n阶行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式的值相等，即D=DT。证明：记D=|aij|，D

T=|bij|，且bij=aji

，D

T的一般项为第二节n阶行列式的性质

将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D

。行列式的转置：这也是D

的一般项，所以D=DT。结论：行列式的行具有什么性质，列也具有同样的性质下页

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。证明：记D=|aij|，交换D的第s行与第t(s<t)行得到的行列式为D1=|bij|，那么bsj=atj、btj=asj(j=1,2,,n)。D1的一般项为它与D的一般项相差一个负号，所以D1=-D。，下页推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，那么此行列式的值为零。

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

这是因为，将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为D，但由性质2，D=-D，所以D=0。12-72-144406461838如=0推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，那么此行列式的值为零。

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

性质3

用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。即a11…ka31…an1

a12…ka32…an2

a1n…ka3n…ann

……………

这是因为，。=k。a11…a31…an1

a12…a32…an2

a1n…a3n…ann

……………下页推论2如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，那么此行列式的值为零。推论1如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子，那么公因子可以提到行列式符号的外面。推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，那么此行列式的值为零。

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

性质3

用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。下页

例1．计算行列式

解：因为第一列与第二列对应元素成比例，所以=0。

反对称行列式：a

ij=-a

ji(i

j)，a

ii=0(i=j)。

反对称行列式的特点是：0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

。下页

解：设

例2．证明奇数阶反对称行列式的值为零。0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

，D=那么0a12a13…a1n

-a120a23…a2n

-a13-a230…a3n

-a1n-a2n-a3n…0

……………

=(-1)nDTD=(-1)n当n为奇数时，有D=-D，=(-1)n

D，所以D=0。(将D的每一行提出一个-1)(DT=

D)下页

例3．设a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33求。6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33

解：-3a11-3a21-3a31a12a22a325a135a235a33-2a11a21a31a12a22a32a13a23a33-2

(-3)

5=30。=-2

(-3)

5

1下页(-2)①5③(-3)①性质4假设行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，那么此行列式可以写成两个行列式之和：a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

这是因为，下页推论：如果将行列式某一行〔列〕的每一个元素都写成m个数〔m为大于2的整数〕的和，那么此行列式可以写成m个行列式的和下页练习．设a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，下页那么＝＿＿＿＿＿＿-12

性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变。a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=。下页a11…aj1…an1a12…aj2…an2a1n…ajn…ann……………+k。a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

右边=即

这是因为例４计算以下行列式〔１〕解＝０应用举例〔２〕解①+１×②＝０例５证明结束证明16例6计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．化三角形法17解00-10-2ccccccccc0204-10-21-530022-2ccc1801-1219c0

例7．0-1-122110-12-101-1020-1-122110-12-101-102-00-2

2

00-24-0-1-121-102下页(①,②)031-4

01-120-1-121-102-③+①1④+①(-2)③+②

1④+②

300

0-2

00-24-0-1-121-102=-1

(-1)

(-2)

(-2)=4。④+③(-1)21例8

计算阶行列式解将第列都加到第一列得2223例9设

证明24证明对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为