2024考二轮数学讲义一　第3讲导数的几何意义及函数的单调性

2024高考二轮数学新教材讲义第3讲导数的几何意义

及函数的单调性

一、单项选择题

1.（2023・榆林模拟）已知函数段）=/厘+2%+1,则式x）的图象在x=0处的切线方程为（）

A.4x-y+l=0B.2x-y+l=0

C.4ex—y+2=0D.2ex—y+l=0

2.（2023・齐齐哈尔模拟）已知函数y=4'（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数式外的导函数）,

下面四个图象中可能是y=/（x）图象的是（）

3.已知函数於）=lnx+/+ax的单调递减区间为弓，1）,则（）

A."£（—8,—3]B.。=-3

C.a=3D.〃£（—8,3]

4.（2023・潍坊模拟）若P为函数式x）=%,—5x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y=fi.x）

的切线，则切线倾斜角的取值范围是（

5.（2023•成都模拟）若过原点与曲线大》）=/^+以2-2犬相切的直线，切点均与原点不重合的

有2条，则”的取值范围是（）

A.(/2,+8)B.(—8,12)

C.(0,e-2)D.(0,e-2]

6.(2023・广州模拟)已知偶函数式x)与其导函数/'(x)的定义域均为R,且,(x)+e-*+x也是

偶函数，若.火2。-1)勺3+1),则实数4的取值范围是()

A.(—8,2)B.(0,2)

C.(2,+8)D.(一8,0)U(2,+°°)

二、多项选择题

7.若曲线火X)=G：2—x+lnx存在垂直于V轴的切线，则4的取值可以是()

11I

--OC--

A.2B.8D.4

8.若对V〃yR,Ba,b&R,使得"三黑成立，则称可导函数次x)满足性质Q,下

列函数满足性质。的是()

A.人工)=/+3》

B。©=(x+l)2

C.fi.x)=e'+'

D.«r)=cos(l-2x)

三、填空题

2

9.(2023•海南统考)已知函数(3)x—y2+]nx,则11)=.

10.(2023•江苏省八市模拟)过点(—1,0)作曲线的切线，写出一条切线的方程

11.(2023,广州统考)已知函数人幻二人皿彳+^^》+夕2,若a=/(log5)，^=/^sin^,c=

Ain3),则a,h,c的大小关系为.

12.(2023•全国乙卷)设aG(0,l),若函数於)="+(1+〃厂在(0,+8)上单调递增，则”的取

值范围是.

四、解答题

13.(2023・郑州模拟)已知函数於)=/-2x+Hnx(aCR).

(1)若函数在x=1处的切线与直线x—y—2=0垂直，求实数a的值：

⑵当”>0时，讨论函数的单调性.

14.（2023・湖北八市联考）设函数/）=8—3—1）皿0¥—1）+5+1）尤仁为自然常数）

（1）当。=1时，求F（x）=e'—/U）的单调区间；

⑵若火处在区间「匕1，“1上单调递增，求实数。的取值范围.

第4讲函数的极值、最值

一、单项选择题

1.下列函数中，不存在极值的是（）

A.y=x+~^B.y=x^

C.y=x\nxD.y=—3x3—3x2—x

2.（2023・西宁模拟）函数人^在［2,+8）上的最小值为（）

A.T"B.e2C.号D.2e

o4

3.（2023•哈尔滨模拟）若函数於在尤=2处取得极值1,则。一力等于（）

A.-4B.-3C.-2D.2

4.（2023•全国乙卷）函数./OOnR+ar+Z存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.（—8,—2）B.（—8,—3）

C.(一4,-1)D.(—3,0)

x

5.（2023・武汉模拟）已知函数火x）=e，一%—b,V%eR,都有_/（x）的最小值为0,则后人的最小

值为（）

A.6B=C.一誉Di

6.（2023•聊城模拟）已知函数/）=：ex2一尸（〃>0且aWl）有一个极大值点乃和一个极小值点

X2，且X1〈X2，则。的取值范围为（）

A（0,B.Q,1）

C.（1,e）D.（e,+°°）

二、多项选择题

hc

7.（2023・新高考全国H）若函数_/U）=Hnx+q+93W0）既有极大值也有极小值，则（）

A.bc>0B.ab>0

C.拄+8“c>0D.ac<0

8.已知函数Xx）=ln（e3x+l）+ar（aGR），下列说法正确的是（）

3

A.若y=>（x）是偶函数，则a=-X

B.若y=/（x）是偶函数，则。=一3

C.若“=-2,函数存在最小值

D.若函数存在极值，则实数〃的取值范围是（一3,0）

三、填空题

9.（2023•北京朝阳区模拟）已知函数人x）=（》2—3）el则兀v）的极小值点为.

