2024年上海高考数学考前30天冲刺复习 函数与方程思想中的九种题型

专题2.2函数与方程思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

1.（2022秋•上海黄浦•高三阶段练习）定义可导函数y=在x处的弹性函数为

f（x）

其中/‘（X）为〃x）的导函数.在区间。上，若函数“X）的弹性函数值大于1,则称"X）在区间。上具有弹性，相应的

区间〃也称作“X）的弹性区间.

（1）若r（x）=e*-x+l,求r（x）的弹性函数及弹性函数的零点;

（2）对于函数/（x）=（x-l）e、+lnx-tr（其中e为自然对数的底数）

（i）当f=0时，求f（x）的弹性区间〃；

（ii）若/（x）＞l在（？）中的区间〃上恒成立，求实数t的取值范围.

题型二：三角函数与解三角形

一、单选题

1.（2022•上海•高三专题练习）已知锐角.ABC的面积为3百，AC=3,BC=4,则角C的大小为

（）

A.-B.-C.-D.-

6543

2.（2022春•上海普陀•高一曹杨二中校考阶段练习）设函数/■（x）=?〃cos（x+a）+〃cos（x+0,其中加、”、

a、夕为已知实常数，xeR,有下列四个命题：⑴若八。）=/图=0,则/*）=0对任意实数x恒成立；

（2）若/（0）=0,则函数“X）为奇函数；（3）若/仁）=0,则函数/（x）为偶函数；（4）当/（0）=/仁卜0

时，若/（%）=.〃X2）=°，则占-当=2就（keZ）；则上述命题中，正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

3.（2022春•上海浦东新•高一校考期末）已知扇形的圆心角大小为（，半径为2,则扇形的弧长为

4.（2022秋•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考开学考试）在AABC中，b2+c2=a2+bc,ACAB=4,则

AABC面积为.

5.（2021春•上海•高一期末）已知函数y=/（x）是"上的偶函数，当xWO时,

关于由勺方程/（x）=〃，（，〃eR）有且仅有四个不同的实数根，若。是四个根中的最大根，则sin（1+a）=—.

6.（2021秋•上海徐汇•高三上海市校考期中）已知m是实常数，若k|cos2x+sinx+/M=0卜0,

则府的取值范围是.

7.（2023春•上海金山•高一附属中学校考阶段练习）函数y=jin的定义域是

三、解答题

8.（2021秋•上海青浦•高三校考阶段练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别是。，

b,c,已知cos2A=-q,c=g,sinA=#sinC.

（1）求〃的值；

（2）若角A为锐角，求人的值及43c的面积.

_sin（4+a）cos（2乃-a）tan（24-a）

9-（2021春•上海•高一期末）已知°=tan（一”小吁苧一”•

（1）化简：/（«）；

（2）在ABC中，内角尔B、C所对的边长分别是a、b、c,若c=2,/（C）=-1,且/8C的面积S=G，求

a、6的值.

题型三：平面向量

一、填空题

1.（2022春•上海闵行•高三上海市开学考试）已知平面向量“、人满足|2"+0=卜-3〃卜1,则

卜+0的取值范围是

2.（2019秋•上海徐汇•高二上海市阶段练习）已知向量“、满足向=忖=4+H=1，则

a、。的夹角为.

3.（2021春•上海•高一专题练习）已知AABC内一点。是其外心，cosA=1,&AO=niAB+nAC,则利+〃的

最大值为.

题型四：数列

一、单选题

1.（2022•上海•二模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,若4=2,且臬=与，则下列说法中正确的是

（）

A.｛可｝为递增数列

B.当且仅当〃=5时，S,,有最大值

C.不等式5“>0的解集为｛“e箱”410｝

D.不等式>0的解集为R

2.（2022•上海•高三专题练习）已知数列｛4｝满足：«„>0,且q；=2q3-a“T（”eN*）,下列说法正确的是

（）

A.若4=；，则B.若4<%+i，则4>1

C.a,+a5<2a3D.\all+2-an+l\<~^\a„+l-a„\

二、填空题

3.（2022•上海•高三专题练习）数列｛4｝满足q=l,J」+4=—匚，记若邑向-5“对任意的

Van。〃+|«=•3U

neN*恒成立，则正整数f的最小值为.

