湖北省襄樊市重点中学2024年高考数学押题试卷含解析

湖北省襄樊市重点中学2024年高考数学押题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记递增数列（«„）的前几项和为S”.若q=1,%=9,且对｛4｝中的任意两项%与%（1<，</<9）,其和q+4,

a；

或其积4%,或其商」仍是该数列中的项，则（）

%

A.a5>3,Sg<36B.a5>3,S9>36

C.a6>3,S9>36D.a6>3,S9<36

22

2.若A3为过椭圆一一+乙=1中心的弦，片为椭圆的焦点，则A々A3面积的最大值为（）

16925

A.20B.30C.50D.60

3.复数Z满足2（1+。=2"为虚数单位），则Z的虚部为（）

A.iB.-iC.-1D.1

4.如图是2017年第一季度五省GOP情况图，则下列陈述中不正确的是（）

(

)X

舟

5平

」

史

府

叵

出

和

卬

!=□&«一〜与去年同期相比中长率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.与去年同期相比，2017年第一季度的G。产总量实现了增长.

C.2017年第一季度GOP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D.去年同期河南省的GOP总量不超过4000亿元.

5.已知数列｛4｝为等差数列，且。1+&+%1=2万，则sin3+%）=的值为（）

A.BJ311

B.一二C.-D.——

2222

6.将函数7'（x）=sin（2x-g）的图象向右平移;个周期后，所得图象关于丁轴对称，则9的最小正值是（）

713兀〃■兀

A.—B.—C.—D.一

8424

7.关于函数/（%）=4511113%+5]+4以《13%+5],有下述三个结论：

1T

①函数/'（X）的一个周期为一；

2

7737r

②函数/（X）在上单调递增；

_24_

③函数f（x）的值域为[4,4夜].

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

,、111,、

8.已知等差数列｛4｝的公差不为零，且一，一，一构成新的等差数列，S“为｛4｝的前“项和，若存在〃使得S“=0,

^^3^^4

则〃二（

A.10B.11C.12D.13

9.已知变量间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为$=2.1%+。.85,则表中数据机的值为（）

变量X0123

变量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

10.函数/Xx）=5：：2：1;”（Xe[-私0）（0,兀]）的大致图象为

3—3

y

D.

11.如图，圆。是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点M为圆上任意一点,

BM=xBA+yBD(x,ywR),则2x+y的最大值为()

A.0B.73C.2D.2&

12.已知同=3,|=3,且（2a-。）_L（a+4Z?）,则2a—6在。方向上的投影为（）

720

A.—B.14C.—D.7

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设数列｛4｝为等差数列，其前几项和为S“，已知6+4+。7=99,出+为+«8=93,若对任意〃eN*都有

S“〈又成立，则上的值为.

14.如图，A5是圆。的直径，弦3。,C4的延长线相交于点尸垂直84的延长线于点尸.求证：

AB2=BEBD-AEAC

15.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13,则输入的x的值是.

Readx

If庐2Then

^-6JT

Else

EndIf

Printy

16.若向量a=(/,2)乃=(1,x)满足。为<3,则实数x的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X221

17.(12分)已知椭圆C：餐+与v=1(a>b>。),与x轴负半轴交于A(—2,0),离心率e=—.

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：，=区+7〃与椭圆。交于"(外,%),"(九2，%)两点，连接40，4"并延长交直线％=4于后(七,%)，

,、1111

/(七，％)两点，已知一+—'=—+一，求证：直线A/N恒过定点，并求出定点坐标.

%%%%

18.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直

方图，以样本的频率作为总体的概率.

(1)估计这100人体重数据的平均值〃和样本方差a?;(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在［55,65)的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重y近似服从正态分布N(〃,b2).若

P^-2a<Y<p+2a)>0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

19.(12分)已知不等式|x+l|+|x|+|x—1|引徵+1|对于任意的xeR恒成立.

(1)求实数机的取值范围；

(2)若加的最大值为M,且正实数a,b,c满足a+26+3c=Af.求证—--1------>2+y/3.

2a+bb+2c

22

20.(12分)如图，椭圆「+「=a>6〉0)的长轴长为4,点4、B、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,

a2b2

过中心O,且忸q=2|⑷3|,5AAsc=3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设P、。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C),且满足NP3C=NQ54,试讨论直线6P与

直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.

