NADE=NA3C,ZAED=ZACB,进而可得出△ADE

^AABC,再利用相似三角形的性质可得出因=胆，代入AD=2,AB=3,DE=4

DEAD

即可求出BC的长.

【解答】解：VDE//BC,

：.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

：.AADE^AABC,

・BC—ABpnBC_3

DEAD42

：.BC=6.

故答案为：6.

15.（4分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CDLAB,垂足为

D,则tanNBCD的值是_3_.

DR

【答案】见试题解答内容

【分析】先求得然后根据锐角三角函数的概念求解即可.

【解答】解：在RtZkABC与RtZ\3CD中，ZA+ZB=9Q°,ZBCD+ZB=9Q°.

ZA=ZBCD.

tanZBCD=tanZA=^=^-=—.

AC84

故答案为国.

16.(4分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公

式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,

记上*,则其面积S=4p(p-a)(p-b)(p-c).这个公式也被称为海伦-秦九韶

P2

公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为2人.

【答案】275.

【分析】由已知可得a+0=6,S=-5(5-a)(5-b)=事＞Wab-5，把人=6-。代入S

2

的表达式中得：S=75-V-a+6a-5-由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可

求得S的最大值.

【解答】解：'：p=5,c=4,p上*.

P2

・・〃+6=2〃-c=6.

S=V5(5-a)(5-b)(5-4)=4sWab-5•

由a+b=6,得b=6-a,代入上式，得：Wa(6-a)-5M»V-a2+6a-5•

^.y=-a2+6a-5,当y=-/+6。-5取得最大值时，S也取得最大值.

y=-a~+6a-5=-(tz_3)2+4.

.•.当a=3时，y取得最大值4.

.•.S的最大值为fX74=275.

故答案为：275.

三、解答题。(本大题共8小题，共86分)

17.(8分)计算：卜门-2|+3tan30°-得厂2-2023工

【答案】-3.

【分析】首先计算零指数募、负整数指数募、特殊角的三角函数值和绝对值，然后

计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

20

［解答］解：173-2|+3tan300-(-y)~-2O23

=2-依+3X返-4-1

3

=2--4-1

_3.

2_

18.（8分）先化简，再求值：（上⑴邛釐x+1,其中x=&-i.

x-1x2-l

【答案】见试题解答内容

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把X的值代入计算即可.

【解答】解：原式=（上-311）（钊”、

X-1x-1（x+1）（X-1）

=，X

x-1x+1

=1

x+1'

当％=&-1时，原式=~j=J：——=Y2.

V2-1+12

19.（10分）如图，在口ABCD中，点E,R分别在边A3,CD上，且四边形3EDE是

正方形.

（1）求证：AADE/ACBF；

（2）已知口ABCD的面积为20,AB=5,求CT的长.

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）1.

【分析】（1）根据平行四边形的性质和正方形的性质，可以得到AD=CB,ZA=Z

C,AE=CF,然后根据SAS,即可证明结论成立；

（2）根据平行四边形的面积=底乂高，可以计算出DE的长，再根据正方形的性质

和平行四边形的性质，即可得到CR的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形A3CD是平行四边形，

：.AD=CB,ZA=ZC,DC=AB,

:四边形3EDR是正方形，

：.DF=BE,

：.AE=CF,

在△ADE和△C3R中，

'AD=CB

<ZA=ZC-

AE=CF

.,.△ADE2ACBF(SAS)；

(2)解：•.•□ABC。的面积为20,AB=5,DELAB,

.•.。石=型3=4,AB=DC=5,

AB5

,/四边形BEDF是正方形，

：.DF=DE=4,

：.CF=DC-DF=5-4=1,

即CR的长是L

20.(10分)某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一

次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，

桂花树苗8棵，共花费2800元.(两次购进的两种树苗各自的单价均不变)

(1)两种树苗的单价分别是多少元？

(2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗

的数量不超过桂花树苗数量的3倍，问：共有哪几种购买方案？至少要用多少钱？

【答案】(1)樟树苗的单价是50元，桂花树苗的单价是200元；

(2)共有3种购买方案，

方案1：购买28棵樟树苗，12棵桂花树苗；

方案2：购买29棵樟树苗，11棵桂花树苗;

方案3：购买30棵樟树苗，10棵桂花树苗，至少要用3500元.

【分析】(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，根据“第一次购进

樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树

苗8棵，共花费2800元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买加棵樟树苗，则购买(40-m)棵桂花树苗，根据“总费用不超过3800

元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍”，可列出关于机的一元一次不

等式，解之可得出机的取值范围，结合机为正整数，即可得出各购买方案，再求出

各方案所需总费用，比较后即可得出结论.

【解答】解：(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，

根据题意得：(20x+10y=300°,

l24x+8y=2800

解得：产50.

ly=200

答：樟树苗的单价是50元，桂花树苗的单价是200元；

(2)设购买棵樟树苗，则购买(40-m)棵桂花树苗，

根据题意得：［50m+200(40-m)<3800,

IirtC3(40-m)

解得：28W/nW30,

又•••加为正整数，

.•.机可以为28,29,30,

共有3种购买方案，

方案1：购买28棵樟树苗，12棵桂花树苗，所需费用为50X28+200X12=3800(元)；

方案2：购买29棵樟树苗，11棵桂花树苗，所需费用为50X29+200X11=3650(元)；

方案3：购买30棵樟树苗，10棵桂花树苗，所需费用为50X30+200X10=3500(元).

