广西部分学校2024届高三年级下册开学考试数学试题（解析版）

广西部分学校2024届高三下学期开学考试数学试题

一、单项选择题

1.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列｛4｝,若%,%,

%成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）

A.12,13B.13,13C.13,12D.12,14

【答案】B

【解析】依题意生？=卬。7=（4+4）2=4（4+6x2）,解得。1=4,

故｛%｝是首项4=4,公差d=2的等差数列，

所以此样本的平均数为鼠=13,中位数为四七%=13.

102

故选：B.

V2V21

2.如果椭圆」—+±=1（%〉—8）的离心率为e=一,贝iH=（）

k+S92

544

A.4B.4或——C.——D.4或——

455

【答案】B

221

【解析】因为椭圆,+匕=1（左〉-8）的离心率为e=—,

k+S92

当左+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得：

a=y/k+8,b=3,.'.c=\la2—b2=y/k—l,e=,解得k=4,

V^+82

当0+8v9时，椭圆焦点在y轴上，可得:

a=3,b=V^+-8,/.c=^Ja2—b2=—ke=与=)=L解得左=一：.

a324

「"=4或%=—.

4

故选：B.

3.已知等差数列｛%｝,若4%=5%,则［3二（)

A-2B.OC.2D.4

【答案】B

【解析】设等差数列｛an｝的公差为d,由4%=5%,得4%=5(%+2d),整理得为=TOd,

所以q3=%+10d—0.

故选：B

4.设W是两条不同的直线，名尸是两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若m±n,n//a,则加J_a

B.若m〃/3,0La,则

C.若m，1_La,则加_La

D.若帆_La,则

【答案】D

【解析】对于A,若m_L〃，n//a,则相ua或者加//。或者相交，故A错误，

对于B,若m〃0,/3La,则〃zua或者加//1或者办or相交，故B错误，

对于C,若m_Ln,nX-[3,)3-La,则相ua或者加//&或者％or相交，故C错误，

对于D,若nL/3,则〃//w，又〃_L(z,所以加_La,故D正确，

故选：D.

5.用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有()

A.8个B.12个C.18个D.24个

【答案】C

A4

【解析】当首位为2时，这样的五位数有:r=6个；

A'A"

A4

当首位为1时，这样的五位数有涓=12个.

A；

综上，这样的五位数共有6+12=18个.

故选：C.

「心兀2兀

6.已知一＜a＜兀，0</?<K,sin--(7-cos(3.若tan2=3%,tanJ3=3~k,则k=

6

()

33

Bc.D.

-122

【答案】B

【解析】由题意可得cos/?=sin

._.7i八cEtc兀57r

因为r一<1<兀，0<^<TI贝——<一,

6F66

jrJr

可得分=。—一,即a—〃=—,

66

kk

则tan^=tan("⑶=W"3月3-3-用

61+tanatan/?l+3k-3-k-2―一多

令。=3/＞0.

则指，整理得42—2/—石=0,解得/=若或t=—直（舍去）,

〒一行3

即赞=若，解得A=

2

故选：B.

7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般

好，隔离分家万事休在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函

2+x

数解析式来琢磨函数的图象特征，函数/■（%）=必1084；；—的大致图象是（）

yy

【答案】B

2+x

【解析】由口>0,得(x+2)(x—2)<0,解得—2<x<2,

函数”力的定义域为(―2,2),

22

/(-%)=(-%)log4=-Xlog4胃f(x)，

2+x2-x

函数/(x)是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD；

2+1

V/(l)=log4----=log43>log41=0,故排除A,从而B正确.

2—1

故选：B.

