人教版高中数学必修二6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（解析版） 导学案

6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点2平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点3向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

【合作探究】探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究二向量的模的问题【例2】向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10)D．(7，－6)[解析](1)∵向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量a＝(－3,4)的夹角为π，∴设eq\o(AB,\s\up6(→))＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．由此可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(－3k2＋4k2)＝10，解之得k＝－2(k＝2舍去)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－8)，设B(m，n)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝6,n－2＝－8，))解得m＝7，n＝－6，∴B(7，－6)，故选D.归纳总结：(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．【练习2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标．解设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，∴存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ.))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D点坐标为(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)．∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，D(1,1)．探究三向量的夹角与垂直问题【例3-1】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－2，eq\f(2,3))∪(eq\f(2,3)，＋∞)D．(－∞，eq\f(1,2))[答案]A[解析]∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))．故选A.【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.[答案]7[解析]因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案B解析∵|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵a，b的夹角范围为[0，π]．∴a与b的夹角为eq\f(π,4).归纳总结：根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定θ.【练习3-1】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．解设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a与b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－eq\f(1,2)，由a与b同向得λ＝2.所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．【练习3-2】设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.[答案]1[解析]b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6.又|a|＝3eq\r(2)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(6,6)＝1.

课后作业A组基础题一、选择题1.若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为60°，则（）A. B.2 C. D.【答案及解析】：B【分析】由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得，再由数量积的定义可得模．【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故选：B.2.已知向量，若向量在向量方向上的投影为－2，则向量与向量的夹角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案及解析】：C【分析】由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量夹角公式即可求解．【详解】解：由数量积的定义知向量在向量方向上的投影为，所以，所以，所以夹角.故选：C.3.已知向量满足，且与的夹角为，则（）A. B. C.1 D.13【答案及解析】：C【分析】根据求解即可.【详解】解析：.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.4.已知，则在方向上的射影为（）A. B. C. D.【答案及解析】：B【分析】由于在方向上的射影为，代入值直接求解即可.【详解】解：因为，所以在方向上的射影为，故选：B5.已知向量，，若，则实数m=()A.－1 B.1 C.2 D.－2【答案及解析】：B【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.6.已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案及解析】：D【分析】先求，进而可求，再求，即可求，利用结合，即可求解.【详解】，，，设向量与的夹角为，，因为，所以，所以与的夹角为.故选：D7.若，，且，则向量的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案及解析】：B【分析】由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.【详解】根据题意，由于向量，，且，，，故，又向量夹角的范围为，故可知向量的夹角为.故选：B．8.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案及解析】：C【分析】由，可得.根据数量积的运算律和定义，可求与的夹角.【详解】是非零向量，且，，设与的夹角为，则.，.故选：C9.设非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案及解析】：C【分析】根据可得，由也可得，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可.【详解】因为，所以，因为，两边平方可得：即，由充分条件和必要条件可判断出是的充分必要条件故选：C二、填空题10.已知单位向量，满足，则与的夹角是_________.【答案及解析】：【分析】将两边平方，代值计算即可.【详解】设与的夹角是，由题意两边平方后，得：，因为，为单位向量，，.，.故答案为：.11.若向量，，则与的夹角等于______.【答案及解析】：【分析】求出与的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断.【详解】，，，，与的夹角等于.故答案为：12.向量，，若，则_________.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值.【详解】因为，且，故，解得.故答案为：13.已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数________.【答案及解析】：【分析】根据题设知，又单位向量，的夹角是，即可得方程求值【详解】由向量，，知：∴，而单位向量，的夹角是∴，解得故答案为：三、解答题14.已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求【答案及解析】：（1）；（2）【分析】（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由得，已知向量与向量的夹角为，且，所以化简得；；解得或（舍去）∴；（2）由得15.已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最值．【答案及解析】：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为，最大值为.【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简表达式，结合图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得，利用整体代入法求得的单调减区间.（Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数在区间上的最值．【详解】（Ⅰ）.由于图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，即，由于，所以.所以由，解得，所以的单调递减区间为.（Ⅱ）因为，所以，所以，，.所以在区间上的最小值为，最大值为.

B组能力提升一、选择题1.非零向量满足：，则与夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案及解析】：.A【分析】由得向量垂直，，作图表示向量和，由向量减法法则得，从而可得夹角．【详解】因为，所以，如图，则，又，所以，所以与夹角，即的夹角为．故选：A．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便．2.已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（）A.3 B. C. D.【答案及解析】：B【分析】由，根据向量模的方法求得，再根据在方向上的投影为-4，求得，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，则，∵在方向上的投影为，∴，则，又，∴，即，即，则，解得：.故选：B.3.已知向量，，若与的夹角为，则（）A.2 B. C. D.1【答案及解析】：B【分析】求出、，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，即可得解.【详解】，，则，同理，，因此，.故选：B.4.如图所示，在中，设为的外心，向量，，，若，，则等于（）A.6 B.5 C.3 D.1【答案及解析】：A【分析】取中点，根据平面向量线性运算将所求数量积化为，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取中点，连接，为的外心，为的垂直平分线，，，，又，，.故选：.5.已知、、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值是（）A. B.－2 C. D.【答案及解析】：D【分析】计算出的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积运算律和定义可求得的最大值.【详解】单位向量与的夹角为，则，，则，所以，.故选：D.二、填空题6.如图，在平面四边形ABCD中，，，，E、F分别为边BC、CD的中点，则______．【答案及解析】：【分析】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出的值.【详解】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC中，若，，，，则______.【答案及解析】：【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐标系,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】由余弦定理可得,即,因为,故解得.过作垂直的延长线于,再以为坐标原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系.则,,.设,因为,故,故,解得,即.故故答案为：8.在锐角△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，若，，且，，则实数的值为_______．【答案及解析】：3【分析】将表示为，由题意得知与不垂直，由可得出，进而可求得实数的值.【详解】如下图所示：，，，，，是锐角三角形，则与不垂直，即，，，则，即，，，因此，.故答案为：.9.已知，，,若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于________.【答案及解析】：13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得,,,,，,当且仅当，即时，取等号的最大值为,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.三、解答题10.已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，D是函数与定义域的交集且D不是空集，判断元素f(x)与集合P的关系，说明理由.【答案及解析】：（1），或，；（2）时，，时，【分析】（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；（2）由化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为，，所以，当时，，由得，解得或，所以方程的解集为或（2）当时，，化简得，解得，所以当时，，当时，【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.

C组挑战压轴题一、选择题1.设，，为非零不共线向量，若则（）A. B.C. D.【答案及解析】：D【分析】，化简得到，故，得到答案.【详解】，故，化简整理得到：，即，，故，故.故选：D.2.已知△ABC中，，，，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同