2023-2024学年江苏省南京市溧水区中考试题猜想数学试卷含解析

2023-2024学年江苏省南京市深水区中考试题猜想数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

2

1.已知抛物线c：y=x+2X-3,将抛物线c平移得到抛物线c，，如果两条抛物线，关于直线x=l对称，那么下列说法

正确的是（）

A.将抛物线c沿x轴向右平移3个单位得到抛物线c，B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c，

2

7

C.将抛物线c沿x轴向右平移一个单位得到抛物线c，D.将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c，

2

2.在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中

间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（）

A.三条高的交点B.重心C.内心D.外心

3.已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上有三点A（yi）,B（2,y2）,C（-石，y3）,则yi、y2>y3的大小

关系为（）

A.yi>y2>y3B.y2>yi>y3C.y3>yi>y2D.y3>y2>yi

4.二次函数y=a（x—4产一4（a#））的图象在2<xV3这一段位于x轴的下方，在6Vx<7这一段位于x轴的上方，则a

的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知二次函数y=-（x-h）2+l（为常数），在自变量x的值满足l<x<3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为-

5,则h的值为（）

A.3-#或1+遥B.3-遥或3+几

C.3+而或1-6D.1-76^1+76

6.如图，下列条件不能判定△ADBs/\ABC的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

ADAB

c.AB2=AD*ACD.

7.下列运算正确的是（）

A.a*a2=a2B.（ab）2=abC.3-1=jD.^5+^/5=V10

8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（)

A.9B.7C.-9D.-7

9.如图，平面直角坐标系xOy中，四边形Q45C的边。4在X轴正半轴上，轴，ZOAB=9Q°,点C（3,2）,

连接OC.以OC为对称轴将。4翻折到。£,反比例函数y=月的图象恰好经过点4、B,则上的值是（）

10.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在RtAABC中，NAC5=90。，AC=BC^6cm,动点尸从点A出发，沿43方向以每秒J5cm的速度向

终点5运动；同时，动点。从点3出发沿8c方向以每秒0"的速度向终点C运动，将APQC沿5c翻折，点尸的

对应点为点尸，设。点运动的时间为，秒，若四边形。PCP为菱形，则f的值为.

12.分解因式：2x2-8=

13.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为二，贝!|二二.

一a2.a+b

14.若:=一，n则^―=___.

b3b

15.已知扇形的弧长为万，圆心角为45。，则扇形半径为.

16.如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出

水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）

与时间x（单位：分）之间的部分关系.那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某校为表彰在“书香校园”活动中表现积极的同学，决定购买笔记本和钢笔作为奖品.已知5个笔记本、2

支钢笔共需要100元；4个笔记本、7支钢笔共需要161元

（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？

（2）恰好“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔记本9折优惠；钢笔10支以上超出部分8折优惠若

买x个笔记本需要yi元，买x支钢笔需要y2元；求yi、y2关于x的函数解析式；

（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱.

18.（8分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔5C,数学兴趣小组的同学在斜坡底尸处测得该塔的

塔顶B的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶3的仰角

为76。.求：坡顶A到地面尸。的距离；古塔5c的高度（结果精确到1米）.

B.

19.(8分)如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD=PG,DFJ_PG于

点H,交AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,连接EF.

(1)求证：DF=PG；

(2)若PC=L求四边形PEFD的面积.

20.（8分）如图，已知=ZACB=ZDBC.求证AB=OC.

21.(8分)如图，在AABC中，AB=AC,。为8c的中点，DEVAB,DFLAC,垂足分别为E、F,求证：DE=DF.

22.(10分)如图，抛物线y=-必+雨+。与x轴交于点A和点5(3,0),与y轴交于点C(0,3),点。是抛物线的

顶点,过点。作x轴的垂线，垂足为E,连接。肌

(1)求此抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为力.

①当时，求点M的坐标；

②过点M作MN〃x轴，与抛物线交于点N,尸为x轴上一点，连接PM,PN,将APMN沿着脑V翻折，得△。拉N,

若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值.

23.(12分)已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(L3).

⑴求此抛物线的表达式；

⑵如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积.

24.如图，已知与抛物线C1过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).

(1)求抛物线Ci的解析式.

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点P,D为第四象限内的一点，若ACPD为等腰直角三角形，求出D点坐标.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

,抛物线C：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

.•.抛物线对称轴为x=-1.

