河北省2022年高三年级下册一模考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等差数列｛。“｝中，%+1=8则％+%+%+4+%=()

A.10B.16C.20D.24

2.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎，个位

数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则龙+丁=()

A.170B.10C.172D.12

3.已知数列，是公比为;的等比数列，且q〉0,若数列｛4｝是递增数列，则4的取值范围为()

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

4.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(必+y)3=%2y.给出下

列四个结论：

①曲线C有四条对称轴；

②曲线C上的点到原点的最大距离为工；

4

③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为1；

71

④四叶草面积小于一.

4

其中，所有正确结论的序号是()

+

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

5.已知。为坐标原点，角a的终边经过点尸(3,加)(〃2<0)且sina=10根，贝!Jsin2c=()

10

4334

A.-B.-C.--D.--

5555

6.偶函数/(%)关于点(1,0)对称，当—IWXWO时，f(x)=-x2+l,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

7.(x+y)(2x—y)5的展开式中dy3的系数为()

A.-30B.-40C.40D.50

8.关于函数了(%)=45皿[：%+3]+4以《13%+5],有下述三个结论：

①函数/(X)的一个周期为不；

2

jr37r

②函数/Xx)在上单调递增；

_24_

③函数/(x)的值域为[4,4^].

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.②C.②③D.③

9.下列命题中，真命题的个数为()

①命题“若」一<」一，则a的否命题；

a+2b+2

②命题“若〉1，则x>0或V〉0”；

③命题“若m=2,则直线x-my=0与直线2%—4y+1=0平行”的逆命题.

A.0B.1C.2D.3

10.要得到函数y=j^sinX-3的图象，只需将函数y=J^sin2x-。图象上所有点的横坐标（）

71

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移一个单位长度

4

7T

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移一个单位长度

4

1571

C.缩短到原来的不倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移一个单位长度

224

D.缩短到原来的二倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移坐个单位长度

224

11.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若机_1_〃，nila,则加_LaB.若〃2〃，，/3A-a,则加

C.若n.L/3,n.La,则D.若〃z_L〃，nV/3,）3La,则

12.设等比数列｛4｝的前“项和为S"，贝（）“《］+/<2%”是"2一1<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量。与b的夹角为（，（1=（出,-1）,\b\=l,贝！||2a—切=.

17

14.已知点尸是抛物线>=2必的焦点，M,N是该抛物线上的两点，若|Mb|+|NF|=1,则线段MN中点的纵

坐标为.

x+3y-3<0

15.已知实数（羽y）满足X-y+120则点P（尤,y）构成的区域的面积为,2x+y的最大值为

y>-l

16.已知非零向量4力的夹角为（，且忖="2a—q=则卜/.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

无2

17.（12分）已知函数=1,

（1）求函数/（尤）的单调区间；

4尤2

（2）当0<机<7时，判断函数g（x）=--m，（%>0）有几个零点，并证明你的结论；

(3)设函数“(X)=；x--+/(x)-1x---/(x)-c%2,若函数MX)在(0,+8)为增函数，求实数C的取值

范围.

18.(12分)已知(x+1)"=/+q(x—1)+%(%—1)~+%(x—Ip++<2„(x—1)M,(其中〃eN*)

S==。］+4+%++an-

⑴求s.

⑵求证：当〃上4时，—2）2"+2/.

19.（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，ABLPC,M是AB的中点，点。在上，MD〃平面PAC,平面？AB，

平面PMC,ACPM为锐角三角形，求证:

(2)平面ABC_L平面PMC.

20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：一的右准线方程为x=2,且两焦点与短轴的一

三十三=?（二）二>0）

个顶点构成等腰直角三角形.

（1）求椭圆C的方程;

（2）假设直线/：二二二二.与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并

延长交椭圆C于N,并且，求OB的长；②若原点O到直线I的距离为1,并且右云一-P当.，

OJ

6N=#6MAOB-户口打

时，求AOAB的面积S的范围.