4.（2020•上海市高三阶段练习）已知数列｛《,｝的首项为4,且满足2（〃+1）。“-叫”=O（〃wN*）,则下

列命题：①｛半｝是等差数列；②｛〃,｝是递增数列；③设函数=,则存在某个区间

+使得在+上有唯一零点；则其中正确的命题序号为一

5.（2020•上海•高三专题练习）己知数列｛q｝是公差不为零的等差数列，且4=2,S,,为其前“项和，等比数

列也｝的前三项分别为g吗，即，设向量00=（?，%），则IOQI的最大值是.

6.（2020•上海交大附中高三阶段练习）已知等差数列｛q｝（公差不为零）和等差数列出｝,如果关于x的方

程：2021年-（q+%4Ha2O21）x+i>,+b2H----卜%21=0有实数解，那么以下2021个方程x?—aix+hi=0,

22

x-a2x+h2=0,x-a3x+h^O,­••,x?=。中，无实数解的方程最多有_____个.

三、解答题

7.（2019•高三阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，对一切正整数〃，点都在函

数〃x）=V+2x的图像上，过点月（〃,邑）的直线/斜率为£且与〃"=』+2》的图像有且仅有一个交点.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设5=卜卜=幻,”€“｝,T=｛x\x=2a,„n^N-｝,等差数列｛q,｝的任一项%eSIT,其中q是ST中的最小

数，110<cl0<115,求｛5｝的通项公式.

8.（2020•上海•高三专题练习）已知4，4,，%为等差数列，其中奇数项和比偶数项和大15,且％）=3%,求

4+。2++"20・

9.（2021•上海师大附中高三期中）有下列三个条件：①数列｛q-2｝是公比为a的等比数列，②是公差

为1的等差数列，③S“=2%-1,在这三个条件中任选一个，补充在题中“处，使问题完整，并加

以解答.

设数列｛4｝的前〃项和为S“，q=l,对任意的“eN*,都有.已知数列出｝满足a=信］,是否存在

kwN,使得对任意的〃eN’,都有34詈？若存在，试求出上的值;若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

10.(2022•上海市实验学校高三开学考试)对于有限数列｛a〃｝,nWN,43,/VGN*,定义：对于任意的

kWN,ZrGN*,有

⑴6(A)=Ia,|+1a?|+1a?|+”•+1ak\；

(2)对于ceR,记£(A)=|a7-c|+|a?-c|+|a?-c|+-+|aA-c|.对于WN*,若存在非零常数c,使得/(A)=

9(4),则称常数c为数列｛an｝的郊介。系数.

(i)设数列｛an｝的通项公式为=(-2)”，计算9(4),并判断2是否为数列｛a〃｝的4阶Q系数;

(ii)设数列｛aH的通项公式为a〃=3〃-39,且数列｛a〃｝的/那介①系数为3,求m的值；

(iii)设数列｛a〃｝为等差数列，满足-1,2均为数列仿力的廨介3系数，且9(血=507,求臧最大值.

11.(2021•上海普陀•模拟预测)设数列他"的前”项和为S“，若对任意的"eN*,均有S“=q〃-以上是常数

且-N*)成立,则称数列｛““｝为"P(幻数列”，已知｛4｝的首项4=1.

(1)若数列｛“"｝为"尸⑴数列”，求数列｛可｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝为“P⑵数列”，且与为整数，若不等式|4-411区20对一切"22,〃wN*恒成立？求数列

｛%｝中0的所有可能的值；

(3)是否存在数列｛/｝既是“P(朽数列”，也是“P(左+2)数列”？若存在，求出符合条件的数列｛%｝的通项公式

及对应的上的值，若不存在，请说明理由.

