河南省焦作市博爱县某中学2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试题（解析版）

焦作市博爱一中2023-2024学年（下）高三第二次模拟考试

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={°'-"},5={l,a-2,2a-2},若4/,则a=（）.

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为则有：

若a—2=0,解得a=2,此时A={0,—2},B={l,0,2},不符合题意；

若2a—2=0,解得a=l,此时A={0,—1},B={l,-l,0},符合题意；

综上所述：a=l.

故选：B.

1323

2.已知。，A均为正实数，且满足一+7=2,则-----+------的最小值为（）

ab2a-12b-3

A.2B.272C.2A/3D.276

【答案】B

【解析】

13

【分析】先将一+—=2化为3a+〃=2a〃，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.

ab

13

【详解】因为〃，人均为正实数，且一+—=2,得3。+6=2次?，

ab

236〃+4/?—96〃+4/?—96〃+4/?—9

加以2a—12b-3（2a—1）（26—3）4ab-6a-2b+33'

又6a+46=3（6。+45）弓+1=；〔18+竺+

>9+6A/2,

4b_18a1+V2

当且仅当<:b2，23

3(2+夜)时取等号，所以------1------>2A/2.

2«-12b—3

—+7=2,

b

4

故选：B.

3.已知事函数/⑺=(/一2a—2)尤"(aeR)在(0,+“))上单调递增，不等式/(x+5)</(%2-3x)的解

集为()

A.(-a),-5)(1,y)B.(―,一1)(5,+8)C.(-1,5)D.(-5,1)

【答案】B

【解析】

【分析】根据事函数的定义及性质求出。的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解

集.

【详解】解：因为函数/(x)=(〃—2a—2)尤"(awR)为暴函数，所以/一24—2=1，解得a=3或

a=-1,

又幕函数/(%)=(。2_2。—2)尤a(awR)在(0,+s)上单调递增，

所以a=3,此时/(x)=x3在R上单调递增，

因为/(%+5)<一3%),所以％+5<%2一3%,解得x>5或x<—l,

所以不等式/U+5)<f(X2-3X)的解集为(-a),-l)(5,+8),

故选：B.

11]21

4.若。=—e3,"=—e5,c=一，贝!1()

563

A.b>c>aB.c>a>b

Ca>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.

2-1-

【详解】由题意知2a=te3,2b=：e5,

令/(%)=,则W=匕(：J<0，

xx

i9

所以/（九）在（0,1）上单调递减，XO<-<J<1,

I2

（1>/2、e3e52-1-

所以，即了>2,所以（e3>：e5，即2。>2"，所以“>人,

35

又5a=号=狐,5c='，又3=>斓>庭，所以5c>5a,

33V27

所以c>。，所以c>a>6.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.

5.已知tane=-2,a的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于夕（不，兀），则%为=（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据tane=-2和点在以2为半径的圆上，建立方程组，解方程组可得答案.

【详解】因为tane=-2,所以&=-2,即为=—2%；

玉）

又因为夕（同，兀）在以2为半径的圆上，

所以X（）2+%2=4,/2=[,X。=；

当Xo=半时，为=-峥，此时x0%=-S；

DDJ

当毛=一2^时，止匕时%。%=一'|；

故选：A.

6.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“3"+1=0”与

麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：e，=35夕+人也夕的一种特

殊情况.根据欧拉公式，则e

C.也V3

V

【答案】B

【解析】

【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.

■"力..Qm71..715兀..5兀||01.百1.

【详解】由题设，e6+e6=cos—+isin—+cos---i-isin一=----1-—i-----b—i=1.

6666112222

故选：B

2

7.已知直线/与椭圆上+%2=1在第四象限交于A、B两点，/与X轴，y轴分别交于C、。两点，若

3

gq=|即，则/的倾斜角是（）

7171„71571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】C

【解析】

【分析】由题意线段A3的中点，也是线段。的中点，再利用点差法和AB、。、。四点共线求出左金，得

解.

【详解】由|人。=|比）|可得线段A5的中点，也是线段CD的中点，

设人（七,％）,矶马,72），线段AB中点坐标为“（飞,％），

X,+X,

%

则。（2%0）,。（0,2为）,2.

又点A3在椭圆上，所以《

3

3,所以q一7

(%+々一九2JX1+X2X1~X2

所以竽"&1B=_3,即％■.左AB=-3

2%%

又因为四点共线,所以勤=%=言?=一点

综上可得配=±G，由在第四象限得上会〉0即鼬=G，

7T

所以直线的倾斜角为三.

3

故选：C.