JT]

21.（12分）如图，在正四棱锥尸—A5CD中，AB=2,ZAPC=-f"为必上的四等分点，即3M=—5尸.

34

p

(1)证明：平面平面PBC；

(2)求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值.

22

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：(%-3)2+/=1,椭圆E：=+==1(a>Z>>0)的

ab"

右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.

(1)求椭圆E的方程；

12

(2)设过点A的直线/与圆C相交于另一点与椭圆E相交于另一点M当AN=亍AM时，求直线，的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据等差数列性质得到/+4=8=2%,再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列｛4｝中，%+4=8=2%=>%=4

生+。4++%=5%=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

2.D

【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为80+x=86,故无=6；

乙的平均数为

7+82+80+V+89+91+93+97=88

7

解得>=6,所以x+y=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

3.D

【解析】

先根据已知条件求解出｛4｝的通项公式，然后根据｛4｝的单调性以及4〉0得到用满足的不等关系，由此求解出％的

取值范围.

【详解】

因为4〉0,数列｛凡｝是单调递增数列，

]______1______

所以%〉4〉。，则（工―

（1H1

化简得0<-―1-<——1,所以0<q<l.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据为,%+1之间的大

小关系分析问题.

4.C

【解析】

①利用演y之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为龙。的

关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据国丁满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面

积是否小于！.

4

【详解】

①：当x变为r时，卜2+丁）3=%2,2不变，所以四叶草图象关于y轴对称；

当V变为-丁时，（x2+y2）3=x2y2不变，所以四叶草图象关于X轴对称；

当y变为X时，（Y+y2）3=x2y2不变，所以四叶草图象关于y=x轴对称；

当y变为-X时，（x2+y2）3=x2y2不变，所以四叶草图象关于y=-X轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

/22f

②：因为（V+y2y=犬,2,所以（必+'2）3=X2,2<*十，,

所以k+丁〈工，所以wL,取等号时犬=2=1，

428

所以最大距离为二,故错误；

2

③：设任意一点P（羽y）,所以围成的矩形面积为孙，

因为（必+力3=必'2,所以^^^/+产了之仁孙7，所以孙三,

取等号时x=y=在，所以围成矩形面积的最大值为-，故正确；

,48

④：由②可知必+产〈工，所以四叶草包含在圆炉+9=_1的内部，

44

141T

因为圆的面积为：S=7V1=丁，所以四叶草的面积小于一，故正确.

444

故选：C.

【点睛】

本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲

线的对称性，可通过替换方程中％。去分析证明.

5.C

【解析】

根据三角函数的定义，即可求出m=-1,得出尸(3,-1),得出sin。和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出结

果.

【详解】

mJlO

根据题意，sina=,-=----m,解得m=-1,

册2+910

所以。P=(3,—1),

/W•回3A/10

所以sina=-----,costz=-----，

1010

3

所以sin2tz=2sincrcostz.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.

6.D

【解析】

推导出函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，由此可得出/(2020)=/(0),代值计算即可.

【详解】

由于偶函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，则〃f)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

/(x+2)=-/(-x)=-/(x),则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，

由于当一IWXWO时，/(X)=—三+1,贝!1/(2020)=/(4义505)=/(0)=1.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于

中等题.

7.C

【解析】

先写出(2x-y)5的通项公式，再根据dy3的产生过程，即可求得.

【详解】

对二项式(2x-y)5,

其通项公式为4+i=C；(2尤广'(-y)'=Cg25f(-l)r产了

(x+y)(2x—丁了的展开式中x3y3的系数

是(2x-丁丫展开式中x2/的系数与x3y2的系数之和.

令r=3,可得Jy3的系数为Cj22(-1)3=-40；

令r=2,可得凸2的系数为或23(-Ip=80；

故(x+y)(2x-y)5的展开式中d寸的系数为8。—40=40.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.

8.C

【解析】

3JT17JT17TT(1\

①用周期函数的定义验证.②当％£y时，—^+-e'/(x)=4v2sin—x+--,再利用单调性

判断.③根据平移变换，函数++的值域等价于函数

g(x)=4sing1n

x+4COS-X的值域，而g(x+〃)=g(x),当xe[0,i]时，g(x)=4V2sin-x-\——再求值域.