22

8.设双曲线E:=—3=l(a〉0］〉0)的焦距为2c,离心率为e,且a,c,a+c成等比

ab’

数列，A是E的一个顶点，P是与A不在y轴同侧的焦点，8是E的虚轴的一个端点，

尸。为E的任意一条不过原点且斜率为左(左。°)的弦，/为尸。中点，。为坐标原点，则

下列判断错误的是()

A.E的一条渐近线的斜率为近

B.AB±BF

C.k0M-kPQ=e(,左/>。分别为直线OM,PQ的斜率)

D.若OP,OQ，则+而F=e恒成立

【答案】D

【解析】A选项，因为a,c,a+c成等比数列，所以。2=说+/,所以步=呢且e2_e_i=0,

解得e=由工(负根舍)，所以［2］=^=-=e，所以&=&，即E的一条渐近线的

2\a)aaa

斜率为J7,故A正确；

B选项，不妨设尸为左焦点，8为虚轴的上端点，则A为右顶点，

bbb1

则BF的斜率kBF=~,AB的斜率kAB=—f所以般b.=—幺=—1,

caac

所以AB，时,故B正确；

（22

9—£=1

2j29

C选项，设P（石,必）,。（%2,%），〃（%，%），贝2'

x2y^._i

丁正一，

作差后整理得即一•四=与，

XXXa

%2一再%+再a2~10

"=£=e,故C正确;

所以说T

=aa

D选项，设直线OP：y=去，则直线OQ:y=—将，=近代入双曲线方程

k

2

b2x2-a2y2=a2b\得f=一^贝厅0b2/

b-akb2-a2k2

a2^2(F+1)

,\\OP^=x2+y2=

b2-a2k2

将人换成一工得|QQ|2=""J)’

DK-Cl

n,11伊—")(尸+i)/C2_2/e2—21钻,士士辛必

则,z->r>P+I-八，=77(7\—=-7T2-=—=,7与匕的值有关，故D

|0P|\OQ\~片02(42+1)费日2b2

错误.

故选：D.

二、多项选择题

9.关于函数/（x）=&sin2x—2cos2尤+1有下述四个结论，其中结论正确的是（）

A.〃力的最小正周期为2兀

B."%）的图象关于直线x=5?7r对称

c./(x)的图象关于点■兀,o]对称

JT

D.“X)在0,-上单调递增

【答案】BCD

【解析】f(x)=V3sin2x-2cos2》+1=Gsin2x-cos2x=2sin12x-

对于A,的最小正周期为兀，故A错误，

571

对于B,f=25也：=一2,故/(%)的图象关于直线％=；对

26

称，B正确,

771

对于C,f=2sin7t=0,故/(尤)的图象关于点

12

称，C正确，

兀7C兀兀兀兀/、兀

对于D,xe0,—时，2x-—ec,故/(九)在0,—上单调递增,

L3J6L62jL22jv7L3j

D正确，

故选：BCD

10.已知Z],Z2为复数，i是虚数单位，下列说法正确的是()

A.若Z=l+2i,则Z1的虚部为2i

B.若z=l+2i,Z2满足卜一4=逝，则上2|的最大值为2指

C.若归+Z?|=区_Z21，则2必2=0

D.若马二(l+2i)(a+3i),且4=zi,则。二一,

【答案】BD

【解析】对于A,4=l+2i的虚部为2,故A错误；

对于B,设Z2=〃+/?i,a,beR,由［z2—zj=^,得(a-lj+(b_2『=5,

22

其表示为圆心为(1,2),半径为百的圆，|z2|=y/a+b，其表示为圆上的点到原点的距离,

设圆心到原点距离为d，则』="百=百，则圆上的点到原点的距离的最大值为

d+r=2亚,则目的最大值为2君，故B正确；

对于C,当々=1,z2=i0^,\zl+z2\=\z1-z2\=y/2,此时平2=：100,故C错误；

3

对于D,Z]=(l+2i)(a+3i)=(。—6)+(3+2a)i,则3+2a=0,a=——,故D正确.

故选：BD.

