2024年连云港市海州中学高二数学3月调研考试卷附答案解析

2024年连云港市海州中学高二数学3月调研考试卷

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.平面a的一个法向量是（123）,平面力的一个法向量是（3,0,-1）,则平面a与夕的位置关系是（）

A.平行B.相交且不垂直C.相交且垂直D.不确定

2.已知空间直角坐标系中，44,1,3）、现2,-5,1）,点C满足太=在，则C的坐标为（）

A.（3,—2,2）B.（—2,—6,—2）C.（6,—4,4）D.（0,-11,—1）

3.现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（）

A.rB.43C.24D.12

4.在下列条件中，使"与A,B,C一定共面的是（）

——1—1—1—

A.OM=OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC^D.OM+OA+OB+OC

5.如图，在三棱锥P-48c中，点N为棱/P的中点，点"在棱8C上，且满足CM=28M,设

PA=2,PB=b,PC=c,则加=（）

1-21-1-21-1-21-

B.—a+—br——cC.——a+—b7——cD.——a——b7+—c

233233233

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“团员知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已

知甲排第三，乙不是第一.据此推测5人的名次排列情况共有（）种.

A.18B.24C.14D.16

7.如图，一环形花坛分成4B,C,。四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相

邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为

A.96B.84C.60D.48

8.如图，三棱锥O-/8C各棱的棱长是1,点。是棱48的中点，点E在棱OC上，且诙=2反，则。E

的最小值为（）

A.-B.—C.—D.1

222

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于非零空间向量b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（）

A.若否＜0,则B的夹角是钝角

B.若£=（1,2,3）,S=（-l,-l,l）,则M

C.若a­b=b-c,贝!la=c

D.若1（1,0,0）,S=（0,2,0）,c=（0,0,3）,则b，）可以作为空间中的一组基底

10.已知正方体MCD—4用GA的棱长为a,4Cc/q=。，贝!］（）

1222

A.AAX-BC—aB.AAX-BCX—aC.AAX-BDX—aD.AAt-BO=a

11.身高各不相同的六位同学4B、C、D、E、厂站成一排照相，则说法正确的是（）

A.4C、。三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B.4与C同学不相邻，共有A：.A；种站法

C./、C、。三位同学必须站在一起，且N只能在。与。的中间，共有144种站法

D./不在排头，3不在排尾，共有504种站法

12.如图，点尸在正方体48co-4用GA的面对角线8G上运动，则下列结论中正确的是（）

2

A.三棱锥N-尸片，的体积不变B.。尸〃平面4BQ|

C.AtP1BDtD.平面4cp_L平面尸3。

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题

卡相应位置上.

13.已知,，j,1是不共面向量，a=2i-j+3%,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+Xk>若a,b>c二个向

量共面，则实数大等于一.

14.已知4(0,0,2),8(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线3c的距离为.

15.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0,5,0,9,1,9进行某种排

列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码.

2兀

16.如图所示，在菱形48co中，ZABC=—,线段/D,8。的中点分别为£,尸.现将△48。沿对角

线3。翻折，当二面角8。-C的余弦值为!时，异面直线8E与CF所成角的正弦值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.(1)计算：宁~常；

(2)若£=10)；,求正整数〃.

18.已知数列｛%｝的前"项和为s,，1=2,S向=2S.+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)右4=log2%,数列抄“｝的前"项和为求m+帚+〒+…+彳.

12，34

19.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4310的四位偶数.

3

20.如图，在平行四边形/BCD中，AB=1,BC=2,ZABC=6Q°,四边形/CE尸为正方形，且平面/3CD工

⑶求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值.

21.如图，在三棱柱NBC-4片G中，底面/8C是以/C为斜边的等腰直角三角形，侧面NCG4为菱形,

点4在平面/8C上的投影为/C的中点。，且48=2.

⑴求点C至I］侧面苗4的距离；

(2)在线段4月上是否存在点£,使得直线DE与侧面片4所成角的正弦值为逅？若存在，请求出4E

7

的长；若不存在，请说明理由.

22

22.已知椭圆氏3+3=1(稣6>0),直线/:尤+叩-1=0过E的右焦点厂.当加=1时椭圆的长轴长是下

ab

顶点到直线/的距离的2倍.

(I)求椭圆E的方程.

(II)设直线/与椭圆E交于A,3两点，在x轴上是否存在定点P，使得当机变化时，总有ZOPA=ZOPB(O

为坐标原点)?若存在，求尸点的坐标;若不存在，说明理由.

4

1.c

【解析】利用两个法向量的数量积等于o,即可判断两个平面垂直，进而可得正确选项.