223

【详解】

因为小+f7C=4sin入+曰+43&1+葛77r171+4sinf|x+^j^/(x),故①错误;

=4cos—XH------

2212212

n3万InVin，所以/'(x)=4sin&x+g)—4cos1兀171

当工£时，-x+-e—XH——=4^/2sin|—x+—

23122423212

|JTTT1\rrTT3万

了石所以/⑴在万彳上单调递增,故②正确;

函数/(%)=4sin(1gx+d71+4cosf^-x+y的值域等价于函数g(%)=4sin；x+4cos；x的值域，易知

23

g(x+i)=g(x),故当xe[O,扪时，g(x)=40sin[；x+g]e[4,4jl],故③正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

9.C

【解析】

否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，

利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.

【详解】

①的逆命题为“若。＞6,则」一＜」一”，

a+2b+2

令a=-1,b=-3可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；

②的逆否命题为“若且＞＜0,则才”《1"，该命题为真命题，故②为真命题；

③的逆命题为“若直线％-7肛=0与直线2x-4y+l=0平行，则m=2"，该命题为真命题.

故选：C.

【点睛】

本题考查判断命题真假.判断命题真假的思路：

⑴判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判

断.

⑵当一个命题改写成“若0,则4”的形式之后，判断这个命题真假的方法：

①若由“。”经过逻辑推理，得出“4”，则可判定“若0,则4”是真命题；②判定“若0,则4”是假命题，只需举一反

例即可.

10.B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数丁=忘垣[2》-0]图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

再将得到的图象向左平移-个单位长度得到y=技讥(x--+-)=加(x,

43412

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合。和9的关系是解决本题的关键.

11.C

【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.

【详解】

对于A,当加为a内与“垂直的直线时，不满足加，4错误；

对于3,设。(3=1,则当加为a内与/平行的直线时，mlip,但根ua,3错误；

对于C,由/九_L，，知：mlIn,又"J_a,C正确；

对于。，设。B=l,则当根为£内与/平行的直线时，mHa,。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础

题.

12.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足4+«3<2a2,S21<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{4}为等比数列，

若6+%<2%成立，有q(7-2q+l)<0,

因为d—2q+120恒成立，

故可以推出q<0且

若S2,T<0成立，

当q=l时，有q<0,

当qwl时，有止2_2<0,因为与匚〉0恒成立，所以有。［<0,

1-ql-q

故可以推出q<0,qeR,

所以y+%<2a2”是“邑,1<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V13

【解析】

根据已知求出利用向量的运算律，求出『即可.

【详解】

由a=(6,—1)可得|a|=7(A/3)2+(-1)2=2，

JI

则a•b=|a|•屹|cosy=1,

所以|2a—切=J(2a—b)2=4a/+『=>/13-

故答案为:而

【点睛】

本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.

14.2

【解析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.

【详解】

2

抛物线丫=2炉的标准方程为：x=-y,则抛物线的准线方程为丁=-』，设M(x”，为)，N(xN,yN),贝!!

28

\MF\+\NF\=yM+^+yN+^=^,所以则线段"N中点的纵坐标为必要上=2.

8842

故答案为：2

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用,

本题较为基础.

15.811

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下图所示：

数形结合可知，可行域为三角形，且底边长BC=8,高为2,

故区域面积S=^x8x2=8；

2

令2=2x+y,变为y=-2x+z,

显然直线y=—2x+z过冬6,-1）时，z最大，故乙山=2x6—1=11.

故答案为：8；11.

【点睛】

本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.

16.1

【解析】

由已知条件得出4a2—4|a|.|b|.cos<a*〉+占2=3,可得-1。|-1=0,解之可得答案.