19

8.已知函数/(x)=xlnx—5以2—2x有两个极值点，则实数。的取值范围是()

A.(-8,e-2)B.(OH)C.(-00,0-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】由/'(x)=lnx—以―1在(0,+8)上有两个不同的零点，转化为函数丁=。与、=生支口有两个

不同的交点，利用数形结合法求解.

【详解】/'(x)=ln%-av-l,

因为/'(x)Tnx-依―1在(0,+力)上有两个不同的零点，

即Inx—◎—1=0有两个不同正根，即a=生三口有两个不同的正根，

X

即y=a与y=电3有两个不同的交点.

x

o_1n丫

因为当0<%</时，y>o,当%>/时，y<o,

X

所以函数丁=正口在(。42)为增函数，在任2,+8)为减函数，

X

当x=/时，y=~，且当x〉e时，y>0,

e

在同一坐标系中作出与的图象,

y=ay=lnx—l如图所示:

故选：B.

【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判

断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；

若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.已知圆C“：（x—“）2+y2=〃2（〃>。），则下列结论正确的是（）

A.无论〃为何值，圆G都与>轴相切

B.存在整数九，使得圆G与直线y=x+2相切

C.当〃=5时，圆G上恰有n个整点（横、纵坐标都是整数的点）

D.若圆G上恰有两个点到直线y=x的距离为0,则20—2<〃<2虚+2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据圆心到直线距离即可判断A,根据直线与圆相切得到方程，解出即可判断B,将〃=5代入,

写出所有整数点即可判断C,首先写出圆心到直线,=%的距离从而得到不等式组，解出即可

2

判断D.

【详解】对A,由题意可知圆a的圆心坐标为（〃,o）,半径为九，

则圆心到y轴的距离等于圆G的半径，则A正确.

-C|〃+2If-

对B,由圆C“与直线y=x+2相切，得及=n,解得〃=2拒+2，则B错误.

对C,当〃=5时，圆C”：(x—5)~+=25,

则c”上的整点有(0,0),(L3),(L—3),(2,4),(2,~4),(5,5),(5,-5),(8,4),(8,-4),(9,3),(9,-3),(10,0),共

12个，则C错误.

对D,圆心到直线y=x的距离正〃，则〃—也〃<后<〃+也〃，解得

V2222

20-2<"<2&+2，故D正确.

故选：AD.

10.若关于x的不等式ei+x>2ax2—在(。，+8)上恒成立，则实数。的值可以是()

A.-B.)C.逅D.2

e23

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意分和。〉」两种情况讨论，当工时，有

222

x—2x—2

-----F1-2ax+In-----l-l-x+lnx=e^-2-lnx+l-x+lnx,通过求导，判断函数的单调性，确定函

XX

数的最值得出1-2，工+1—x+in%20结论验证；当。〉工时，令"(%)=%—2—Inx,求导判断出函数存

2

e%-2

在零点设为看,即可判断——+1—2%)+ln%=(l—2a)/<0,最后综合得出。的取值范围.

%

X—21

【详解】依题意，——+1—2ox+lnx>0在(0，+8)上恒成立，当aW—时，

x2

x—2x—2

1-1-2ax+In\-l-x+inx=Qx~2~inx+l-x+lnx,

x----------------x

令，=%-2-Inx,则h(t)=-t-1,h\t)=er-1,

故当(一8,0)时，h'⑴<0,当/£(0,+8)时，hr(t)>0,

故跃，)>以0)=0,故/一2』％+1—x+lnxN0,则不等式成立;

当a〉L时，令"（%）=%一2-Inx,因w（l）=-1<0,

2

w（4）=2-21n2>0,故〃（x）在（1,4）内必有零点,设为％,则=

e%-2

则e"-二%,故-----bl—2tz%0+Inx0=（1—2a）x0<0,不合题意，舍去；

%

综上所述，«<-.

2

故选：AB

【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；

适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.

11.一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设

事件A="摸出红色球或蓝色球”，事件3="摸出紫色球或蓝色球”，事件C="摸出黄色球或蓝色球”，则

下面结论正确的是：（）

A.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）B.A与3相互独立

C.A与。相互独立D.3与C相互独立

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据相互独立事件的定义逐一判断即可.

?12121

【详解】由题意可得P（A）=Z=5，P（3）=Z=5，P（C）=Z=5，

P（M）=；=P（A）P（3）,所以A与3相互独立，故B正确；

P（AC）=^=P（A）P（C）,所以A与C相互独立，故C正确；

P（BC）=1=P（B）P（C）,所以B与。相互独立，故D正确；

P（ABC）=^P（A）P（B）P（C）,故A错误.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（力=坨（2尤2-℃+54-1）在[2,+8）上单调递增，则a的取值范围是.