【详解】因为（1,2,3＞（3,0,-1）=1X3+2X0+3X（-1）=0,

所以平面二_1_平面"，

故选：C.

2.A

【分析】设出C点的坐标，代入刀=无，利用两个向量相等的概念，求得C点的坐标.

x—4=2—x

【详解】设C（x,y,z）,故就=（》-4,了-1/-3）,怎=（2-3-5-%11）,根据％=而得了-1=-5-了,

z-3=l—z

x=3

解得卜=-2,故C（3,-2,2）,所以选A.

z=2

【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.

3.B

【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.

【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是43.

故选：B

4.C

【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】M与A,B,C一,定共面的充要条件是两一为+y而+z双,x+y+z=l,

对于A选项，由于=所以不能得出河,C共面.

对于B选项，由于;+；+g*l，所以不能得出共面.

对于C选项，由于而=-标-就，则忘，丽，流为共面向量，所以M,48,C共面.

对于D选项，由的+a+砺+云=0得两=-厉-砺-双，而=所以不能得出

M,48,C共面.

故选：C

【点睛】本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.

5.A

5

【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解.

【详解】因为点N为棱/尸的中点，CM=2BM,设苏=",而=初无=1

所以而=施+而+丽=1•-丽+1莎

32

1/—►—>\—►1—►1—►2—►1—►1f2fIf

=-[PB-PC]-PB+-PA=-PA__PB__PC=-a——b——c.

3、'2233233

故选：A.

6.A

【分析】根据特殊元素与位置优先处理，先排甲，再排乙，最后在全排，

由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由题意可知，甲排第三，乙不是第一的方法有A；A；=3x3x2x1=18.

故选：A.

7.B

【详解】解：分三类：种两种花有用种种法；

种三种花有2/；种种法；

种四种花有用种种法.

共有2团+石+团=84.

故选B

8.B

【分析】首先在△OOC中利用余弦定理求出cosNOOE,然后由空间向量的运算法则可得

方瓦-历卜变形可得户司2=储-几+',由二次函数的知识可得答案.

【详解】根据题意，在△DOC中，OD=CD=—,0C=1,

2

133

1+------

所以cosZDOE=44

一6

2xlx——

2

所以|瓦『=|砺_历『=|O£|2-2O£-OZj+|(9Z)|2=22-2x/lx^x^+|=(2-1)2+1

则a=5I时，|I---闻----|取2得最小值果1

6

则国的最小值为孝.

故选：B

9.BD

【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、

空间向量基底的定义逐一判断即可.

【详解】A：当£=(1,0,0),3=(-1,0,0)时，显然7/<0,因为：=工，所以［的夹角是平角，故本

选项命题是假命题；

B：因为〃.加=1x(-l)+2x(-l)+3xl=0,所以因此本选项命题是真命题；

C：当。=(1,0,0),b=(0,0,0),c=(0,0,3)时，显然,但是awc，因此本选项命题是假命题；

D：假设入S，"是共面向量，

0=x

所以有e=xM+y5=(0,0,3)=x(l,0,0)+y(0,2,0)=0=2y,显然不可能，所以人工不是共面向量,

3=0

因此£,5，"可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，

故选：BD

10.BC

【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断

【详解】如图：

对于A,因为所以石•就=0,故A错误.

对于B,4VBB；=a?,故B正确.

对于C,怒•西=丽•(丽+瓦瓦)=就=/,故C正确.

对于D,AA-BO=-AA-BD=-a2,故D错误.

l2ll2

7

故选：BC

II.ABD

【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法

即可判断D.

【详解】对于A,6个人全排列有A：种方法，/、C、。全排列有A：种方法，

则/、。、。从左到右按高到矮的排列有色=120种方法，A正确；

对于B,先排列除/与。外的4个人，有A：种方法，4个人排列共有5个空，

利用插空法将N和C插入5个空，有A；种方法，则共有A：A；种方法，B正确；

对于C,/、C、。必须排在一起且/在C、。中间的排法有2种，

将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A：种方法，则共有2A：=48种方法，C错误；

对于D,6个人全排列有A：种方法，当/在排头时，有A；种方法，当2在排尾时，有A；种方法，

当/在排头且2在排尾时，有A：种方法，则/不在排头，2不在排尾的情况共有人：-2抬+g=504种,

D正确.

故选：ABD

12.ABD

【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面/月2〃平面BDG，即知DP//平面/42,

B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.