10.（2023・凉山模拟）已知函数1x）的导函数为g（x）=（x-l）（/-3x+a）,若1不是函数,/（x）的

极值点，则实数“的值为.

11.（2023・泸州模拟）已知函数./（x）=xlnx+^e1.有两个极值点，则m的取值范围是.

12.（2023,江门模拟）已知外）=|lnx|,x\,及是方程/）=a（aGR）的两根,且为分，则白的

最大值是.

四、解答题

Y

13.（2023•西安模拟）已知函数4x）=z+lnx,其中“为常数，e为自然对数的底数.

⑴当。=一1时，求火x）的单调区间；

⑵若大x）在区间（0,e］上的最大值为2,求a的值.

14.已知函数«r)=(a—x)lnx.

(1)求曲线、=/(犬)在点(1,41))处的切线方程；

⑵证明：当a>0时，函数#x)存在唯一的极大值点.

第3讲导数的几何意义及函数的单调性

1.B2.C3.B4.D5.C6.B

7.ABC［依题意，,/(X)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线,

又/。)=2^+：—1,x>0,

2^+~—1=0有正根，

即一2a=g)2一;有正根，

即函数丫=一2。与函数y=G)2—3X>0的图象有交点，

令1=»0,

则g(r)=z2-r=(r-£)2-1)

•,•则》周=一；，

11

-即W-T

4aJ

8-

8.ABD［若对VmWR,Ba,/>GR,使得"?二？成立,则4x)的值域是/(x)值域

的子集.

对于A,由二次函数性质知，的值域为一*+8),

,//(x)=2x+3,：.f(x)的值域为R,

则一*+8)=R,A满足性质Q;

对于B,...(x+lAX),

，危)的值域为(0,+8),

2

•"a)=_(x+］)3,

又(x+l)3f0,.•./(X)的值域为(一8,o)u(o,+8),

则(0,+oo)c(-oo,0)U(0,+8),B满足性质Q；

对于C,V-x+lGR,

.,.於)=「*+|的值域为(0,+8),

(x)=—e*,

：.f(x)的值域为(一8,0),

则/(x)的值域不是/''(x)的值域的子集，C不满足性质Q；

对于D,Vl-2x£R,

.\/(x)=cos(l—2x)的值域为[―1,1],

,:f(x)=2sin(l—2x),：.f(x)的值域为[-2,2],

则[-1,1]=[-2,2],D满足性质2]

9.y10.2x-y+2=0(答案不唯一)

11.a>c>h

□[咛1)

解析由函数的解析式可得/(》)="11〃+(1+a)》1(1+4)20在区间(0,+8)上恒成立,

则(1+«)ln(l+a)>-a'lna,

即(胄〉》一1^%在区间(仇+8)上恒成立，

而y=(冲里>在区间(0,+8)上单调递增，

而1+。6(1,2),故ln(l+a)>0,

ln(a+l)》一Ina,

0<6f<l,

a(a+1)21,

0<a<\9

十一1

故土结合题意可得实数a的取值范围是[土尸，1)

13.解(1)由题意可得，

f(x)=2x—2+p

因为函数在x=l处的切线与直线x—y—2=0垂直，则/(1)=—1=2—2+a,即a=-1.

I、，，,a2x2—2x+。

(2)因为/(x)=2x-2+-=--------------,x>0,

对于方程2v—2x+a=0,

记4=4—8a,

①当/W0,即时，/(x)》0,函数於)是(0,+8)上的增函数；

②当/>0,即0<a<f时，

令/。)=0，

翅ZB1-41-2L1+[1—2〃

解传为=---2-----，X2=----2------

又X2W>0.当xe(o,匕乎可

或(1+•五,+8)时，，(x)>0,函数火X)单调递增，当xd(匕醇迈，11年可时,

fu)<o,函数y(x)单调递减.

综上所述，当时，函数兀0是(0,+8)上的增函数；

当0<。</时，

函数yw在(0,匕年可，(笆三，+8)上单调递增，

在(口野，1十4二刃上单调递减.

