2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试试题

数学（二）

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服

务满意度调研，则女居民比男居民多选取

A.8人B.6人C.4人D.2人

2.若集合乂={⑹3；=111（4—12））,双=[—2,2],则MCN=

A.[—2,2]B.（—2,2）C.（—8,2]D.[—2,In4]

3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为

“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积

验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地

降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm）,则平地

降雪厚度的近似值为

A."cm

1.乙

D31

D.—cm

c95

C.—cm

,L乙

97

nD.五cm

2

4.抛物线。：y=2〃（40）的焦点为F,且C与椭圆r号十丁口在第一象限的交点为A,

若轴，则p=

2

AA.U3LB.1C.2D.j

5.如图1,儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕,

然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形

短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把

右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2,

是二个”巴车示意图，则

A.OC=OE

B.OA-OB>0

C.dA+OD=2OE

D.OA+OC+OD=0

数学（二）第1页（共4页）

9Q-1

6.设A,B为两个事件，已知P(A)=^,P(B)=守P0B)=2,则P⑷B)一

7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角NAQB的一边QA上的两点，

试在边QB上找一点P,使得NMPN最大.”如图，其结论是：点P为过M,N两点且和

射线QB相切的圆与射线QB的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系

彳。》中，给定两点M(0,2),N(2,4),点P在x轴上移动，当NMPN取最大值时，点P

的横坐标是

A.2B.6C.2或6D.1或3

8.若a=0.001+sin0.001,6=In1.001,c=-1,则

A.6>c〉aB.c>a>6

C.c>b>aD.a>c>6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知直线平面a,则下列说法错误的是

A.,Z〃a,则m//a

B.Z〃⑶汨〃£,/Ua,利Ua,则a〃/?

C.，〃根"Ua,wU6,则allB

D./〃⑶根〃B"Ua,根Ua,/n〃？=M，贝I]a〃尸

10.已知/(J;)=sin2了十9cos2处则

A.函数/(z)的最小正周期为兀

B.将函数/(丁)的图象向右平移关个单位,所得图象关于y轴对称

C.函数/(z)在区间指上单调递减

_-L乙乙_

D.若")=；,则8tan(汁•一tan2(^+f)=1

11.若满足(1+))2—*z;y=2,则

A.y-1》一y3~B.y—久<2

33

C.xy^>-D.——

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z=3—4i+|3—4i|，贝U|之|=.

13.已知数列｛4｝满足a】=1,2a叶1—an+〃+1=0OWN*)，则数列｛“〃｝的通项公

式为.

22

14.已知P是双曲线C：卷一?=义(以>0)上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离之积

o4

为:，则C上的点到焦点距离的最小值为.

数学(二)第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知在△ABC中，三边a,6,c所对的角分别为已知a（cosA+cosBcosC）=

y3-6sinAcosC.

（1）求C;

（2）若a^2,AABC外接圆的直径为4,求△ABC的面积.

16.（本小题满分15分）

某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间工（小时/每周）和他们的语文

成绩'（分）的关系，某实验小组做了调查,得到一些数据（表一）.

表一

编号12345

学习时间7247710

语文成绩V829395108122

（1）请根据所给数据求出语文成绩》的平均数和方差；

（2）基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调

查了200位学生.按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据，

请依据表中数据及小概率值a=0.01的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩

优秀”是否有关.

表二

语文成绩优秀语文成绩不优秀合计

喜欢阅读7525100

不喜欢阅读5545100

合计13070200

2—71(ad—be¥

■X(a+6)(c+c/)(a+c)(6+H)，

a0.100.050.010

4-ra2.7063.8416.635

17.（本小题满分15分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD〃BC,AD，AB,AC

与BD交于点O,过点O作平行于平面PAB的平面a.

（1）若平面a分别交PC,BC于点E,F,求△OEF的周长；

（2）当PD=2"时,求平面a与平面PCD夹角的正弦值.

数学（二）第3页（共4页）

18.（本小题满分17分）

已知椭圆c：（+4=i,。为坐标原点，若椭圆C'与椭圆C的离心率相同，焦点都在

O乙

同一坐标轴上，椭圆C的长轴长与椭圆C的长轴长之比为

（1）求椭圆C'的方程；

（2）已知点P在椭圆C上，点A,B在椭圆C'上，若9=示十。瓦则四边形OAPB的

面积是否为定值？若是，求出定值;若不是，请说明理由.

19.（本小题满分17分）

若一个两位正整数m的个位数为4,则称m为“好数”.

⑴求证:对任意“好数”，加一16一定为20的倍数;

（2）若加="—q2,且力，q为正整数，则称数对（”q）为“友好数对”，规定：

例如24=52—I?,称数对（5,1）为“友好数对”，则”（24）=5,求小于70的“好数”中，所有

0

“友好数对”的H（7〃）的最大值.