21.(12分)某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大

量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：分钟).若用时不超过

40(分钟)，则称这个工人为优秀员工.

(1)求这个样本数据的中位数和众数；

(2)以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x分

布列和数学期望.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)当m=7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)》的解集是R,求m的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由题意可得生=血，从而得到%=3,再由%=3就可以得出其它各项的值，进而判断出S9的范围.

a5

【详解】

a.

解：«,■+«；,或其积七%,或其商」仍是该数列中的项，

%

二。2+%或者出。9或者£■是该数列中的项，

又数列｛4｝是递增数列，

••va?<CI3,

a9、

••G/zI^3^9>,G/?,只有:是该数列中的项，

同理可以得到出，—,",驹也是该数列中的项，且有《<%<青<...<&<%,

a

a3。4%〃8i“2

a

。5=丁9，/.%=3或%=-3（舍），〃6>3,

根据。］=1,%=3,Cig=9,

同理易得出=3八%=3万，％=3*。6=3八%=3万，〃8=3”，

9

1一3疝

：.Sg=%+%+--+%=-------j~<36，

1-3，

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题.

2、D

【解析】

先设A点的坐标为（％y）,根据对称性可得5（-羽-y）,在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时,

此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.

【详解】

由题意，设A点的坐标为(x,y),根据对称性可得5(-%-y),

则的面积为S=^x\OF\x\2y\=c\y\,

当回最大时，△耳的面积最大，

由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大,

22

又由――+2L=I,可得椭圆的上下顶点坐标为(0,-5),(0,5),

16925

所以^FlAB的面积的最大值为S=cb=V169-25x5=60.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化

归与转化思想的应用.

3、C

【解析】

2

Z=1=，分子分母同乘以分母的共朝复数即可.

1+1

【详解】

2_2(1-i)

由已知,=l-i,故z的虚部为—1.

1+i-(l+i)(l-i)

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

4、C

【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.

【详解】

对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；

对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；

对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；

对于D选项：去年同期河南省的GDP总量4067.4义一-—«3815.57<4000,故D正确.

1+6.6%

故选：C.

【点睛】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.

5、B

【解析】

由等差数列的性质和已知可得4=丁，即可得到%+%=等，代入由诱导公式计算可得.

【详解】

27r

解：由等差数列的性质可得4+&+%1=34=2"，解得。6=?，

,4万

..。台+^9=2a6=~~9

./、.4万.(乃、.7iv3

/.sin(%+%)=sin—=sinI7F+yI=-sin—=一一—

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题.

6、D

【解析】

由函数y=Asin(a)x+9)的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于。的方程，对左赋

值即可求解.

【详解】

由题意知，函数/(尤)=sin(2尤一哈的最小正周期为7=寻=%,即［=5，

288

由函数y=Asin(a*+9)的图象平移变换公式可得,

将函数7'(x)=sin(2x-e)的图象向右平移:个周期后的解析式为

g(x)=sin2(x——0=sin(2x—?一夕)，

因为函数g(x)的图象关于V轴对称，

-ITCTC7737^77

所以----(p=——&k兀，kGz,即o0=-----&k兀，kez,

424

IT

所以当左=1时，。有最小正值为一.

4

故选：D

【点睛】

本题考查函数y=Asin(5+9)的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和

正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

7、C

【解析】

jr37r1;+—e屋,f(x)=4A/2sinf—x+—,再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当xe时，

判断.③根据平移变换，函数/(x)=4sin[gx+W+4cos[gx+g]的值域等价于函数

g(x)=4sin?x+4cosgx的值域，而g(x+〃)==g(x),当xe[O,i]时，g(x)=4忘sin[1x+f]再求值域.

225)

【详解】

m文/乃1/./17*|/(\7兀\A(\nj+4sin[gx+A],故①错误;

因为f\n•一=4sin—xd---+4cos—xd-----=4cos—x+—

IU12JU12)(21：

「万37r-l.1%「7万17%]叱一,/、..fl万、—4cos[gx+9=4&sin[；x+^|J,

当次£一,—时，一1~1—£—,---9所以/(%)=4sin—xH—

|_24」23L1224J(23

\jr7T\ITT7E3万

二e所以Ax)在上单调递增，故②正确；

212L324J\_24_

函数/(x)=4sin[gx+?]+4COSQX+^的值域等价于函数g(x);=4singx+4cosgx的值域，易知

g(x+i)=g(x),故当xe[O,扪时，g(x)=4A/2sinfx+yje[4,4A/2],故③正确.