抛物线与y轴的交点为A（0,-3）.

则与A点以对称轴对称的点是B（2,-3）.

若将抛物线C平移到C，，并且C,C关于直线x=l对称，就是要将B点平移后以对称轴x=l与A点对称.

则B点平移后坐标应为（4,-3）,

因此将抛物线C向右平移4个单位.

故选B.

2、D

【解析】

为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在

三边中垂线的交点上.

【详解】

•••三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，

.♦•凳子应放在小ABC的三条垂直平分线的交点最适当.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养.想到要

使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.

3、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的解析式y=3（x—lA+k,可知函数的开口向上，对称轴为x=L根据函数图像的对称性，

可得这三点的函数值的大小为y3>y2>yi.

故选D

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减

性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.

4、A

【解析】

试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4,利用抛物线对称性得到抛物线在l〈xV2这段位于x轴的上

方，而抛物线在2Vx<3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2,0）然后把（2,0）代入》=。（*-4）2—4（存0）

可求出a=l.

故选A

5、C

【解析】

•・,当xVTz时，y随工的增大而增大，当”>入时，y随”的增大而减小，

・・.①若入V1SKW3,x=l时，y取得最大值-5,

可得：-(1-A)2+1=5

解得：h=l-a或h=l+«(舍)；

②若l<x<3<h,当x=3时，y取得最大值-5,

可得：-(3-A)2+1=-5,

解得：&=3+#或/片3-痛(舍).

综上，&的值为L&或3+庭，

故选C.

点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键.

6、D

【解析】

根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可.

【详解】

解：A、VZABD=ZACB,ZA=ZA,

/.△ABC^AADB,故此选项不合题意；

B、,/ZADB=ZABC,NA=NA,

/.△ABC^AADB,故此选项不合题意；

C、VAB2=AD«AC,

ACAB

・•・——=——,ZA=ZA,△ABC^AADB,故此选项不合题意；

ABAD

ADAB

D、——=——不能判定△ADBs/iABC,故此选项符合题意.

ABBC

故选D.

【点睛】

点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三

角形相似.

7、C

【解析】

根据同底数塞的乘法法则对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据负整数指数募的意义对C进行判断；根

据二次根式的加减法对D进行判断.

【详解】

解：A、原式=a3,所以A选项错误；

B、原式=a2b2,所以B选项错误；

C、原式=』，所以C选项正确；

3

D、原式=2石，所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根

式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.也考查了整式的运算.

8、C

【解析】

先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【详解】

当x=7时,y=6-7=-l,

.,.当x=4时，y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法.

9、C

【解析】

设B(1,2),由翻折知OC垂直平分AA。A，G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=V13,根据相似三角形或

锐角三角函数可求得A’(蔡，白)，根据反比例函数性质k=xy建立方程求k.

【详解】

如图，过点C作CD，x轴于D,过点A，作A，G，x轴于G,连接AA，交射线OC于E,过E作EF，x轴于F,

在RtAOCD中，OD=3,CD=2,ZODC=90°,

：•oc=4OD1+CD2=J32+22=A/13，

由翻折得，AAr±OC,AT=AE,

.•.sin/COD.喉

9k

：.AE=83=匕=叵

k9

OC13

VZOAE+ZAOE=90°,ZOCD+ZAOE=90°,

AZOAE=ZOCD,

.•.sin/OAE暇嘿

=sinZOCD,

…ODAE3A/13,3,

..EF=-----------=-；=x-----k=-k,

OC7131313

VcosZOAE==cosZOCD,

AEOC

：.AF=9AE=^X叵k二k

OC岳1313

•・・EF_Lx轴，A，G_Lx轴,

/.EF//AG,

.EFAFAE_1

——,

A!GAGAA2

64

AA,G=2EF=—k,AG=2AF=—k

1313

145

:.OG=OA-AG=-k——k=——k,

21326

.,.A-(—9%),

2613

：.—k~k=k

26139

Vk^O,

故选c.

【点睛】

本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等,

解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A，的坐标.

10、C

【解析】

根据俯视图的概念可知，只需找到从上面看所得到的图形即可.

【详解】

解：从上面看易得：有2列小正方形，第1列有2个正方形，第2列有2个正方形，故选C.