【详解】对于A,,•,A48Q]的面积是定值，ADJ/BC,,/。（=平面/片。，平面48a,

•••BCJ/平面4BR,故P到平面4BR的距离为定值，

.•.三棱锥尸-/4，的体积是定值，即三棱锥/-尸与，的体积不变，故A正确；

对于B,由选项A知，BQ〃平面48Q],同理。8//平面48Q,^BCX^BD=B,

8

3(71,3£^平面2。6，，平面4812//平面3。。1，•.•。尸＜=平面瓦兀1，,£＞尸//平面/月2，故B正确;

对于c,以2为原点，建立空间直角坐标系,

设正方体/BCD-44G2的棱长为2,尸在上，故可设尸32,0),0.,《，2,

则4(2,0,0),8(2,2,2),2(0,0,0),

4尸=(a—2,2,a),BD、=(-2,-2,-2),

贝!］乖.西=-2(。-2)-4-2a=-4。不一定为0,

二.4尸和82不垂直，故C错误;

对于D,设尸(a,2,a),0”4,2,

则4(2,0,0),C(0,2,2),3(2,2,2),R(0,0,0),0(0,0,2),

不=(a-2,2,a),互=(一2,2,2),而=(a,2,a-2),方方=(2,2,0),

设平面4cp的法向量"=(x,y,z),

则n-AP=(a-2)x+2y+az=0

t取x=l,得1=

n-AjC=-2x+2y+2z=0\2-a

9

设平面PBD的法向量冽=(。八。)，

m•DP=ax+2y-az=0-,、

则一，取x=l,得加=1,—1,—1),

m-DB=2x+2y=0

一一2-2au

m•几=1-------------------=0.

2—a2—u

工平面4c尸和平面心。垂直，故D正确.

故选：ABD.

c65

13.—

7

【分析】利用空间向量共面定理可得2=口+》工，再由向量相等即可求解.

【详解】若向量”，B，c共面，则存在x,歹£氏，使得。=口+”,

：・2i-j+3%=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j),

2=-x+7y,

<-l=4x+5y,

3=-2x+Ay,

解得b?.

故答案为：—

14.逆##2/

33

【分析】根据空间向量点到线的距离公式求解即可

【详解】因为4(0,0,2),8(1,0,2),C(0,2,0),方=0,0,0),吊=(-1,2,-2).■.点A到直线8C的距离为:

公网Ji。4方“ijh±孚

故答案为：迪

3

15.24

【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.

【详解】依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，

所以共有不同的密码个数是A：=24.

10

故答案为：24

16.叵##=辰

66

【分析】由已知可得出ZAFC即为二面角/-8D-C的平面角.然后用或，的，元表示出砺，而，根据向

量数量积的运算律，即可得出cos。的值，然后根据正余弦关系即可得出正弦值.

如图，连结设/8=2.

因为4BCD是菱形，尸是8。的中点，

7T

所以AFLBD,Z.FBC=AFBA=-,

所以为等边三角形，所以CF=/尸=6,

同理可得8E=VL

设异面直线BE与CF所成的角为仇

因为CPJ_8D,AF1BD,所以//尸C即为二面角4-3D-C的平面角,

所以，cosZAFC=j.

又万2=1讶-百5,

所以砺=砺+反=前+万方=2FZ）+-（F3-FZj）=-FZ）+-K4,

所以前.而=_'而+/］近=-^FD-FC-^FA-FC.

因为FOL尸C,7^-FC=|F3|.|FC|COSZ^FC=V3XV3X1=1,

—►—►1

所以，BECF=--,

2

__

所以，cos（瓯诋）=答空y=、一L

\/网印36

所以，异面直线3E与CF所成角的余弦值cosO=，，

6

所以，sin6=V1-cos20=J-.

11

故答案为：运.

6

17.(1)1；(2)8.

【分析】(1)(2)按照排列数公式计算即可.

江2g+7团_2x8x7x6x5x4+7x8x7x6x5

【用牛1(I)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------—•］•

履-若8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5'

(2)A^n=104；,2nx(2n-l)x(2〃-2)=10x〃x(〃-1)x(〃-2),

又〃23,化简得4〃—2=5〃—10,解得〃=8.

2n

18.(1)。“=2"⑵--

77+1

【分析】⑴利用S,m=2S“+2,求出S“，再禾师"=《'：［〃＞［求出数列｛见｝的通项公式；

(2)将(1)中的%代入2=唳2%化简得出数列也｝通项公式，求出数列抄“｝的前〃项和为北，再求

出，，最后利用裂项相消法求解即可.

