2024届辽宁省辽阳市高考数学二模试卷含解析

2024届辽宁省辽阳市高考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,所成的角的余弦值为()

2.设等差数列｛。“｝的前”项和为S"，且$8=0,%=-3,贝！)$9=()

A.9B.12C.-15D.-18

3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹

长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若a=32,b=12,则输出的“=

()

A.3B.4C.5D.6

0,

4.已知复数二^=1—初，其中。，北火，i是虚数单位，^\a+bi\=()

i

A.-l+2zB.1C.5D.V?

5.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，函数/(x)满足/(x)=/(x+4)，且%e(0,1］时，/(%)=log2(x+l),

贝!)/(2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

6.某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点4。,0）作x轴的垂线与曲线

y=/相交于点过3作y轴的垂线与y轴相交于点C（如图），然后向矩形Q钻C内投入M粒豆子，并统计出

这些豆子在曲线丁=/上方的有N粒则无理数e的估计值是（）

7.函数/(%)=2%—攸尤+1］在［—2,1］上的最大值和最小值分别为()

22

A.-2B.——，-9C.-2,-9D.2,-2

33

8.关于函数/（x）=|cosx|+cos|2x|,有下列三个结论:①万是/Xx）的一个周期；②Ax）在上单调递增;

③/（X）的值域为[-2,2].则上述结论中，正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

9.命题。：存在实数X。，对任意实数x,使得sin（尤+X0）=-^11兀恒成立；q：\/a>Q,/（x）=In——^为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是（）

A.pzqB.（可）v（->q）c.pA（-><7）D.Jp）八q

10.如图，矩形ABC。中，AB=1,BC=&，E是4。的中点，将ZkABE沿3E折起至A,BE,记二面角A-BE-。

的平面角为a,直线AE与平面3COE所成的角为£,AE与3c所成的角为/,有如下两个命题：①对满足题意的

任意的A'的位置，a+(3<7i.②对满足题意的任意的A'的位置，a+y<7i,贝！|()

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

11.如图，在ABC中，AD±AB,BD=xAB+yAC(x,yG7?),|AD|=2,且ACAD=12，则2x+y=()

A

334

1?

12.若函数/(%)=3*3+*2一孑在区间3,。+5)上存在最小值，则实数。的取值范围是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(一3,0)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过圆d+/+2%—4y=0的圆心且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为.

14.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布

表如下:

满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合计

高一1366420

高二2655220

根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分评分<70分70W评分＜90评分290分

满意度等级不满意满意非常满意

假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二

年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件4发生的概率为

15.(1—2力(1+力6的展开式中犬的系数为

16.(5分)函数/0)=111(17)+"+^^的定义域是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在等比数列｛氏｝中，已知4=1,%=:•设数列出｝的前"项和为S“，且々=T,%+2,=—〈S“T

82

(n>2,nGN*).

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

'b

(2)证明：数列」是等差数列；

(3)是否存在等差数列｛%｝,使得对任意〃eN*，都有S“<g<4?若存在，求出所有符合题意的等差数列｛&｝；

若不存在，请说明理由.

18.(12分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,4c,已知疝b,且

cos2A-cos2B=A/3sinAcosA-^3sinBcosB•

(I)求角C的大小；

(II)若。=石，求AABC面积的取值范围.

19.(12分)已知函数/'(£)=63—xQaeR,e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+7nx+1.

(1)若/(%)有两个零点，求实数。的取值范围；

(2)当〃=1时，％["*)+司之8(%)对任意的行(0,茁)恒成立，求实数机的取值范围.

20.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩

分布在[40』00],分数在80以上(含80)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到

成绩的频率分布直方图如图所示.

(I)求。的值,并计算所抽取样本的平均值最(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(H)填写下面的2x2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.

女生男生总计

获奖5

不获奖

总计200

附表及公式:

P(K』。)0.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.7063.8415.0246.6357.87910.828

其中心一^——,n=abcd.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)+++

22

21.(12分)已知椭圆。：二+3=1(。〉人〉0)的左，右焦点分别为耳,耳，直线/：y=Ax+m与椭圆C相交于RQ

ab

两点；当直线/经过椭圆C的下顶点A和右焦点B时，八耳「。的周长为4夜，且/与椭圆。的另一个交点的横坐标

出4

%

(1)求椭圆。的方程；

(2)点M为△POQ内一点，。为坐标原点，满足MP+MO+MQ=0,若点以恰好在圆。%2+/=-±,求

实数加的取值范围.