12.（2022•上海市实验学校高三阶段练习）设数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”=24,-2向，数歹支斗｝满足

噫制’其中〃€N,

⑴证明｛墨｝为等差数列，求数列｛4｝的通项公式:

（2）求使不等式（1+1］八+；1+1—卜m口对任意正整数〃都成立的最大实数机的值;

I4八by）

⑶当时，求证：（+亭+“・+客+3~4卢.

么/瓦“td“+1瓦向

题型五：不等式

一、填空题

1.（2022秋•上海奉贤•高一校考阶段练习）已知一元二次方程V+3x-5=O的两根为小w，则X：+后

2.（2020•上海•高一专题练习）已知方程V-日+2=0在区间（。，3）中有且只有一解，则实数橄取值范围是

二、解答题

3.（2021秋•上海浦东新•高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于x的不等式如2+3工+2＞。的解集为

3,1）,求实数4力的值；

（2）若。＞0,解关于x的不等式加+3x+2＞-or-l.

4.（2020•上海•高一专题练习）求实数人为何值时，方程丁-履+左+1=0的两个实根.

4

（1）分别在区间（1,2）和（3,4）内；

（2）绝对值小于1.

5.(2023•上海•高三专题练习)自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风

貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这种生物复合

.._256._1+的,0<x<4

剂入水后每1个单位的活性随时间x(单位：小时D变化的函数为"=«x+4,已知当x=4

a(12-x),4<x<12

时，”的值为28,且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用.

(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；(结果精确到0」小时)

(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为

v=-'-,0<x<12,记""为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出“w的最大值.(结果精确到0.1)

x+1

Y-L1

6.(2022春•上海宝山•高一上海市练习)己知函数/(x)=bg3—/aeR)为奇函数.

ar-1

(1)求。的值；

⑵设函数g&)=广'(x)+bg〃存在零点，求实数『的取值范围：

3

(3)若不等式/(x)-%*3,在xe[2,3]上恒成立，求实数机最大值.

题型六:空间向量与立体几何

1.（2023•上海•高三专题练习）已知。4，OB，OC是空间两两垂直的单位向量，OP^xOA+yOB+zOC>且

x+2y+4z=l,贝1」|。尸一。4-。8|的最小值为.

题型七：解析几何

一、单选题

1.（2021•上海•高三专题练习）已知尸为抛物线>2=2px（p>0）的焦点，A（x,,yJ、川々??）是抛物线上的不

同两点，则下列条件中与“A、F、8三点共线”等价的是（）

2

A.中2=?B.y\y2=-p

1,1.23p2

c-网\FB\~~PD,&&+%%=-

二、填空题

2.（2020•上海静安•高三阶段练习）一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最

高屋点离水面5米时，量得水面宽度钻=30米，则当水面升高1米后，水面宽度为________.米（精确到0.1米）

3.（2022•上海宝山•一模）在平面直角坐标系尤0y中，已知圆C:（x-2『+y2=4,点A是直线x-y+2=O上

的一个动点，直线AP,AQ分别切圆C于只。两点，则线段户。长的取值范围为_____.

三、解答题

4.（2016•上海•高三阶段练习）已知椭圆：+丁=1；

（1）若该椭圆的焦点为耳、入，点尸是该椭圆上一点，且NKP且为直角，求点尸坐标；

（2）若椭圆方程总+y2=l同时满足条件孙<0,则由此能否确定y关于x的函数关系式?若能，请写出y=.f（好的

解析式，并写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，只需写出结论；若不能，请写出理由.

22

5.（2022•上海•高三专题练习）已知椭圆「:方+左=1（〃>8>0）,右焦点为F，动直线/与圆O：/+y2=从相

切于点。，与椭圆交于4（内,乂）、8（9,%）两点，其中点。在y轴右侧.