【详解】(1)因为d=2,5向=25“+2,

所以S^+2=2(S"+2),E+2=4,

所以数歹式邑+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以5“+2=2用，S"=2"M-2①，

当“22时，S,i=2"-2②，

①减②得：a„=2",

当〃=1时，％=2成立，

所以%=2"(〃wN*).

(2)由(1)知4=2",bn=log2an=n,

〜…n(n+l)

所以［=一y」，

所以J=21L一一,

T„\nn+1；

一11r1

所以书+五+L+—

12

2n

〃+1

19.（1）288；（2）504；（3）110.

【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理;

（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0,和不是0；

（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4,当百位小于3,

当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得.

【详解】（1）先排个位数，有4=3种，因为0不能在首位，再排首位有4=4种，最后排其它有24,

根据分步计数原理得，六位奇数有3x4x24=288；

（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0,和不是0,当个位数是0,有耳=120,当个位不

数是0,有其=384,根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有120+384=504；

（3）当千位小于4时，有心可•团+公/；=96种，当千位是4,百位小于3时，有12

种，当千位是4,百位是3,十位小于1时，有1种，当千位是4,百位是3,十位是1,个位小于等

于0时，有1种，所以不大于4310的四位偶数4有96+12+1+1=110.

【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和

特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题

20.（1）证明见解析；（2）走；（3）五.

24

【分析】（1）利用余弦定理计算/C,再证明工/C即可推理作答.

（2）以点N为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面3M的距离即可求出线面距离.

（3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.

【详解】（1）在Y/8CD中，4B=1,BC=2,ZABC=60。,由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC^,

TIC2=12+22-2X1X2COS600=3,即/C=百，AC2+AB2=4=BC2,则N84C=90,,即/314C,

由平面48coi平面/CE尸，平面ABCDc平面/CEF=/C,48u平面48cD,

得481平面/CEF,又CFu平面ZCE产,

13

所以43_LCF.

(2)由四边形/CEF为正方形，得N尸，/C,由(1)易知尸两两垂直，

以点/为原点，射线N3,AC,/尸分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图,

/(0,0,0),5(1,0,0),C(0,V3,0),F(0,0,g),D(-l,杷,0),E(0,6,6),

FE=(0,V3,0),5F=(-1,0,V3),设平面BE厅的一个法向量"=(不,必,马)，

n-FE==0

则令4=1,得£=(百,0,1),

n-BF=一/+=0

_l一一\n-BC\V3

而2C=(-l,V3,0),于是得点C到平面BEF的距离d=一

1»12

而4C//EE,EFu平面AE7L/C.平面AEF,则/CV/平面

所以线/C到平面8斯的距离等于点C到平面B所的距离为

2

(3)由(2)知，IF=(0,0,V3),AD=(-1,73,0),设平面AD尸的一个法向量碗=12,%,22)，

则1m•A而F=V3Z=0=0

2令力=1,得蔡=(6,1,0),设平面BE厂与平面4D尸夹角为0,

干星cos6=|cos〈加，〃〉|=———=,=——,上sin0=Vl-cosr0=—

j

「i«ii«iJ(Gy+i2Wsr+f44

所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为五.

4

21.(1)独1⑵存在，AXE=\

7

【分析】(1)先由题意证得DC,4〃两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出正与平面48

的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解；

(2)假设存在满足条件的点E,且乖=2.福'，从而得到诙=(夜4&,祈)，再利用空间向量线面

夹角公式得到关于2的方程，进而求得4=；,由此即可求出4万的长.

14

【详解】（1）因为点4在底面N8C上的投影为NC的中点。，所以4。，平面N5C,

又NC,ADu平面/8C,故同。L/C,A.DLBD,

因为是以/C为斜边的等腰直角三角形，点。为ZC的中点，故ZCIB。,

所以。8,DC,4。两两垂直，故以点。为坐标原点，直线。8,DC,4。分别为x,y,z轴，建立

空间直角坐标系，如图，

因为AABC是以/C为斜边的等腰直角三角形，AB=2,所以ZC=2应，DB=DA=DC=>fL

因为侧面/4GC为菱形，所以//=/C=2收，

又4D_L/C,所以=不封-&D?=m,

则D(0,0,0),/(0,-板,0),S(V2,0,0),C(0,V2,0),4(0,0,直)，

则运=(0,板,0),14=(0,V2,V6),就=(0,20,0),

n-AB=y[lx+V?y=0

设平面44百8的一个法向量为为=(x,y,z),则一厂二，

n-AAx=J2y+j6z=0

取z=l,则x=G,y=-g,故斤=(6，—6,1),

\AC-n\|0-2V