22.(10分)小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是《，且是否

休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.

(1)求发生调剂现象的概率；

(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

试题分析：设AC、6。的交点为。，连接EO,则NAEO为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，

AE2+O42—石。2

则AE=-a,EO=-a,OA=­a所以cosNAE。=

2222AEOA

~~＞故C为正确答案.

考点：异面直线所成的角.

2、A

【解析】

由§8=0,%=-3可得以及为，而S9=S8+a9,代入即可得到答案.

【详解】

q+2d——3,

q=-7,

设公差为d,贝!In8x7,八解得

8%+一1-.d=0,d=2,

a。=%+8d—9,所以Sg-Sg+—9.

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.

3、B

【解析】

分析：根据流程图中的。=。+@可知，每次循环。的值应是一个等比数列，公比为2；根据流程图中的〃=%可知,

22

每次循环力的值应是一个等比数列，公比为2,根据每次循环得到的。力的值的大小决定循环的次数即可.

详解：记执行第〃次循环时，”的值记为有4,则有a“=321|］；

记执行第〃次循环时，b的值记为有则有包=12x2".

令321|[<12x2%则有图<|>故

n>4,故选B.

点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项

满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前几和、前〃项积等).

4、D

【解析】

0•

试题分析：由——-二1一次，得2—5二=a=—l,b=2,贝!|

a+bi=-l+2i,:.\a+bi\=|-1+2i\=/—if+2?=非,故选D.

考点：1、复数的运算；2、复数的模.

5,D

【解析】

/(x)=/(x+4)说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值.

【详解】

由/(幻=/(x+4)知函数Ax)的周期为4,又Ax)是奇函数，

/(2)=/(-2),又/(—2)=—八2),.•.*2)=0,

.­./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1,

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.

6、D

【解析】

利用定积分计算出矩形Q43C中位于曲线V=/上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e的等式，

解出e的表达式即可.

【详解】

在函数y=，的解析式中，令x=l,可得y=e,则点8(1,e),直线的方程为丁=6,

1

矩形Q钻C中位于曲线y="上方区域的面积为S=J(e—公ntx-eOLnl,

矩形Q钻C的面积为lxe=e,

N1M

由几何概型的概率公式得一=一，所以，e=—.

MeN

故选：D.

【点睛】

本题考查利用随机模拟的思想估算e的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域

的面积，考查计算能力，属于中等题.

7、B

【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在［-2,1］上的最大值和最小值.

【详解】

5x+1,—2Vx<—

依题意，/(x)=2x-|3x+l|=］3,

-x-1,——<x<1

I3

作出函数/(X)的图象如下所示；

12

由函数图像可知，当x=-1时，/(%)有最大值-

当x=—2时，/(X)有最小值-9.

故选:B.

【点睛】

本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.

8、B

【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.

【详解】

①因为/(尤)=/(%+》)，所以〃是/(X)的一个周期，①正确；

②因为/(乃)=2,所以/(x)在上不单调递增，②错误；

JT

③因为/(—X)=/(%),所以“X)是偶函数，又〃是"X)的一个周期，所以可以只考虑XC0,-时，/(X)的值域.当

xe0,3时，?=COS^G[0,1],

f[x}=|cosx|+cos12x|=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-l=2r+t-l

丁=2/+"1在[0』上单调递增，所以/(%)<—1,2],人尤)的值域为[—1,2],③错误；

综上，正确的个数只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质应用.

9、A

【解析】

分别判断命题〃和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题P,由于sin(x+»)=—sinx,所以命题。为真命题.对于命题q,由于。>0,由叶江>。解得—a<x<a,

a—x

且/(—x)=lnX=ln[9]=—In史三=—/(x),所以/(%)是奇函数，故4为真命题.所以2八4为真命题.

a+xa-x

(r?)v(-)a)、。A(「(?)、(「「)Aq都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

10、A

【解析】

作出二面角a的补角、线面角£、线线角/的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【详解】

①如图所示，过4作平面3CDE，垂足为。，连接0E，作连接AM.

由图可知NA'MO=万一o，/AEO=/3"AMO=7i—a,所以。+月〈万，所以①正确.

②由于BC//DE,所以AZ与BC所成角7="—NA'EO〈NA'MO=»—。，所以£+所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11、C

【解析】

由题可AO•AB=0,AC•=12,所以将已知式子中的向量用A。,AfiAC表示，可得到的％，V关系，再由瓦C三

点共线，又得到一个关于羽y的关系，从而可求得答案

【详解】

由Br>=xAB+yAC，贝！I

AD=(x+l)AB+yAC,ADAD=AD[(x+AB+yAC]=(x+l)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=§,

又B,Q,C共线，则x+l+y=l,x=—g,2x+y=—g.