【详解】

向量a,匕的夹角为,且|2a—切=若，|6|=1,可得：4。2一4|a|.g|.cos<a,6>+户=3,

可得21al2—|。|一1=0,解得|。|=1,

故答案为:L

【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属

于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(—8,0),(2,+8)；(2)有2个零点，证明见解析；(3)c<-《

【解析】

(1)对函数〃尤)求导，利用导数/'(%)的正负判断函数/(%)的单调区间即可；

2

(2)函数g(x)=二-机,(x20)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明；

ex

[21

(3)记函数F(x)=/(%)-(%--)=—-x+-,%>0，求导后利用单调性求得尸⑴•F(2)<0,由零点存在性定理及单

调性知存在唯一的/e(l,2),使E(%)=0,求得力(龙)为分段函数,求导后分情况讨论：①当X〉/时，利用函数的单

调性将问题转化为2cW"⑺血的问题;②当0<x<x°时，当cWO时,〃(x)>0在(0,%)上恒成立，从而求得c的取

值范围.

【详解】

/、£，，、2x-e-x-ex(2-x)力士人丁

(1)由题意知,/(%)=,八2=%，列表如下：

(e)e

X(-°o,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(x)—0+0—

/(尤)极小值T极大值

所以函数/(%)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(—8,0),(2,+8).

Y

(2)函数g(%)=--%(尤20)有2个零点.证明如下:

ex

44

因为0<根<E时，所以冢2)二万一相>0,

ee

因为g⑴==⑹,所以g(X)〉。在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上单调递增,

由g(2)>0,g(0)=-〃z<0,且g«)在(0,2)上单调递增且连续知,

函数g(x)在(0,2)上仅有一个零点,

由⑴可得转0时,⑺1rax,

V24

即土K；<1,故了之0时，/>必，

/e2

由人>必得师〉臼，平方得e赤〉所以g(2)<0,

mm7m

因为g'(x)=Mj：x),所以g'(x)<0在(2,-+W)上恒成立，

44

所以函数g(x)在(2,转)上单调递减，因为0<根</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上单调递减且连续得

g(x)在(2,+8)上仅有一个零点，

V2...

综上可知：函数g(x)=-----冽,(％20)有2个零点.

ex

1X21

(3)记函数/(%)=/(%)—(%—七)=二—］+±,%>0,下面考察方(%)的符号.

xexx

求导得尸(x)=xQ：x)—1_3,%>0.

ex-

当了22时广(x)<0恒成立.

当0v%v2时，因为x(2—x)〈［正03f=i,

2

所以/(X)="2x)一］一_一_L<0.

exex"xx

：.「(无)<。在(0,+8)上恒成立，故F(x)在(0,+8)上单调递减.

143

VF(l)=->0,F(2)=—-2<o,F(l)-F(2)<0,又因为尸(x)在［1,2］上连续,

ee2

所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的不£(1,2),使/(不)=0,

:.xG(0,x0),F(x)>0;xe(x0,+oo),F(x)<0,

因为忸㈤=%----/(%)，所以。(%)=<x

x2.

---CX,X>XQ

1H---2cx,0<xV/

X

：.h'(x)=<

x(2-%)0

-------------2cx,x>xQ

1y2

因为函数Kx）在（0,+8）上单调递增,F（x0）=x0---------r=0,

xoe

所以/z'（x）＞0在（0,%0）,（乙,+8）上恒成立.

x（2—x）2—x

①当X〉不时，一上—2x20在（x°,+8）上恒成立，即2cv—i在⑺什⑹上恒成立.

exe

记"(x)=——,x>x0,贝！Ju'(x)=——,x>x0,

当x变化时，M(x),"(x)变化情况如下表：

X(%o,3)3(3,+8)

/(%)—0+

u{x}极小值T

”（X）min=获（4极小="（3）=—/，

故2cVM（X）min=一/，即'w一

②当0＜%＜不时，h{x）=\+\-2cx,当cWO时，〃'（%）＞0在（0,%）上恒成立.