（D若直线，：x-y-2=0过点尸，求椭圆方程;

（2）求证：|AF|+|42|为定值.

6.（2020•上海市高三阶段练习）已知椭圆C：£+£=1上的点到右焦点F的最近距离是6-立,

a~

且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点M为直线/：x+y-4=O在第一象限上一点，且尸到直线OM的距离为1,求以线段。知为直径的圆方

程；

（3）设2（花，%），6（W，%）是椭圆C三个不同点，记：4=|X+X-4|,%=|%+%-4|,

%=|毛+%-4|,若q,a2,生成等差数列，求其公差d的取值范围.

题型八：计数原理

一、填空题

1.（2021秋•上海浦东新•高三上海市进才中学校考期中）（«-京）-的展开式中常数项是.

题型九：统计与概率

一、填空题

1.（2022•上海•高二专题练习）某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共

500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调查.已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学

生的人数为

专题2.2函数与方程思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

1.(2022秋•上海黄浦•阶段练习)定义可导函数y=在x处的弹性函数为了'(X)•小，

f(x)

其中/‘(X)为的导函数.在区间。上，若函数“X)的弹性函数值大于1,则称"X)在区间。上具有弹性，相应的

区间地称作“X)的弹性区间.

(1)若心)=e*-x+l,求"X)的弹性函数及弹性函数的零点;

(2)对于函数/(x)=(x-l)e、+lnx-a(其中e为自然对数的底数)

(i)当f=0时，求f(x)的弹性区间〃；

(ii)若/(x)>l在(Z)中的区间〃上恒成立，求实数t的取值范围.

YY

【答案】(1)rXx)--=(^-1)—x=O；(2)(i)(1,田)，(ii)(7,-1].

r(x)e一九+1

【分析】(1)由厂(x)=e'-x+l,可得/(x)=e，-l,根据题设条件，即可求得，1X)的弹性函数及弹性零点；

(2)(i)函数f(x)=(x-l)/+lnx,可得函数/(x)的定义域为(0,+8),函数/(x)是弹性函数

YY~fiX4-1

/(♦<=,二：>1,得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；

/(x)(x-l)e"+lnx

(ii)由〃x)>l在(L-)上恒成立，可得，<(1-3，+电口在x>l上恒成立，设〃(x)=(l-1)e'+小口，利用

XXXX

导数求得函数的单调性与最值，进而求得f的取值范围.

【详解】(1)由心)=e*-x+l,可得/(4)=e”T,

xX

则/⑶•丽=(ef777T

xX

-=(ev-l)---------=0,解得1=0,

r(x)e-x+1

所以双幻弹性函数的零点为x=0.

(2)(i)当f=0时,函数“r)=(x-l)/+lnx,可得函数，(%)的定义域为(0,m),

中、J11rz八v1X2eX+1

因为fM=(x-l)e+Inx=e+(x-l)e+—=---------,

xx

vI*?"，_i_1

函数fM是弹性函数/=/…।>1，

/(x)(x-l)e+lnx

此不等式等价于下面两个不等式组：

(x-l)eA+lnx>0①、(x-l)ev+Inx<0.....③

(i)i.…或(n)〈，〜

x"ex+l>(x-l)ev+lnx......②[x2ex+1<(x-\)ex+Inx.......④

因为①对应的函数就是f(x),

由所以/(X)在定义域上单调递增，

又由/⑴=。，所以①的解为x>l;

由可得g(x)=x2e'+l-[(%-l)e'+lnx]=(x2-x+l)e'+l-lnx>0,

且g'(x)=(2x-l)ex+(x2-x+1)ex--=(储+——在了>1上恒为正，

XX

则g(x)在x>l上单调递增,所以g(x)>g⑴>0,故②在x>l上恒成立，

于是不等式组(I)的解为X>1,

同①的解法，求得③的解为0<x<l;

因为0<x<l时，④de"+l>0,(x-l)e'+lnx<0,所以不成立,

所以不等式(II)无实数解，

综上，函数f(x)的弹性区间。=(1,田).