故选:C

【点睛】

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

12、C

【解析】

求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.

【详解】

由题意，f(x)=x2+2x=x(x+2),故｛x)在(一s,—2),(0,+向上是增函数，在(-2,0)上是减函数，作出其图象如

图所示.

_—3<a<0

则结合图象可知，\uc解得“G[-3,0),

a+5>0

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3x—2y+7=0

【解析】

根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.

【详解】

x-+y2+2x—4y—0圆心为(-1,2),

所求直线与直线2x+3y=0垂直，

设为3x—2y+C=。，圆心(—1,2)代入，可得。=7,

所以所求的直线方程为3x—2y+7=0.

故答案为：3x-2y+7=0.

【点睛】

本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.

14、0.42

【解析】

高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.

【详解】

131

由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为《，满意的概率为非常满意的概率为《，

211

高二家长满意等级为不满意的概率为二，满意的概率为大，非常满意的概率为一，

5210

高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况:

1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为3义2=9；

5525

172

2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为-x—=一；

5525

3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为工x^=L.

5210

由加法公式，知事件A发生的概率为三+三+]=三=0.42.

25251050

故答案为：0.42

【点睛】

本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.

15、3

【解析】

分别用1和(-2%)进行分类讨论即可

【详解】

当第一个因式取1时，第二个因式应取含炉的项，则对应系数为：lxC；=C；=15；

当第一个因式取-2%时，第二个因式应取含x的项，则对应系数为：(-2)xC：=-12；

故(1一2x)(1+x)6的展开式中x2的系数为仁+(―2)C：=3.

故答案为：3

【点睛】

本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题

16.[-1,1)

【解析】

l-x>0fx<1

要使函数/(X)有意义，则，、,C，即，/解得—1WX<1,故函数f(X)的定义域是HM).

4+3%-%->0[-!<%<4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)%=(£)⑵见解析⑶存在唯一的等差数列｛g｝,其通项公式为c〃=0,“eN*满足题设

【解析】

11/?Z?

⑴由％=1,可得公比彘即得；⑵由⑴和4+2=—彳可得数列也｝的递推公式，即可知二包一

82an+lan

结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列也,｝的通项公式，"=—2（4+]+2用），设出等差数列｛%｝,再根据不

等关系Sn<cn<an来算出｛%｝的首项和公差即可.

【详解】

⑴设等比数列｛。“｝的公比为g,因为q=l,%=：，所以q=L解得q='.

882

所以数列｛4｝的通项公式为：•

（2）由（1）得，当〃22,“eN*时，可得+优=—gs'T①，

修+》=」S②

（2）2

②—①得，,

bb

因为伪=T,由①得，4=0,所以二一-L=0-（-l）=1,

bh

所以4一"=1,neN*.

a

4+1n

b

所以数列1是以-1为首项，1为公差的等差数列.

⑶由⑵得卜=〃一2,所以d=Z|^,s,=—2（%+1+〃+1）=—21（+=—六.

假设存在等差数列｛%｝,其通项c“=dn+c，

使得对任意〃eN*，都有S“<c„<an,

〃1

即对任意〃wN*，都有一万^^dn+c<-―^.③

首先证明满足③的4=0.若不然，dwO,则d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,则当〃〉——,〃EN*时，c=dn+c>l>――=a,

d2"T

这与gVg矛盾.

1+c

(ii)若d<0,则当〃,------,〃wN*时，c=dn+c<-l.

dn

而S〃+「s〃=—号+券=展20,51=s2<s3<，所以S.2H=—L

故c“=d〃+c<—1<S“，这与S“<c”矛盾.所以d=O.

其次证明：当％之7时，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因为尸(x)=ln2—,>ln2—工>0,所以/(x)在［7,+8)上单调递增，

x7

64

所以，当龙之7时，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以当“eN*时，2“T>”2.

再次证明c=0.

1n1

(iii)若c<0时，则当n>一一，〃wN*，S=~—T>—>c,这与③矛盾.

cn2n

(iv)若c>0时，同(i)可得矛盾.所以c=0.

当g=0时，因为S〃=呆WO,a〃=,［〉0,

所以对任意〃eN*，都有S“<g<4.所以c.=0,〃eN*.

综上，存在唯一的等差数列{g},其通项公式为q,=0,〃eN*满足题设.