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

8、D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得%=-6d,再利用等差数列的前n项和公式即可求解.

【详解】

111

由一，一，一构成等差数列可得

d/3^^4

__L

^^4^^3

a—aa—a—2d_—d

即--x----3----3----4n-----——=>/―

又g=q+3d=>a1=2（。］+3d）

解得：q=-6d

HnTI

又S〃=a[2%+{n-V)d]=-(-12d+(n-l)J)=-J(n-13)

所以S“=0时，n=l3.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前几项和公式，需熟记公式，属于基础题.

9、A

【解析】

计算京亍，代入回归方程可得.

【详解】

0+1+2+3—m+3+5.5+7m+15.5

由题意戈==1.5,V=------------------

444­

m+15.5否4「八”

-----------=2.1x1.5+0.85,解得根=0.9.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点G3）.

10、A

【解析】

因为/（T）=5（弋：2s*x）=5：：=/⑺,所以函数是偶函数，排除B、D,

3-33-3

又/（兀）=j受STT7>°，排除C，故选A.

3—3

11、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1,以（0,1）为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到工x/周长x厂=S=!义A3义AC义sin60°,

22

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B（-Ao）,C（Ao）M（O3）,D（O,O）,M（cos0,l+sin0）

BM=（cos0+V3,l+sin^）,BA二限3）,50=（6,0）

故得到BM=（cos0+6,1+sin6）=（百九+3x）

故得至（Jcos0=A/3X+6y~A/3,sin6=3%—1

1+sin8

x=----------

3ccos6,sin。42./八、4

2x+y=-广-\-----!"一=—sin(。+0)+—V2.

cos0sin62J33333

'FF+g

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

12>C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出。小，再由投影的定义计算.

【详解】

由(2a-b)±(<7+4&)

可得(2〃—6)・(〃+46)=2〃2+7〃力—4//=0,因为|〃|二3|b|=3,所以〃为=—2.故2〃—b在〃方向上的投影

(2^z—Z?),u2。2—a.b18+220

———•

|a|\a\33

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、20

【解析】

由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出s〃，利用二次函数的基本性质求出S”的最大值及

其对应的“值，即可得解.

【详解】

q+%+%=3q+9d=99q=39

设等差数列｛4｝的公差为d,由＜解得

%+%+。8=3。］+12d=93d=—2

n(n-l)d/、)/、2

Sn=n%H——--丁^—=39"一"(〃-1)=-n~+40"=-(n-20)+400.

所以，当〃=20时，S“取得最大值，

对任意〃eN*都有S“<S1成立，则S«为数列｛S.｝的最大值，因此，k=20.

故答案为：20.

【点睛】

本题考查等差数列前〃项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.

14、证明见解析.

【解析】

47?Ar

试题分析：ARE,歹四点共圆，所以BDBE=BABF,又4ABCs^AEF,所以——=—,即

AEAF

ABAF=AEAC,得证.

试题解析：

A.连接AD,因为AB为圆的直径，所以

又EFLAB,则四点共圆，

所以BDBE=BA.BF.

又4ABCs^AEF,

ARAC

所以一=——,即AB・AF=AE・AC,

AEAF

：.BEBD-AEAC^BABF-ABAF^AB(BF-AF)^AB\

15、8

【解析】

根据伪代码逆向运算求得结果.

【详解】

13

输入y=13,若y=6x,则工=^〉2,不合题意

若y=x+5,则x=13—5=8,满足题意

本题正确结果：8

【点睛】

本题考查算法中的〃'语言，属于基础题.

16、(-3,1)

【解析】

根据题意计算a2=Y+2xv3,解得答案.

【详解】

4=(炉,2"=(1,X),故ab=x2+2x<3，解得—3<X<1.

故答案为：(—3,1).

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)—+^=1(2)证明见解析；定点坐标为(LO)

43

【解析】

(1)由条件直接算出即可

y=kx+m,2

9

(2)由<冗2,2得(3+4k2)d+Sk/wc+4加2—12=0,石+9=——4k2X/2=,由可

.T+T--++

6y}6y?1111

得%=----彳，同理丁4=------9然后由一+—=—+—推出m=一女即可

%+2X2+2y1y2%%

【详解】

c1

(1)由题有〃=2,e=—=—c=l,b2=a2-c2=3-

a2

22

椭圆方程为L+^-=l.