7

【答案】（—§,8]

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.

【详解】函数y=lgx在(0,+8)上单调递增，

依题意，Vxe[2,+oo),2/—ta+5a—1>0,且y=2必—ax+5a—1在[2,+oo)上单调递增，

-<27

因此<4,解得——<。48,

3

2x2?9-2。+5〃-1>0

7

所以，的取值范围是(-§,8].

7

故答案为:(——,8]

13.在直角梯形ABC。，ABLAD,DC//AB,AD=DC=1,A8=2,E,尸分别为A5,5C的

中点，点尸在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)，若=2即+//A尸，其中；I,

则2%-〃的取值范围是.

【答案】[-72,1]

【解析】

一...3

【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP=XED+//A尸得到cosa=-2+/4,

sina=X+；〃，从而得到22-〃=亚由此可求得22—〃的取值范围.

【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：

则4(0,0),E(l,0),D(0,l),C(l,l),5(2,0),P(cosa,sin«)l

3J_

则尸,AP=(cosa,sin6z),ED=(-1,1),AF=

2,2141

AP=AED+^AF,

3£

(cosa,sincr)=2(-1,1)+//

2,2-2+—//,2+—//j,

Acosa=-A+-jLi,sincr=2+-^,

22

4=；(3sina-cosa),〃=g(cosa+sina),

22一4=；(3sina-cosa)-；(cosa+sina)=sina一cosa-y/2sin71

a~~

7C713717171-l<sinfa--L—,

----WaV-，---<。V—,71

224----4442

-A/2<拒sina--j—1,—5/2<2/1—//<1,即（2…卜[一屈1].

故答案为:[-

14.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8,唯一的众数

为9,极差为3,则该组的平均数为

【答案】7.8

【解析】

【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可.

【详解】这组数据共5个数，中位数为8,则从小到大排列时，8的前面有两个数,

后面也有两个数，又唯一的众数为9,则有两个9,

其余数字均只出现一次,则最大数字为9,

又极差为3,所以最小数字为6,

所以这组数据为6、7、8、9、9,

6+7+8+9+9

则平均数为=7.8,

5

故答案为：7.8.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数〃尤）=sin无+/'cosx+sinx+—,xeR.

I3

(i)求了5的值;

(II)若=且(0<av»),求cos。的值.

3A/3E、V3-2V2

【答案】(i)-----\117-----------

26

【解析】

【分析】(I)直接代入求解即可

n

(ID利用三角恒等变换，得到/(%)=3sinXH----，再利用/(a)=l，得至U

3

sinIa+~1,得到葛＜a+q〈乃，即可求出cos最后利用

I23

cosa=cos&求解即可

717171

【详解】W：(I)/s.in兀——F、VA3cos——l,-si•n—+—

3333

_V|走走—述

一3

(II)/(%)=sinx+V3cosx+sinx+—

I3

=sin%+V3COSx+—sinx+—cosx

22

3.373

=—smxd------cosx，

22

=3—sinxd----cosx=3sinxd■一

122JI3

若/(a)=l,则3sin(a+g)=l,

即sin[a+]J=耳

JI47r

•:b<a<兀，»•一<。H—<—f

333

0<6^H--<一（舍）或---<。H--<7T,

3663

2011V3V3-2V2

则cosa=cosI67+y-yI=cosI+yIcos-j+sinIcr+yIsm—-----x—+—X---=--------

=32326

【点睛】本题考查三角恒等变换的运用，难点在于对等式进行化简，属于中档题

16.记5〃为等差数列｛如｝的前〃项和，已知S9=一%.

(1)若。3=4,求｛。”｝的通项公式；

(2)若内>0,求使得S2斯的n的取值范围.

【答案】(1)«„=-2«+10；

(2)1<n<10(neN*).

【解析】

【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于为和d的方程组，求得为和d的

值，利用等差数列的通项公式求得结果；

(2)根据题意有%=0,根据q〉0,可知d<0,根据S“〉a“，得到关于九的不等式，从而求得结果.