(ii)由/(x)>l在(1,位)上恒成立，可得£<(1-3/+皿匚在x>l上恒成立，

XX

设/z(x)=(l--)ex+皿匚,则h'(x)=1)；+27nx,

XXX

而(x2-x+W+2-lnx=g(x)+l,

由(i)可知，在x>l上恒为正，

所以"(x)>0,函数"x)在(1,2)上单调递增,所以〃(x)>〃(l)=-1,

所以f4-1,即实数f的取值范围是(7,-1].

【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问

题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数

的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试卷综合性强，属于难题.

题型二：三角函数与解三角形

一、单选题

1.(2022•上海•高三专题练习)已知锐角一ABC的面积为36，AC=3,BC=4,则角C的大小为

()

.7tn7tn

A.-B.-C.-D.一

6543

【答案】D

【分析】本题先建立方程3V5=gx4x3sinC,再求sinC,最后求角C的大小即可.

【详解】解：因为锐角ABC的面积为3\Q，b=AC=3,a=BC=4,

所以S.c=；"sinC,即3j5=；x4x3sinC,解得：sinC=3，

222

由因为角C是锐角，所以NC=。

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题.

2.(2022春•上海普陀•高一曹杨二中校考阶段练习)设函数/(x)=/77cos(x+a)+”8s(x+尸)，其中加、〃、

a、月为已知实常数，xeR,有下列四个命题：⑴若/(0)=/闺=0,则小)=0对任意实数x恒成立；

(2)若"0)=0,则函数/⑶为奇函数；⑶若/⑵二°，则函数•"*)为偶函数；⑷当尸(0)=尸与声o

时，若/(%)=/*2)=0,贝"-七=2既(ksZ)；则上述命题中，正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用两角和的余弦公式化简/(X)表达式.

对于命题(1),将〃0)=。，/(5)=0化简得到的表达式代入上述/")表达式，可判断出(1)选项的真假；

对于命题(2)选项，将/(0)=0化简得到的表达式代入上述/")表达式，可判断出/(x)为奇函数，由此判断出

(2)选项的真假；

对于命题(3)选项，将八次=0化简得到的表达式代入上述Ax)表达式，可判断出/(x)为偶函数，由此判断出

(3)选项的真假；

对于命题⑷选项，根据尸(。)+尸图/0、/(x,)=/(x2)=0,求得f(x)的零点的表达式，进而判断出(4)选

项的真假.

【详解】/(工)=/w(cosxcosa—sinxsina)+n(cosxcos/3—sinxsinf3)

=(mcosa+ncos/?)cosx—(msina+〃sin/3)sinx

不妨设/(x)=(Kcosq+kycosa2)cosx-(A:(sin/+k2sin«2)sinx.k^k2,a],a2为已知实常数.

若/(0)=0,则得^costZ]+A:2cosa2=0；若/(/)=0,则得《sin,+%2sin%=。.

于是当/(0)=/6)=0时，f(x)=o对任意实数X恒成立，即命题(1)是真命题；

当/(0)=。时，./•(x)=-(《sin%+&sin%)sinx,它为奇函数，即命题(2)是真命题；

当吗)=0时，/W=(^icosa,+k2cosajcosx,它为偶函数，即命题⑶是真命题；

当/(0)+广图#0时，令f(x)=0,则

(勺cos^cos<z2)cosx-(Z:1sin^+^2sinaf2)sinx=0,

上述方程中，若cosx=0,则sinx=O,这与cc^x+sinOul矛盾，所以cosxwO.

将该方程的两边同除以cos大得

tanx-cos%+hcosa尽kcosa+kcosa

2x}22(fwO),

kxsin«1+k2sina2'、kxsina}+k2sina2

则tanx=Z,解得x=^4-arctan/(ZwZ).