数学（二）第4页（共4页）

参考答案及解析数学(二)

2024年普通高等学校招生全国统一考试试题

数学(二)参考答案及解析

一、选择题7.A【解析】由题M(0,2),N(2,4)可知，则线段MN

1.D【解析】由题可知，男居民选取卷卷X12=5人，的中点坐标为(1,3),易知儿MN=1,则经过M,N两点、

的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=4一1上.

女居民选取12—5=7人，则女居民比男居民多选取

设圆心为C(a,4—a),则圆C的方程为：(]一

2人.故选D.

(3；—4+(2)2=a2+(2—<2)2,当/MPN取最大值时，

2.D【解析】M={y\y=\n(4—x2)}=

圆C必与迎轴相切于点P(由题中结论得)，此时P

(—oo,ln4],所以M(~]N=[-2,ln41.故选D.

的坐标为(a,0),代入圆C的方程，得(-4+。)2=。2

3.C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为

+(2—a)?,解得a=2或a=~6,即对应的切点分别

竺cm,所以平地降雪厚度的近似值为

为尸(2,0)和尸N—6,0).因为对于定长的弦在优弧

上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又

—不厂二相皿故选C.

过点M,N,P1的圆的半径大于过点M,N,P的圆的

4.A【解析】由题设F(g,0),且A在第『象限,AF

半径，所以/MPN>/MPIN,故点P(2,0)为所求，

轴，则A(冬，力)，又A在椭圆上，故"+02=1即点P的横坐标为2.故选A.

8.D【解析】令/(①)=x+sin(1)=ln(i+l),

。力z=[■，而/>>0,故力=当工故选A.

4(尤)=e"-l,2(1)=/1(丁)一/(1)=61—1一丁一

5.C【解析】不妨设=|(走|=|9|=1,则sin1,口(2)=无(1)—g(i)=e①一l—

|OA|=|OD|=展,显然庆与走方向不一致，所以

//(2)=e*—1—cosx,q(丁)=e“一；],令

前片既，A错误；示­OB=|OA|•

m(j：)=p'(1),m(1)=e"+sinJC•，当JCG

|逮|cos/AOB<0,B错误；根据平行四边形法则，

示+苗=205,C正确；示+反错误.[o,9时，0>°，所以/⑺在[o,9时单

故选C.

调递增，所以当HC时,“9<豕(y)=

6.B【解析】根据题意,P(3)=5,则P(B)=1—

7e—1—cos—1—cos?='/e-1一年<0,所

ONoZ

看，因为P(A)=P(B)P(A|B)+PgP(A|8),所以

以力⑺在ie[°，十)时单调递减，所以

春=春「08)+春><4,所以P(A|B)=(故

5515Z13

pg001)〈力(0)=0,所以Ya；当[o，+)时，

选B.

1

数学（二）参考答案及解析

q'（2）=e，一不耳＞0,所以在4）上单调tan，（«+*）=1,所以D正确.故选ACD.

递增，所以q（0.OOI）＞q（0）=0,所以c＞6,综上，11.ABD【解析】令》一1=八即y=工+"代人

Q＞C＞6.故选D.（x+＞）2—=2得,，+力工+.（r—2）=0,

二、选择题

所以△=——3〈/-2）＞0,解得一乃《公偌,所以

9.ABC【解析】选项A中，利可能在Q内，也可能与Q

O

平行，故A错误；选项B中，a与£也可能相交，故BA正确，B正确；由Qx+yV--xy=2可变形为

错误;选项C中，a与£也可能相交，故C错误;选项D

/+；/=告了了+2,因为一工（工？＜h.y,所

中，依据面面平行的判定定理可知a〃鱼故D正确.

故选ABC.以一置号+1，解得—〈告，所以

10.ACD【解析】由/（i）=sin21+西cos2配得/（丁）C不正确，D正确.故选ABD.

=21sin2工+岑cos2工）=25山（2工+手），对于三、填空题

12.475【解析】因为z=3-4i+，3…42=8—4i,所

A：最小正周期为7=学=欠,所以A正确；对于B：

以|z|=782+（-4）2=475.故答案为&展.

将函数/（①）的图象上所有点向右平移点，所得图象

13.an=【解析］***2＜2„+I—an+anan+1=0,

式

的函数解析式为g（N）=2sin|2纪一至+f

2sin2工,而g（z）为奇函数，所以其图象关于原点对

称，所以B错误;对于C：令2旅+今&21+手《竽...誓2—=2,又工+1=2,.•/上+1］是以2为

1■Q1IQ”J

a”