73800>36500>3500,

.•.至少要用3500元.

21.（12分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”

“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展

为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课

程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘

制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有120名学生参与了本次问卷调杳:“陶艺”在扇形统计图中所对应的

圆心角是99度;

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状

调查结果的扇形统计图

（2）图形见解析;

（3）1.

5

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查

的学生人数，即可解决问题;

(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课

程的结果有5种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：(1)参与了本次问卷调查的学生人数为：30^25%=120(名)，

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°乂卫=99°,

120

故答案为：120,99；

(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120X54：=18(名)，

360

(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、

C、D、E,

画树状图如下:

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为

255

22.(12分)使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和

不等式(组)的“理想解”.

例：已知方程2%-3=1与不等式冗+3>0,当元=2时，2x-3=2X2-3=1,%+3=

2+3=5>0同时成立，则称“九=2是方程21-3=1与不等式％+3>0的“理想解”.

(1)已知①彳-工>旦，②2(x+3)<4,③二1<3,试判断方程2x+3=l的解是否

222

是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；

X=X(

(2)若°n是方程》-2〉=4与不等式组,13的“理想解"，求xo+2/的取值范

=

yy0ly<1

围.

【答案】(1)x=-1是方程2x+3=l与不等式二1<3的“理想解”

2

(2)2Vxo+2yo<8.

【分析】(1)解方程2%+3=1的解为％=-1,分别代入三个不等式检验即可；

(2)由方程x-2y=4得xo=2yo+4,代入不等式解得-^■VyoVl,代入解得3Vxo

<6,继而可求得2V%o+2yo<8.

【解答】(1)解方程2%+3=1得，x=-1,

当X=-1时，X--=-1--=-—<—,

2222

则方程2x+3=l的解不是不等式％-工>区的理想解；

22

当x=-1时，2(x+3)=2(-1+3)=4,

••.2x+3=l的解不是不等式2(x+3)<4的理想解；

-1<3,

22

：.2x+3=l的解是不等式三1<3的理想解;

2

x>3汨

(2)由方程x-2y=4得xo=2yo+4,代入不等式组.

’2y0+4>3

\yO<l

解得-A<yo<l,

2

则-l<2yo<2,3V2yo+4V6,

/.2<xo+2)；o<8.

23.(12分)已知，如图，A3是O。的直径，点C为O。上一点，3c于点R

交O。于点E,AE与BC交于点H,点、D为OE的延长线上一点，且N0D3=ZAEC.

(1)求证：3。是OO的切线；

(2)连接3E,求证：BE?=EH・EA；

(3)若O。的半径为10,sinA=3，求3H的长.

5

【答案】(1)见解答；

(2)见解答；

(3)15.

【分析】(1)如图1中，欲证明3。是切线，只要证明ABLBD即可；

(2)连接AC,如图2所示，欲证明只要证明即可；

CE2=EH.EA,△CEHS2\AEC

(3)连接3E,如图3所示，由。严二石/小胡，可得后“=9,在中，根据

BH=I/BE2+EH2，计算即可;

【解答】（1）证明：如图1中,

,?ZODB=ZAEC,ZAEC=ZABC,

：.ZODB=ZABC,

'：OFLBC,

：.ZBFD=9Q°,

：.Z0DB+ZDBF=9Q°,

ZABC+ZDBF=9Q°,

即NO3D=90°,

：.BD±OB,

•••3。是O。的切线；

(2)证明：连接AC,如图2所示：

'：OFLBC,

••B〉「=CE，BE—CEt

：.ZCAE=ZECB,

'：ZCEA=ZHEC,

：.ACEH^AAEC,

/.CE=M,

**EHGE;

：.CE2=EH'EA,

:.B/=EH・EA；

(3)解：连接BE,如图3所示:

..•AB是OO的直径，

AZAEB=90°,

,：QO的半径为10,sinZBAE=l,

5

：.AB=2Q,BE=AB'smZBAE=20xl=12,

5

A£A=VAB2-BE2=16,

VBE=CE-

：.BE=CE=12,

,:CE?=EH*EA,

：.EH=9,

・•.在RtABEH中，B^=7BE2+EH2=V122+92=15-

24.（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫得乂-2的图象分别交工轴、V轴

于点A、B,抛物线丁=/+法+。经过点A、B,E是线段的中点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点R是抛物线上的动点，当NOEE=NR4E时，求点口的横坐标;

(3)在抛物线上是否存在点P,使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若

存在，请求出尸点坐标，若不存在，请说明理由;

(4)抛物线上(A3下方)是否存在点使得若存在，求出点

〃到y轴的距离，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=x2-Lx-2；

2

(2)点F的坐标为：(2-泥，-匹)或(生退1,返19)；

222

(3)存在，点P的坐标为：(-$,13)；

2

(4)存在，点〃到y轴的距离为旦.

【分析】(1)用待定系数法即可求解;

(2)当点R在x轴的下方时，由N0ER=NB4E,则直线ER〃A3,得到直线ER

的表达式，进而求解；当点R(尸)在X轴上方时，同理可解;

(3)/XABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即/以3=90°,由直线A5的表

达式知，tan/Q43=l,则tanN/^。：？，得到直线心的表达式，进而求解；

2

⑷证明是。T的中垂线，贝ljOT=2OH,求出点T(生-西)，进而求解.

55

【解答】解：(1)令x=0,得尸L-2=-2,贝1]3(0,-2),

2

令y=0,得0=