不妨取％=匕4+arctan，，=k27t+arctant(4^Z且包^工),

则石一七=化一22）万，即无］一为二人乃（kwZ）,所以命题（4）是假命题.

故选：C

【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属

于中档题型.

二、填空题

3.（2022春•上海浦东新•高一校考期末）已知扇形的圆心角大小为（，半径为2,则扇形的弧长为

【答案】y

【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可.

【详解】a=^,R=2,:.l=\a\-R=^-x2=^-.

故答案为：y

222

4.（2022秋•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考开学考试）在ZVIBC中，b+c=a+bc,ACAB=4,则

AABC面积为.

【答案】2月

［分析］由"+c、2="+he,结合余弦定理推论可求得COSA,进而求得sinA,利用平面向量数量积的定义可求得儿

的值，再利用三角形的面积公式SMBC=gocsinA即可求解.

【详解】在AABC中因为"+<?="+bc,

所以由余弦定理的推论知，8$4=3+『一"2="2+加一.」,

2bc2bc2

因为OvAv4,所以A=X,sinA=@，

32

因为A。AB=4,即力c・cosA=4,解得力c=8,

所以AABC的面积心肥=；A5m4=；'8、#=26.

故答案为：2百

【点睛】本题主要考查三角形的余弦定理和三角形的面积公式;其中余弦定理与平面向量数量积结合是求解本题

的关键;属于中档题、常考题型.

5.（2021春•上海•高一期末）已知函数y=/（x）是在的偶函数,当xWO时，/(x)=

关于”的方程/。）=皿机6R）有且仅有四个不同的实数根，若a是四个根中的最大根，则sin（5+a）=

【答案】

2

【分析】作出函数）=/*）的图像，结合图像可得机=1,即y=i,从而可得四个不同的实数根，进而可得

a=一，代入即可求解.

4

【详解】

作出函数当xNO时的图像如图，

函数函数y=F（x）是发上的偶函数，

，当X<0时y=f（X）的图像与当X20时的图像关于y轴对称,

故函数xeR的图像如图所示，

将=（机wR）进行平移，可得当m=1时，

两图像有且仅有四个不同的实数根，

34

令k1'可得T

3兀

所以C

./乃、3乃J2

sin（—+a）=cosa=cos—=----

242

故答案为：-也

2

【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的

思想，属于中档题.

6.（2021秋•上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考期中）己知皿是实常数，^{x|cos2x+sinx+w=o}^0,

则对勺取值范围是.

【答案】

4

【分析】由题意可转化为机=sin2x-sinx-l有解，换元求函数的值域即可.

【详解】由cos?x+sinx+"2=0可得：

m=sin2x-sinx-l>

若卜卜os2x+sinx+机=。）/0,

则方程=sin?x-sinx-1

令/=sinx,-1<r<1,

则>=J-r-l=（r-^）2,

244

所以只需〃zel-"”，

故答案为：［-］」］

4

【点睛】本题主要考查了含sinx的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.

7.（2023春•上海金山•高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）函数y=Jsinx-g的定义域是

TT54

【答案】2k7i+-2k7r+—,keZ

L6f6

【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域.

【详解】由题意知，sinx-^>O=>sinx>^,

TT、冗

B|J2k7r+-<x<2k7r+—,kGZ

66f

所以/（X）的定义域为：12hr+J,2&;r+¥］,keZ

66

TTT

故答案为：2kn+j2k兀S+E彳,keZ

oo

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力.

三、解答题

8.(2021秋•上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习)在-ABC中，角A,B,C的对边分别是。，

b,c,已知cos2A=-§,c=G，sinA=VbsinC­

(1)求。的值；

(2)若角A为锐角，求力的值及一43c的面积.