【点睛】

本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推

理能力.

7i

18、⑴C=-;(II)S“(0,苧

【解析】

(I)根据co根A-cos?5=若sinAcosA-J^sinBcos/，利用二倍角公式得到

1+c°s2A—1+c°s2B=好sin2A一3sin2B,再由辅助角公式得到5由卜4一?］=sin卜,然后根据正

2222I6jk6J

弦函数的性质求解.

(II)根据(I)由余弦定理得到3=4+02—",再利用重要不等式得到然后由S树c=；仍sine求解.

【详解】

2

(I)因为cos2A-cosB=A/3sinAcosA-^3sinBcosB,

所以3丝一320=tin2A—立sin2B,

2222

且sin2A=&n23一期辿

2222

sin12A—?J=sin126—7J,

2A-工=23-2或2A-2+23-工=〃，

6666

9

A=JB或A+3=T^

因为a】b,

所以4+8=等

TT

所以c二二；

3

(II)由余弦定理得：c?=/+人2-2O6COSC,

所以/+/=3+ab>2ab，

所以a》W3,当且仅当a=b取等号，

又因为出b,

所以a5<3,

所以S“BC=—absinc=

2哈

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19、(1)0,()；(2)(—8,1]

【解析】

(1)将/(%)有两个零点转化为方程。=皿有两个相异实根，令G(x)=比求导，利用其单调性和极值求解；

XX

Inx1InY1

(2)将问题转化为加-上」」对一切尤w(0,a)恒成立，令E(x)=/——-——(x>0),求导，研究单调性,

XXXX

求出其最值即可得结果.

【详解】

(1)/(%)有两个零点0关于工的方程6网=工有两个相异实根

由e"'>。，知尤>0

・・.〃尤）有两个零点o。=—有两个相异实根.

X

人〜、Inx1-lnx

令G（x）=——，则G'（x）=——,

X

由G（x）>0得：0<x<e,由G'（x）<0得：X>e,

.•.G（x）在（0,e）单调递增，在（e,a）单调递减

•••GGL=G（e）=j

又G（l）=0

.二当Ovxvl时，G（x）<0,当x>l时，G（x）>。

当％—>H~oo时，G（x）—>0

・••/（%）有两个零点时，实数a的取值范围为10,（）;

（2）当a=l时，f[x）=ex-x,

原命题等价于xex>lnx+mx+l对一切尤e（0,”）恒成立

<------------------^m<ex---------对一切xe（0,+00）恒成立.

xx

令/x）=e'_地—工（x>0）

XX

:.m<F（x\.

\zmin

广（…+*止萼

XX

令//（%）=fd+lnx,x£（0,+oo）,贝（I

“（%）=2xe+x2ex+—>0

.,.力(%)在(0,+8)上单增

又/z(l)=e>0,her'-l<e0-1=0

plL使力(毛)=0即%;e%+ln%o=0①

当xe(0,尤o)时，&(x)<0,当xe(面,+oo)时,7z(x)>0,

即网X）在（0,不）递减，在5,+8）递增,

AoAo

由①知焉靖。

=-lnx0

nIn—

•_1__1b1-,与

•.AxrjC-——111—

九0九0冗0I

函数财力=xe，在（0,+。）单调递增

।1

%。=In—即x=-lnx

Jr。00

=-+1-—=1,

\/min

:.m<l

实数机的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性,极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.

20、(I)a=0.025,元=69；(II)详见解析.

【解析】

（I）根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得;

（II）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得2x2列联表，再计算出K2,与临界值比

较可得.

【详解】

解：

(i)a=-Lx[i_(0,01+0.015+0.03+0.015+0.005)xl0]=0.025,

x=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.15+95x0.05=69.

(II)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,

2x2列联表如下：

女生男生总计

获奖53540

不获奖45115160

总计50150200

因为“00常2窜45)~67>3.841,

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生，男生有关.”

【点睛】

本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法

即可，属于常考题型.

21、(1)—+y2=1；(2)或》1<—1

【解析】

(1)由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为4a=40，从而求出a=0.写出直线A8的方程，与椭圆方程联立,

4

根据交点横坐标为求出。和从而写出椭圆的方程；

(2)设出产、。两点坐标，由MP+MO+MQ=0可知点M为△POQ的重心，根据重心坐标公式可将点以用尸、

。两点坐标来表示.由点"在圆。上，知点M的坐标满足圆。的方程，得(*)式.RQ为直线/与椭圆C的