43

y=kx+m,

(2)由/y2_得(3+4公)x2+8kmx+4m2-12=0

[43

A=64k2m2—4(3+4女2)(4加2—12)>0^>m2<4k2+3

—8km4m2-12_

%+M=-------------Tzz

123+4左2=—3—+4—%2r.乂6=KAE

.M-0=%-06,

玉+24+2玉+2

6y2

同理％=

x2+2

1111

又一+—=—+—

%%%”

.%+%_x,+2x2+2_x1y2+x2y1+2(y1+y2)

,・一二I二一二

6%6%6%%

，4(%+%)=%%+々％

:.4(kx{+m+kx2+加)=x1(kx2+rri)+x2(kxx+m)

.二(4人-加)(再+x2)-2kx[%+8m=0

—Skm(4m2-12)24(^+m)

・・・(4左—m)-2k+8m=0=>9二U

3+4423+4k23+442

m=-k,此时满足m2<4k2+3

y=kx+m=k(x-V)

二直线MN恒过定点(1,0)

【点睛】

涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.

18、(1)60；25(2)见解析，2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析

【解析】

(1)根据频率分布直方图可求出平均值〃和样本方差a?；

(2)由题意知X服从二项分布6(3,0.7),分别求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),尸(X=3),进而可求

出分布列以及数学期望；

(3)由第一问可知y服从正态分布N(60,25),继而可求出尸(50KF<70)的值，从而可判断.

【详解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60—47.5『+(72.5—60)[x0.02+[(60—52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.51+@_60)2]x0.35«25

(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7.

随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X服从二项分布8(3,0.7),

则尸(X=0)=烧x0.7。x0.33=0.027,=1)=C'x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=Cfx0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列为：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

数学期望EX=3x0.7=2.1

(3)由题意知丫服从正态分布N(60,25),

则P(〃-2crWF<〃+2cr)=P(50<K<70)=0.96>0.9544,

所以可以认为该校学生的体重是正常的.

【点睛】

本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没

有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.

19、(1)[-3,1](2)证明见解析

【解析】

(1)ft-：|.x+l|+|x-l|>|(^+l)-(x-l)|=2,|x|>0,得,+l|+W+|x—lp2,贝！]|加+1归2,由此可得答案;

法二：由题意帆+1归(|xT|+k|+|x+l)疝n，令/(x)=|尤+l|+|x|+|x—l|，易知/(九)是偶函数，且九e[。,”)时

为增函数，由此可得出答案；

(2)由(1)知，M=l,即a+2/?+3c=l,结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论.

【详解】

解：(1)法一：++—(%—1)|=2(当且仅当—时取等号)，

又忖20(当且仅当x=0时取等号)，

所以归+[+国+|%—1住2(当且仅当％=0时取等号)，

由题意得|加+1归2,则—2Wm+lW2,解得—3<加<1,

故机的取值范围是[-3』；

法二：因为对于任意XCR恒有|X+1|+|H+|X—1月|加+1|成立，即帆+1区（卜―l|+W+k+l%n，

令“另=归+1|+国+归—1|,易知/（九）是偶函数，且xe[o,a）时为增函数，

所以“X）疝n=/（O）=2,Bp|m+l|<2,则一2Wm+lW2,解得—3WmWl,

故机的取值范围是[—3』；

（2）由（1）知，M=l,即a+2/?+3c=l,

+^—=（a+2Z?+3c）-|+^—|

2a+bb+2c\2a+bb+2c）

（2〃+Z?）+3（Z?+2c）（11）

2（2〃+/?/?+2cJ

'3（Z?+2c）2a+b

4+-^-----L+------

22a+bZ?+2c

当4+2百］=2+6,

11

故不等式-------------1-------------N2+G成立.

2a+bb+2c

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题.

22

20、（1）—+^=1；（2）详见解析.

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【解析】

试题分析：（1）利用题中条件先得出。的值，然后利用条件忸Cj=2|AB|,5AA3结合椭圆的对称性得到点5的坐

标，然后将点3的坐标代入椭圆方程求出b的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件NPBC=

NQ54得到直线BP与BQ的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线族的方程为y-：=1）,将此直线