【答案】⑴a=3叵(2)b=5,%“=差

【分析】(1)结合题设条件和正弦定理一^7=—三,即可求解；

sinAsmc

(2)由余弦的倍角公式，求得cosA=正，sinA="，再结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.

33

【详解】(1)在一ABC中，因为c=G，sinA=V6sinC,

由正弦定理告:今，解得4=3&

sinAsinC

(2)因为cos2A=2cos24-1=-g,X0<A<y,

所以cosA=,sinA=—.

33

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,得"2-26-15=0,

解得人=5或人=一3(舍),所以$41此=；匕。sinA=

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓

住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能

力，属于基础题.

、_sin(乃+a)cos(2%-a)tan(2;r-a)

9.(2021春•上海•高一期末)已知"tan(-a-.)cos[-^-a]-

(1)化简：/(«)；

(2)在一ABC中，内角4B、C所对的边长分别是a、b、c,若c=2,/(C)=,且的面积S=6，求

a、b的值.

【答案】(1)/(a)=-cosa；(2)a=b=2.

【分析】(1)根据诱导公式可化简〃a);

TT\ao=^

（2）由（1）可得C=g,再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得2/。，解之得答案.

3a=8

.、*的、，八ed，，、-sinacosa(-tana)

【详解】(1)因为f(a)=----------------：----------=-cosa所以/(a)=-cosa；

-tanasina

（2）因为f（C）=-g,即-cosC=-g,又0<C<兀,所以C=（,

因为一"C的面积5=6,所以S=:"sing=6,解得必=4,又cose=’,*/，一一2一二）,所以/+〃=8,

232ab2

,\ab=4fa=2__

由《，/。，解得）.c，所以a=0=2.

[«-+*=8[b=2

【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.

题型三：平面向量

一、填空题

1.（2022春•上海闵行•高三上海市开学考试）已知平面向量°、匕满足"+0=卜-3匕卜1,则

卜+W的取值范围是______

35

【答案】py

【分析】利用待定系数法，可得。+8=京2。+。）-3（〃-3〃），再利用数量积运算可得到关于8的关系式，进而可

求得卜+4的取值范围.

【详解】不妨设2〃+。与的夹角为夕，且a+〃=x（2a+/?）+），（a-3。），

4

7

得a+〃=（2x+y）a+（4-3y）/,故解得<

J=-

7

所以〃+/?=5（2a+b）-,

为计算方便，不妨令2a+Z?=〃，a-3b=n,则。+8二,“一,〃，同=卜卜1,

所以卜+。『=36一!〃=-tn---m-n+—n=^l,w|-|,w|t|,7|cos+|,2|=~^_~rcos^»

II77494949491149111149114949

因为-1推os。1,所以二9w三17-8acos2"5',BP9—<I-a+-*|2<?—5,

4949494949।।49

故|'K|"+"卜m，即卜+匕卜"I，].

故答案为：k，：].

2.（2019秋•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知向量〃、6满足口=向=卜+方卜1,则

a、6的夹角为.

【答案】y

【分析】由平面向量数量积的性质知=卜『+2〃力+加］，再利用平面向量的数量积的夹角公式

3=扁即可求解.

【详解】由平面向量数量积的性质知，,+叶=,『+2a力+卜才，

因为卜卜忖=,+*1,所以a-6=_g,

因为8@,*箭，所以s'（叫='=,

因为04仙》万，所以〃、6的夹角为等.

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量的数量积及其夹角公式;重点考查学生的运算能力；属于基础题.

3.（2021春•上海•高一专题练习）已知AABC内一点。是其外心，cosA=1,S.AO=mAB+nAC,则机+〃的

最大值为________.

【答案】4

4

【分析】如图所示，延长A。交5c于。，^AO=AAD=>AD=-=-AB+-AC,由B,C,。三点共线，得

A.A>A

m+n=A,将问题转化为求4的最大值，利用解三角形知识，即可得答案.