【点睛】

考查下三视图的概念；主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

作PD_LBC于D,PE_LAC于E,如图，AP=0t,BQ=tcm,(0<t<6)

,.,ZC=90°,AC=BC=6cm,

/.△ABC为直角三角形，

；.NA=NB=45。，

AAPE和小PBD为等腰直角三角形，

PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,

2

.\CE=AC-AE=(6-t)cm,

；四边形PECD为矩形，

/.PD=EC=(6-t)cm,

BD=(6-t)cm,

.*.QD=BD-BQ=(6-It)cm,

在RtAPCE中，PC1=PE1+CE1=t1+(6-t),,

在RtAPDQ中,PQi=PD】+DQi=(6-t)】+(6-It)】，

•••四边形QPCP，为菱形，

，PQ=PC,

/.tx+(6-t)1=(6-t)1+(6-It)I

•*.ti=l,ti=6(舍去),

；.t的值为1.

故答案为1.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关键是要熟记定理的内容并会应用.

12、2(x+2)(x-2)

【解析】

先提公因式，再运用平方差公式.

【详解】

2x2_8,

=2(x2-4),

=2(x+2)(x-2).

【点睛】

考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.

13、20%.

【解析】

试题分析：根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x.

试题解析：依题意，有：100(1+x)2=144,

l+x=±l.2,

解得：x=20%或22(舍去).

考点：一元二次方程的应用.

5

14、-

3

【解析】

a_2

a+ba.2.5

------=—+1=—+1=-.

6b33

15、1

【解析】

根据弧长公式1=:代入求解即可.

【详解】

故答案为1.

【点睛】

nirr

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：1==.

16、8。

【解析】根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论:

由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20+4=5升。

设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得20+8(5-a)=30,解得：a=

关闭进水管后出水管放完水的时间为：15(分钟)。

30+—=8

4

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)笔记本单价为14元，钢笔单价为15元；(2)yi=14x0.9x=12.6x,yz=；二1';二W;(3)当购买奖品数

口+r巩一>J0]

量超过2时，买钢笔省钱；当购买奖品数量少于2时，买笔记本省钱；当购买奖品数量等于2时，买两种奖品花费一

样.

【解析】

⑴设每个文具盒z元，每支钢笔y元，可列方程组得''解之得

答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.

(2)由题意知，yi关于x的函数关系式是yi=14x90%x,即yi=12.6x.

买钢笔10支以下(含10支)没有优惠.故此时的函数关系式为y2=15x：

当买10支以上时，超出的部分有优惠，故此时的函数关系式为y2=15xl0+15x80%(x—10),

即y2=12x+l.

(3)因为x>10,所以y2=12x+L当yiVyz,即12.6xV12x+l时，解得xV2；

当yi=y2,即12.6x=12x+l时，解得x=2；

当yi>y2,即12.6x>12x+l时，解得x>2.

综上所述，当购买奖品超过10件但少于2件时，买文具盒省钱；

当购买奖品2件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；

当购买奖品超过2件时，买钢笔省钱.

18、(1)坡顶A到地面PQ的距离为10米；(2)移动信号发射塔的高度约为19米.

【解析】

延长5c交。尸于在RtAAPD中解直角三角形求出AZ>=10.P£>=24.由题意设3C=x.贝！Ix+10=24+Z)".推

Be

出AC=O8=x-14.在RtAABC中.根据tan76°=——，构建方程求出x即可.

AC

【详解】

延长BC交OP于H.

0

•.•斜坡AP的坡度为1：2.4,

•旬一5

"PD-12，

设则尸。=124,由勾股定理，得4尸=13«,

；.134=26,

解得k=2,

.•.40=10,

'：BCLAC^.C//PO,

：.BHVPO,

：.四边形ADHC是矩形,C7/=AZ>=104C=OH,

VZBPD=45°,

设3C=x,贝！|x+10=24+DH,

：.AC^DH=x-14,

.,BCx

在RtAABC中,tan76o=——，a即n-----=4.1.

ACx-14

解得：x=J18.7,

经检验r=18.7是原方程的解.

答：古塔8C的高度约为18.7米.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数,坡角与坡角等，解决本题的关键是作出辅助线，

构造直角三角形.