14.解(1)当。=1时，F(x)=e'-Xx)=(x-1)ln(x-l)-2x,定义域为(1,+~),

F'(x)=ln(x-1)-1,令尸(x)>0,解得x>e+l,

令尸'(x)<0,解得l<x<e+l,

故此时尸(x)的单调递增区间为(e+1,+8),单调递减区间为(1,e+1).

ni

(2加力在区间k，1」上有意义，

故办一1>0在「屋1，11上恒成立，可得a>e,

r1-

依题意可得，f(x)=e"—aln(ax—1)+120在£1上恒成立，

设g。)—fU)=ex—dn(ar—1)+1,

g'

易知g»在［：,1］上单调递增，

〃2

故g'(x)Wg，(l)=e一丁斤<0,

故g(x)=/'(x)=er—aln(ox—l)+l在：，1］上单调递减，最小值为g(l),

故只需g(l)=e—aln(〃-1)+120,

设/?(a)=e—Hn(a—1)+1,其中a>e,

由人(a)=—ln(a—1)—;<0,可得〃(q)=e—”ln(〃-1)+1在(e,+8)上单调递减,

a—1

又/z(e+l)=0,故aWe+1.综上所述，实数。的取值范围为(e,e+1].

第4讲函数的极值、最值

1.D2.A3.D4.B5.A6.B

7.BCD［函数/（x）=alnx+§+5的定义域为（0,+~）,则/（X）=£-9等=®一"

因为函数火x）既有极大值也有极小值，

则函数，（x）在（0,+8）上有两个变号零点，而“W0,

因此方程由；2—〃X—2c=0有两个不相等的正实数根为，X2,

Z=6+8〃c>0,

,h八

于是卜+及力,

2c_

X1JC2=——>0,

即有/>2+8ac>0,ab>0,ac<0,

显然42历<0,即历<o,故A错误，B,C,D正确.］

8.ACD［对于A,B,函数的定义域为R,

且/(-x)=yu),

则ln(e3”+i)+q(—x)=ln(e3"+l)+or,

e3x+l

则=

则Ine3x=-2ax,则3x=~2ax恒成立,

3

故。=一本所以A正确，B错误；

对于C,当〃=—2时,

XJt)=ln(e3r+l)-2x,

3e3x3

可得/(X尸时_2=］一时,

令，（x）=0,即1-号7=0,解得x=¥，

e"十13

所以当xc1—8,皆）时，f（JC）＜O,y（x）单调递减,

当二+8）时，/（x）＞o,y（x）单调递增，

所以7（X）min=/（皆），所以C正确；

3

对于D,/（x）=（3+a）-^q7p

因为7U）存在极值，所以，（X）有零点,

3

令/(x)=0,即(3+。)一彘币"=0,

则不值＞0,即〃(〃+3)＜0,

解得一3＜。＜0,所以D正确.］

9.x=l10.2

d。)

解析由题意，令/。)=1+1111+“-=0,

即一m=/^有两个不相等的正实根，

所以y=—m与8(1)=1：?”在((),十8)上有两个交点，

1—Inx

则g'(x)=^一，

记力。)=(—Inx—1,则力(x)在(0,+8)上单调递减，且力(1)=0,

当x£(0』］时九。)20,gf(x)^0,

所以g(x)在(0,1］上单调递增；

f

当工£(1,+8)时以了/。，s(x)＜o,

所以g(Q在(1,+8)上单调递减，

所以ga)max=g(D=：,

当冗-*0时，g(x)f-8;当Rf+8时，g(x)f0,

...11,-1+lnx,

综上，当0＜一)"〈J即一］:加＜0时，y=—m与g(x)=一~最一在(0,+8)上有两个交点，即

人¥)有两个极值点.

e

解析由题意为，Q是方程|lnx|=4的两根，且X】＜X2,

则。＞0,Inx\=—a,\nx2=a,

BPxj=e-d,M=e",

所以•=-〃、〃=F〃>0)»

X1X2e"de"Q

Y1-X

令ga)=G(x>o)，g'a)=="

当O〈v<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

则当x=l时，g(x)取最大值:，

所以a的最大值是%

13.解(1)函数/X)的定义域为(0,+8),

当a=~\时，fi.x)=\nx—x,

令/(x)>0得，0W<1；

令/(x)<0得，x>\,

•••函数外)的单调递增区间为(0,1),

单调递减区间为(1,+8).

①当。>0时，x>0,：.f(x)>0,

函数«x)在(0,e］上单调递增,

•'•7(x)niax—,Ae)-2,

.•.^+1=2,...a=e符合题意；

②当一e<"0时，

令/'(x)=0得x=-a,

X(0,—a)-