【详解】如图所示，延长AO交BC于。，

^AO=AAD=^>AD=^-=—AB+-AC,

A>A>4

4,C,。三点共线，?+g=l=〃任〃=几,

/tA

二/l取最大值时，加+〃取最大值，

.•.2=也，•.•|AO|为外接圆的半径定值，

\AD\

二当|AL»|取得最小时，力取最大值,此时ADLBC,

.•.AABC为等腰三角形，且8S4=!，；.$亩4=延，

33

..Ay/3AV6A1

••sin—=—,cos—=—,tan—=-,

232325/2

a

'：|AO|=-7^—=,|AD|=-2—=

smA4立fad2

2

3a

•2-472_3

•…一回一4。

F

3

故答案沏-

【点睛】本题考查向量在三角形中的运用、同角三角函数基本关系、倍角公式、解三角形，考查函数与方程思

想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综合性较强.

题型四：数列

一、单选题

1.（2022•上海•二模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,若4=2,且邑=其，则下列说法中正确的是

（）

A.｛4｝为递增数列

B.当且仅当〃=5时，S.有最大值

C.不等式S“>0的解集为｛“eN*|〃410｝

D.不等式4>0的解集为R

【答案】C

【分析】根据已知求出首项和公差即可依次判断.

【详解】由54=§7，知。5+。6+%=。，即。6=。，

10

,.（久=6+2d=2fl|=T

设等差数列｛q｝的首项外,公差'la=]+5,/=0,解得

3

对于A,由d<0,知｛q｝为递减数列，故A错误；

对于B,由4=0，知当"=5或"=6时，S.有最大值，故B错误；

对于C,由等差数列求和公式知S.=若+吗也义,|)=答五>0,即解得即

｛raeATIn<10｝,故C正确;

对于D,由等差数列求通项公式知4,=蓝-：*(〃-1)=4-：">0,解得〃<6,故D错误；

故选：C.

2.(2022•上海•高三专题练习)已知数列｛/｝满足：«„>0,且a；=2摩|-”向(〃€”)，下列说法正确的是

()

A.若4=万，则a”>。”+1B.若则q>1

C.4+%42%D.\an+1-an+t\<^-|a„+1-an\

【答案】D

【分析】化简已知递推关系式可得至1](4-1)(。向-1)>0，由此分别判断A,B选项，可知A,B错误；

设为+i=x,则为=亚=，”,+2=匕互空；采用数形结合的方式知｛q-4向｝越来越小，C错误；假设。成

立，通过化简不等式可知不等式恒成立，知。正确.

【详解】=2^+l-a„+l,.-.a；-l=2a；+1-an+l-l,-1)(«„+1)=(«„+|-1)(2«„+1+1),

又4>0,，《,+1>0,2an+l+l>0,..(a,,-l)(a„+1-1)>O

对于A,若4=；,则+1-1<0,

a；-q；+i=4、一=4“(4出一。<°，；•4<4M，A错误;

对于B,若则q”a；+i=。3-4"+|=a“+i(a“+|-l)<。，

.-.an-l<0,即a“<l,8错误；

对于C,设%+i=x,则a„=-J2x2-x,

考虑函数0=12屋-4与。=*的图象,如下图所示：

当4>0时，｛%｝单调递减,且｛。“一4用｝越来越小，

.,•4+%>2%，C错误；

对于。，设“"+|=x,则a“=\!2x2—x,。”+2=—'—：.<

若®+2-«„+1|4-a,\'则-X4?卜一，2『一$,

等价于1+8x>/2x2—x«Jl+8^2,（4x—1），即272犬-xK3x-1,即尤?—2x+1之0,

而x2-2x+l=（x-1）2z0显然成立，.•.|a“+2-a“+j4^|a“M-aJ,。正确.

故选：D.

【点睛】本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得到数列前后项所满

足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象来进行表现，属于难题.

二、填空题

3.（2022・上海