+2后,-2,化简得标+令《丁（碧+蒜花eZ,当

首项，公比为2的等比数列，...工+l=2"，.\a“=

a”

k=0时.考＜得7T7TU7C77t

129~212912

2.）］.故答案为=

7T7T

所以函数在12f~2c正确；对于

14.73-72【解析】所求的双曲线方程为q―4=入

o4

D选项:因为/⑻=。,所以sin（2«+1_）=+，所

（A＞0），设点P（力°,y），则等一平=入=忌一2/=

Qo4

cos4，所以

o

81,点P到C的两条渐近线的距离之积为

*即

得|片（）|一（）—|曷一2y（1_8A=

A/12+（72）2712+（72）233

91J

可，解得：4=了，故双曲线C方程为：2一式=1,故

春，也就是

1+tan2（6+-^-）O

■，故双曲线C上的点到焦点距离的最

2

参考答案及解析数学（二）

小值为c-a=43—^.故答案为点一隹.有关.（15分）

四、解答题17.解：（1）由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，

15.解：（1）因为a（cosA+cosBcosC）=用bsinAcosC,.•・AAOD与△COB相似,AD=-yBC,

由正弦定理得sinA（cosA+cosBcosC）=

/.AO=yOC,OD=-^OB,（3分）

V^sinBsinAcosC,

因为过点O作平行于平面PAB的面a分别交PC,

因为AG（0,兀），sinAWO,

BC于点E,F,由面面平行的性质定理得OE〃PA,

所以cosA+cosBcosC=V3sinBcosC,

OF〃AB,EF〃PB,所以△OEF与△PAB相似，相

因为cosA=—cos（B+C）

似比为3：2,因为△PAB的周长为6,所以三角形

=sinBsinC—cosBcosC,

△OEF的周长为4.（6分）

所以sinBsinC=V3-sinBcosC,

（2）；a〃平面PAB,.,•平面a与平面PCD的夹角

又sinB力0,则tanC=6"，因为CG（0,冗），

与平面PAB与平面PCD的夹角相等，・..AD=2,

所以C=q.（7分）

PA=2,PD=272PD2=AD2+PA2,

・・・AD，PA,又AD，AB,ABDPA=A,I.AD，平

（2）因为c=4sinC=2Vy,所以cosC=；,二

Lab

面PAB,（7分）

4，得b=4或6=—2（舍去），（10分）

ADU平面ABCD,・'.平面PABJ_平面ABCD,取

所以△ABC的面积S=}a6sinC=2翼.（13分）AB的中点G,因为△ABC为等边三角形，・・・PG_L

AB,：.PG_L平面ABCD（8分）

16.解：（1）丁=82+93+9：108+122=1QQ,*=卷

以A点为原点,AB所在直线为i轴，AD为N轴，过

[（82—100）2+（93-100）2+C95-100）2+（108-点A与PG平行的直线为z轴，建立如图所示空间

100）2+（122—IO。/]=189.2,直角坐标系，

所以语文成绩）的平均数为100,方差为189.2.

（7分）

（2）零假设为H。：喜欢阅读古典名著与语文成绩优

秀无关.

2=200X（75X45—55X25）2

根据数据，因为X130X100X70X100

品48.791>6.635=^o,oi,（12分）

（0,2,0）,虎=（2,2,0）,猪=（1,—2,乃），（9分）

所以依据a=0.01的独立性检验，Ho不成立，故

可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”设平面PCD的法向量〃=（x,y,z）,

3

数学（二）参考答案及解析

（DC•n=0（2i+2j/=0因为次=示+5在所以四边形0APB为平行四

5",n=（1,—1,

（DP•n=012一2jy+①2=0边形，

一星）,（11分）所以（了0,？0）=（了1+I2.+）2），（8分）

平面PAB,・,•翁是平面PAB的法向量，所以（―》+5y=1,（9分）

oZ

（12分）

又乎+乂=1,苧+乂=1,所以要卫+“屹=0,

cos行望"=。口售,sin

AD||„|展5（11分）

所以平面a与平面PCD夹角的正弦值为华.

（15分）

18.解：⑴设椭圆C'的方程为＜+1=1（46＞0）.

ab所以（31丁当『=1,则a22一四色|=2,

椭圆C：?+q=l中，长轴长为2乂提=4混，离心

O乙（13分）

直线OA：yx—xy=0,

率为上暂，（2分）11

782

因为点B到直线OA的距离"=小三兰」，

因为椭圆C'的长轴长与椭圆C的长轴长之比为，田+乂

（分）

1：展，15

所以平行四边形OAPB的面积S°APB=\OA\d=

所以2a：4/?=l：展，解得a=2.（4分）

r^~\FxzI处"―四亚|_।।_o

因为椭圆C'与椭圆C的离心率相同，，了1十X------/,=।芍-------111v2—）1I-乙

，石+5

所以，=§，解得c=\[3.

所以四边形OAPB面积是定值，定值为2.（17分）

19.解：（1）证明：设相=10z+4,l&力&9且力为整数，

所以b=/a?—c?=1,（5分）

/.m2-16=（102+4）2—16=100/+802+16—16

故椭圆C的方程为]+丁=1.（6分）

=20（5产+42）.（2分）

（2）设A（丁1,）1）,B（了2,y2），尸（,丁0）.•・・1&方＜9,且％为整数，・・.5於+4方是正整数，（4分）

，苏—16一定是20的倍数.（5分）

（2）・・・加=力2-92,且力，q为正整数，.・・10%+4=

Qp+q）Qp—q），（6分）