11.已知"％)为定义在R上的偶函数且“力不是常函数，F(x)=/(l-x)-l,g(x)

=/(%+1)-1,若g(x)是奇函数，则()

A.y=/(x)的图象关于(1,1)对称B./(x)=/(x+4)

C.网力是奇函数D.―尤)与g(x)关于原点对称

【答案】ABC

【解析】对于选项A,因为g(x)是奇函数，所以g(x)+g(-x)=0,

即/(x+1)—1+/(—x+1)—1=0,整理得/(x+l)+/(-%+1)=2,

所以丁=/(%)的图象关于(1,1)对称，故A正确；

对于选项B,因为/(%)为偶函数，所以/(x)+/(x—2)=/(x)+/(2—x)=2,

所以/(x—2)+/(x—4)=2J(x)=/(x—4),所以/(x)=/(x+4),故B正确；

对于选项C,F(x)+F(-x)=/(l-x)-l+/(l+x)-l=0,故C正确；

对于选项D,因为尸(-x)=g(x),所以歹(尤)与g(x)关于y轴对称，不关于原点对称，

故D错误.

故选：ABC.

三.填空题

12.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x=2r+l,reA},则A_8=.

【答案】{3,5}

【解析】根据题意可知5={x|x=2f+ljeA}={3,5,7,9,11},

所以AB={3,5}.

故答案为：{3,5}

13.已知..ABC三边长分别为3,4,5,且A,B,C均在球。的球面上，球心。到平面

ABC的距离为显,贝U球。的表面积等于.

2

【答案】28兀

【解析】的三边长分别为3,4,5,则为直角三角形，其外接圆半径为之,

2

则球o的半径R=[9]+（也]=币,

则球0的表面积S=4兀R?=28兀.

故答案为：28n.

14.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CZ）至E,使得。E=2CD.动点尸从

点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=AAB+//AE.则2—〃的

取值范围为.

【答案】[0,2]

【解析】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1,则8（1,0）,E（-2,1）,

AE=AD+DE=AD-2AB

VAP=AAB+/JAE=(2-2MAB+/JAD=(X-2〃)(1,0)+//(0,l)=(2-2//,//).

当尸eAB时，有0«2-2〃<1且〃=0,.•.0W/IW1,，。<彳一〃<1,

当FeBC时，有4—2〃=1且0W/W1,.・.14；1—〃《2,

当FeC£>时，有0V2—2〃<1且〃=1,—〃<2,

当PeA£>时，有2—2〃=0且OW〃W1,—4<1,

综上，0<4—〃<2,

故答案为：［0,2］.

四、解答题

15.己知函数/(x)=31m■-犬+%.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若过点(2,1)作直线与函数g(x)=/(x)-31nx+gx3的图象相切，判断切线的条数.

解：(1)因为/(x)=31iix-x2+x,

所以r(x)、.2x+l=3+x-21(x+l)(2f

XXX

令用x)>0,得xe(0,1J；令广(x)<0,得xe(',+oo).

所以"%)的单调递减区间为(I，+8j,单调递增区间为1o,j.

13

(2)—+Xf则g'(冗)=］九2—2x+1,

设切点为(尤0送(尤0》(％>0),

13

贝1且(%0)=5%：一年+%0，g，(xo)=］片—2%+］,

x_

所以切线方程为,_元：+/］=o2x0+l^(x-x0).

将点(2,1)代入得l——x；+/)=［京；-2/+1)(2一%0),

整理得XQ—4%Q+4%o—1=(%—1)(x：-3x0+1)=0.

因为方程f—3%+1=0有两个不相等正根，

所以方程（5-D（君-3%+1）=0共有三个不相等正根

故过点（2,1）可以作出三条直线与曲线y=g（%）相切.

16.随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问

他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的2x2列联表：

更关注保暖性能更关注款式设计合计

女性16080240

男性12040160

合计280120400

（1）是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？

（2）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选

2人赠送羽线服，记X为抽取的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

(a+Z;)(c+d)(a+c)(Z?+d)

2

P(K>k0)0.100.050.010

k。2.7063.8416.635

解：⑴因为号=4。。9……。”。尸:迎小⑦,

240x160x280x12063

因为3.175<3.841,所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差

异.

（2）选出的男性人数为5x^=2,选出的女性人数为5x科=3,

400400

由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,

尸—。咦哈尸-I"罟=|,尸—2）噌磊,

故X的分布列为

所以X的数学期望石（XjuOx'+lxl+Zx^nt.