19、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

作PM_LAD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD=PM；DF1PG,得出NGDH+NDGH=90。，推出NADF=

ZMPG；还有两个直角即可证明△ADF咨Z\MPG,从而得出对应边相等

(2)由已知得，DG=2PC=2；△ADFgZkMPG得出DF=PD；根据旋转，得出NEPG=90。，PE=PG从而得出四

边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH

的值，从而求出高PH的值；最后根据面积公式得出

【详解】

解：(1)证明：•.•四边形ABCD为正方形，

；.AD=AB,

•.•四边形ABPM为矩形，

；.AB=PM,

/.AD=PM,

VDF±PG,

.\ZDHG=90°,

:.ZGDH+ZDGH=90°,

,/ZMGP+ZMPG=90°,

...NGDH=NMPG,

,ZA=ZGMP

在小ADF和小MPG中AD=PM，

ZADF=ZMPG

.,.△ADFg△MPG(ASA),

，DF=PG；

(2)作PMLDG于M,如图，

；PD=PG,

/.MG=MD,

•.•四边形ABCD为矩形，

APCDM为矩形，

；.PC=MD,

/.DG=2PC=2；

VAADF^AMPG(ASA),

DF=PG

而PD=PG,

/.DF=PD,

•••线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,

/.ZEPG=90°,PE=PG,

，PE=PD=DF,

而DF_LPG,

；.DF〃PE,

即DF〃PE,且DF=PE,

四边形PEFD为平行四边形，

在RtAPCD中，PC=LCD=3,

•"PD=yj32+l2=V10»

.•.DF=PG=PD=\&,

•••四边形CDMP是矩形，

；.PM=CD=3,MD=PC=1,

VPD=PG,PM±AD,

；.MG=MD=1,DG=2,

VZGDH=ZMPG,ZDHG=ZPMG=90°,

/.△DHG^APMG,

.DGGH

*，PG^MG，

.2><i_Vio

••Lrtl-)---------f

V105

IOO

/.PH=PG-GH=/1Q--V-----4VT,

55

，四边形PEFD的面积=DF・PH=S^x生叵=1.

5

【点睛】

本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值

20、见解析

【解析】

根据NABD=NDCA,ZACB=ZDBC,求证NABC=NDCB,然后利用AAS可证明△ABC之4DCB,即可证明结论.

【详解】

证明：VZABD=ZDCA,ZDBC=ZACB

，ZABD+ZDBC=ZDCA+ZACB

SPZABC=ZDCB

在4ABC和小DCB中

ZABC=ZDCB

<BC=CB

ZACB=ZDBC

/.△ABC^ADCB(ASA)

.\AB=DC

【点睛】

本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△ABC丝4DCB.难度不大，属

于基础题.

21、答案见解析

【解析】

由于AB=AC,那么NB=NC,而DE_LAC,DF_LAB可知NBFD=NCED=90。，又D是BC中点，可知BD=CD,利

用AAS可证△BFD^ACED,从而有DE=DF.

22、(1)(1,4)(2)①点M坐标(-L,1)或(-▲,--)；②m的值为匹也7或上2叵

242422

【解析】

(1)利用待定系数法即可解决问题;

(2)①根据tanNMBA=旅=1"'+2"2+3],tan/BDE=g£=,，由NMBA=NBDE,构建方程即可解决问题;

BG3-mDE2

②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即

OP=1,易证GM=GP,BP|-m2+2m+3|=|l-m|,解方程即可解决问题.

【详解】

解：(1)把点B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,

一9+38+c=0Jb=2

得到｛，解得；,

c=3lc=3

・•・抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,

Vy=-x2+2x-1+1+3=-(x-1)2+4,

J顶点D坐标(1,4)；

(2)①作MGJ_x轴于G,连接BM.则NMGB=90。，设M(m,-m2+2m+3),

MG一加2+2机+3

AtanZMBA=丝i=J____________।

BG3—m

•・・DEJ_x轴，D(1,4),

AZDEB=90°,DE=4,OE=1,

VB(3,0),

/.BE=2,

,BE1

・・tanNBDE==—，

DE2

VZMBA=ZBDE,

.|—m2+2m+3|_1

3-m2

解得m=-大或3（舍弃）,

2

m—2m—3

当点M在x轴下方时,

、…3

解得m=-大或m=3（舍弃），

2

39

・••点M（-一，~一）,

24