【详解】(1)设等差数列｛%,｝的首项为对，公差为d，

c9x8」,(八

9a,+----d=-(CL+4d)

根据题意有《"2",

q+2d=4

6Z1—8

解答C，所以%=8+(〃-1)x(—2)=—2〃+10,

a=-2

所以等差数列｛4｝的通项公式为an=-2〃+10；

(2)由条件89=—%，得9。5=-。5，即。5=0，

因为q>。，所以d<0,并且有%=%+4d=0,所以有q=-4",

由5〃2册得r1al一>ax+(n-l)d,整理得(*-9n)d>(2〃-10)d,

因为d<0,所以有"—9”<2”一10，即a?—11〃+1040，

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范围是：l<“<10("eN*)

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式,

在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

17.如图，圆台OQ的轴截面为等腰梯形4ACG，AC=2A4=2AC=4,B为底面圆周上异于A,

(1)在平面BCG内，过C1作一条直线与平面平行，并说明理由；

(2)设平面4480平面。］。3=/,Qel,BG与平面QAC所成角为a,当四棱锥5—4人。£的体积

最大时，求sin戊的取值范围.

【答案】(1)作图及理由见解析；

(2)［0,巫］.

4

【解析】

【分析】(1)取中点尸，作直线GP，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)延长A41,CG交于点。，作直线80,再确定四棱锥体积最大时，点8的位置，然后建立空间直角坐

标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答.

【小问1详解】

取中点尸，作直线G「，则直线GP即为所求，

取A3中点0连接则有P"//AC,P"=；AC,如图，

在等腰梯形AACG中，4G=gAC,有HP//AG，HP=AU，则四边形AGP”为平行四边形，

即有GP//A”,又A"u平面4AB,£/>(2平面443,

所以GP//平面4AB.

【小问2详解】

延长AA，CG交于点。，作直线5。，则直线8。即为直线/,如图，

过点B作BO'LAC于0',因为平面AACG，平面ABC,平面AACQc平面ABC=AC,BO'u

平面ABC,

因此50」平面4ACG，即80'为四棱锥3—4ACG的高，在RtZkABC中，/ABC=90，

BO'BABC<BA~+BC~=LAC,当且仅当B4=5。时取等号，此时点O'与。2重合，

AC2AC2

梯形AACG的面积S为定值，四棱锥B—AACG的体积%.A4CG=；s・B。'，

于是当最大，即点。'与。2重合时四棱锥5—AACC的体积最大，BO2LAC,BO2^2,

以。2为原点，射线O2A,O2B,O7O,分别为X,%Z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,

在等腰梯形4ACG中，AC=2AA1=2A1Cl=4,此梯形的高力==布,

显然4G为一。4c的中位线，则0(0,0,26),42,0,0),6(0,2,0),G(—1,0,6),

BQ=(-1,-2,A/3),AB=(-2,2,0),BO=(0,-2,2岛QA=(2,0,0),

设=,则AQ=AB+3。=43+230=(—2,2—242后)

n-OA—2x=01—

设平面QAC的一个法向量”=("z),贝ij?广，令y=6%，得

n-AQ=-2x+(2-22)y+2v32z=0

n=(0,732,2-1),

,zn「一\n-BCx\|-2X^2+73(2-1)|

则有sina=|cos〈九,BC)|=-------=/——/=

'ImigI7(A^2)2+*4(2-1)2X7(-l)2+(-2)2+(^)2

6"+1|

2后”外―2X+1'

令/=X+1,则sina=——~~/⑺=,当/=0时，siner=0,

2V2XA/4?2-10Z+7

62

0<sinor=

当时,「［15,3—丁，当且仅当，=（，即几==时

2四X,7（＞；）2+；55

取等号,

综上得0<sina<，

4

所以sin0的取值范围是［0,乎］.

【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变

量的函数，求出函数最值即可.

18.已知椭圆=+与=1（。〉6〉0）的离心率为发，且过点0，*.

ab2I2J

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点。的直线/:,=丘+m（左w0）,与该椭圆交于尸、。两点，直线OROQ的斜率依次为

片,％，满足4左=匕+右，试问：当女变化时，加2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论;

若不是，请说明理由.

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）疗是定值；疗为定值g

【解析】

【分析】（1）根据离心率，点的坐标及〃=加+o2,列出方程组，求出。=2力=1,得到椭圆方程;

（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到

2kxiX2=机（玉+w），代入后最终求得病为定值］

【小问1详解】

根据题意可得:

解方程组可得。=21=1,故椭圆方程为±+y2=l

4

【小问2详解】

y=kx+m

当女变化时，力为定值，证明如下：由《%2，把丁=区+加代入椭圆方程得:

—I-y9=1

14'

(1+4%2)X2+Skmx+4^m2—1)=0；

3km

12

1+4左2

设尸（七由二次函数根与系数关系得:

4(加2_1)

为々=-----4

12