X

综合（1）（2）知，实数c的取值范围是c＜-

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数

的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数歹（%），利用零点存在性定理判断其零

点，从而求出函数例＞）的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

18.(1)3"-2"(2)见解析

【解析】

⑴取X—19则％=2〃；取x=2,则。0+%+%+/++。〃=3",

Sn=。]+%+/++an=3"-2〃；

2

⑵要证sn>(n-2)2"+2”2,只需证3">(n-l)2"+2n,

当”=4时，81>80；

假设当〃=左(左24)时，结论成立，即3*〉(4—1)2/+2/,

两边同乘以3得：3A1>3](Z—+—

而伏一3)2/+4/—4k—2=(左一3)2"+4(父—左—2)+6=(左一3)2"+4伏-2)伏+1)+6>0

3A+1>((k+1)-1)21+2/+Ip,即九=左+1时结论也成立，

...当时,3">(〃-1)2"+2〃2成立.

综上原不等式获证.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析；

【解析】

(1)推导出又。/〃咒,由以是AB的中点，能证明。是有中点.

(2)作QV，/3似于点N,推导出CNL平面？A5,从而CNLAB,由ABLPC,能证明AB,平面PMC,由

此能证明平面ABC±平面PMC.

【详解】

证明：(1)在三棱锥P—A5C中，

MD〃平面PAC,平面ALBc平面Q4C=PA,

"Du平面

:.MD//PA,

在AR45中，加是AB的中点，二。是有中点.

(2)在三棱锥P-ABC中，ACBM是锐角三角形，

.,.在ACPM中，可作CNLPM于点N,

平面？A3,平面PMC,平面QABc平面=

CNu平面PMC,C7V_L平面R4B,

•.AB±PC,CNPC=C,

.•.AB，平面PMC,

ABu平面C4B,平面ABC，平面PMC.

【点睛】

本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

20.⑴一；⑵①加②m

-r+™=/Qu=—F-r.-H

【解析】

(1)根据椭圆的几何性质可得到a?,b2；

(2)联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB,利用点到直线的距离公式求得原点到直线1的距离，从而可求

得三角形面积，再用单调性求最值可得值域.

【详解】

(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形'所以二=.；：：，

又由右准线方程为二=：'得到-

解得21=<所以-

所以，椭圆-的方程为一

?+Da=J

⑵①设二(二口»而口(01)，贝L二.

.^9*二"+

因为点二二都在椭圆上，所以

_,将下式两边同时乘以再减去上式，解得，

药+口：=/-1=」

313*j

U।m3一

所以_________r-_-—

□O=^C/+D/=J7+^=T

②由原点二到直线-的距离为:，得_，化简得：；--二=二.

岳7

所以

J-C

的面积

因为—-_厂、在.«为单调减函数,

并且当时，「，当.时,

C/T1J

所以----的面积-的范围为.

L,•,I

【点睛】

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图

形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数

的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取

值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

21.(1)答案见解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根据题意可得PB=PZ)=R4=PC=20，在ZWIM中，利用余弦定理可得AM_LF5,然后同理可得

CMLPB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

ULUU

(2)以。为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为4,的法向量为〃2,利用空间向量的数量积即可

求解.

【详解】

(1)由AB=2nAC=20

由ZAPC=^^PA=PC=AC=2A/2

因为是正四棱锥，故PB=PD=PA=PC=2血

于是BM=也,PM=-42

22

由余弦定理，在△243中，设NAP5=e

尸发+PB?-AB?3

cos61=

2PAPB-4

再用余弦定理，在Zk/XM中，

7

AM2=+PM2-2PAPMcos3=~

2

71

AM2+MB2=-+-=4=AB2

22

，/AMB是直角，AM±PB

同理CMLPB,而P5在平面P5C上，

:.平面AMC±平面PBC

(2)以。为原点建立直角坐标系，如图:

z

y

则D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(l,l,巫),BQ,2,0)

uuu

设面PDC的法向量为4,AMC的法向量为%

则%=PDxDC=(0,276,-2)

nJ/PB,取巧=尸8=(1,1,_厢

于是，二面角。的余弦值为：cose=