17.如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=2,E为CD的中点，将VADE沿AE折

起，使点。到点P处，平面PAEJ_平面A3CE.

（1）证明：平面。ABJ_平面PBE；

（2）求二面角C—A4—8的余弦值.

（1）证明：由AE=EB=20，AB=4,得AE?+§£2=.2,得ZAEB=9。。，即

BELAE,

又平面P4EL平面ABCE,平面PAE|平面ABCE=AE,5Eu平面ABCE，

所以BE,平面B4E，又Hlu平面八4E，故

又PALPE,BEcPE=E,BE,PEu平面正破，所以PA,平面PBE,

而R4u平面上钻，所以平面E45,平面尸BE；

（2）解:取AE中点。，连接OP,则OPLAE,又平面P4E，平面ABCE,

平面PAE】平面A5CE=AE,OPu平面Q4E，所以OP,平面A3CE,

以。为原点，CB>AB-O尸方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

如图,

则c(—1,3,0),P(0,0,V2),A。,—1,0),8(1,3,0),

设平面CFA的法向量为加=(a,dc),由AP=(—1』,、反)，AC=(-2,4,0),

则，即，取b=2,则加=4,2,0,

m-AC=0-2a+4b=0''

I1

设平面上钻的法向量为〃=(x,y,z),由AP=(—1,1,、历)，AB=(0,4,0),

n-AP-0

，即《

n•AB-0

8+2_5屈

故COS加,「=||||=

\m\-\n\^6x^2233

故二面角C—24—3的余弦值为2立.

33

18.设抛物线C：x~=2py(p>0)的焦点为F抛物线C上一点A的横坐标为

%(%>0),过点A作抛物线C的切线4，与X轴交于点。，与y轴交于点E,与直线/：

y=^|交于点肱当冏=2时，ZAFD^60°.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若8为y轴左侧抛物线C上一点，过8作抛物线C的切线与直线4交于点P,

与直线/交于点N,求,？MN面积的最小值，并求取到最小值时占的值.

(Q尤2

(1)解：由题知/o,V,y=—，

I2j2P

所以y=2,=—,切点A

,2,2

切线4方程为：y——,

p2Pp2〃

所以。为AE的中点,

因为根据焦半径公式得：加=必+怖=/」+§=用ZAED=60°.

所以。尸，AE，ZOFD=ZAFD^60°,

因为|ED|=2,

所以Q同=1,即p=2,

所以抛物线c的方程为V=4y；

C2\

（2）解：设Bx2,^,由（1）得乙方程：y=&x—①

I4J2

同理4方程y=，x—于②，联立①②二4=2广,

所以力=牛，

因为直线/的方程为：y=l,

所以M2+土/，N2+三,1

［再2JI%2

所以"N|=：++,5,

所以S&PMN

2（占2X,2八4）

1

2

j_

2

令一%%2=/（，＞°），

令&=m，S=--------1---------\-m(m>0),

8mV)

S，=，"1+l=3〃/+8--16=(3〃*4)尸+4)

8m28m28m2

当0<m<RS单调递减，m>RS单调递增,

「「16A/3X,X,=——2G

s^a=S-=——,当且仅当<3时取“="，此时％=任.

I,v3)93

所以_PMN面积的最小值为为8,此时毛的值为西=半

19.已知数列｛4｝是正项等比数列，｛〃｝是等差数列，且q=2々=2,为=%，%=4%，

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵国表示不超过x的最大整数，&表示数列“-1）2的前4"项和，集合

TA♦br*

A="XW4""+2/eN〉共有4个元素,求力范围；

4+2

一国1z*

——-——I.,n=2K-1,KzeN,、

(3)c„=4+2•业：+2”，数列｛%｝的前2九项和为邑，，求证:

an-bn,n=2k,keN*

(1)解：设数列｛4｝首项q=2,设公比q(q>0),设数列｛勿｝首项4=1,设公差

.<%=4%即卜/=4«1g2

a2=b4\axq=bx+3