2024届宁夏吴忠市高三数学第一学期期末统考试题含解析

2024届宁夏吴忠市高三数学第一学期期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知(尤+。)5展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则/项系数为()

A.10B.32C.40D.80

2.已知函数/(x)=x2—2x,集合A={x"(x)<0},B={x|/(x)<o},则AB=()

A.[-1,0]B.[-1,2]

C.[0,1]D.l]u[2,+oo)

21

3.已知实数〃>。力>1满足a+Q5,则一+；一的最小值为()

ab-1

A3+2后n3+4&r3+20n3+4加

4466

4.设全集U=R,集合A={x|log2(4—x)Wl},B={x|(x-3)(%-5)>0),贝(1&可1人=()

A.[2,5]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

5.已知函数“无)=log“(|x—2|—a)(a>0,且。/1),则叮⑺在(3,+s)上是单调函数”是“0<。<1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下

图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方

形内的概率是()

2+log,x,—<x<l

7.已知函数/(x)=28，若/(a)=/(b)(a<b),则必的最小值为()

2x,l<x<2

参考数据：In2土0.69,11?2土0.48

A.-B.-C.log,6D.—

2422

8.已知等差数列｛。"｝中，出=7,。10+。7=°，则/+。4=()

A.20B.18C.16D.14

9.在AABC中，角A5c的对边分别为。，4c,C=y,若加=卜一而a—b),〃=(a-0,c+网，且力//，,

则AABC的面积为()

A.3B.2^1c.-D.3上

22

10.已知函数/(HuZcostsinlx+gl+m(meR)的部分图象如图所示.则玉)=()

11.设等差数列｛4｝的前〃项和为5“，若。3=2,。1+&=5,则$6=()

A.10B.9C.8D.7

12.如图，平面a与平面£相交于BC,ABcza,CDu/3,点AeBC,点D任BC,则下列叙述错误的是（）

A.直线AD与BC异面

B.过AD只有唯一平面与BC平行

C.过点。只能作唯一平面与垂直

D.过AD一定能作一平面与8C垂直

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x,y满足|x|Wl-y,且心-I,则3x+y的最大值___

14.高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3,…，56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学

号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为.

15.如图，直三棱柱ABC—AgG中，NC4B=90°,AC=AB=2,=2,p是BQ的中点，则三棱锥C—40/

的体积为.

16.设/(幻=上小，若关于x的方程/(x)=/—2x+上有实数解，则实数上的取值范围___

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

冗

17.(12分)已知函数/(%)=sin?%+sin%cos(x).

6

(1)求函数/U)的最小正周期；

71

(2)求/(%)在0,-上的最大值和最小值.

X—1H----1

18.(12分)已知直线/的参数方程为2。为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标

卜宣1

系，曲线C的极坐标方程为夕=4cose.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P(LO),直线/与曲线。交于A，B两点,求IAPI+IPBI的值.

19.(12分)已知抛物线C：；/=4x的焦点为P，准线/与x轴交于点"，点P在抛物线上，直线PF与抛物线C交

于另一点A.

(D设直线MP,A的的斜率分别为4，k2,求证：及+无常数;

(2)①设APK4的内切圆圆心为G(a/)的半径为小试用厂表示点G的横坐标

②当APK4的内切圆的面积为《兀时，求直线Q4的方程.

20.(12分)已知/(x)=Asin(0x+0)(A>0,0<。<4,阚<])过点(O,g),且当x=时，函数/'⑺取得最

大值L

(1)将函数/(x)的图象向右平移J个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式；

O

(2)在(1)的条件下，函数丸(x)=/(x)+g(x)+2cos2x-l,求丸(x)在[0,万]上的值域.

21.(12分)已知首项为2的数列｛4｝满足a.=2叫+

[na\

(1)证明：数列,是等差数列.

(2)令2=。“+〃，求数列也｝的前〃项和S”.

22.（10分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（a+2c）cos6+3cosA=0.

（1）求成

(2)若b=4,求ABC的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

根据二项式定理通项公式=可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最后依据=,可得

结果.

【题目详解】

r5r

由题可知：Tr+l=qxa-

当厂=0时，常数项为4=片

又(％+。丫展开式的二项式系数和为25

由/=2,=>。=2

所以25-

当r=2时，n=。；必23=80必

所以项系数为80

故选：D

【题目点拨】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

2、C

【解题分析】

分别求解不等式得到集合AB，再利用集合的交集定义求解即可.

【题目详解】

A={x|Y—2x<0}={x[0<x<2},B={x|2x—2WO}={x|x0},

/.AB=[x\OWxWl}.

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了集合的基本运算，难度容易.

3、A

【解题分析】

2112i

所求一+；—的分母特征，利用a+Q5变形构造a+S-1)=4,再等价变形(―+)[。+3—1)],利用基本不

ab-14ab-1

等式求最值.

【题目详解】

解：因为。>08>1满足。+"=5,

则工+'=(2+')「a+0_l)]xL

ab-1ab-lLV〃4

』312仅-1)a*+2圆

4ab-1

当且仅当2°—°=，一时取等号,

ab-1

故选：A.

【题目点拨】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的

技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的

定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

4、D

【解题分析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解

【题目详解】

由于log2(4-x)<1:.2<x<4

故集合A=[2,4)

(%—3)(%—5)>0.,.尤<3或x>5

故集合B=(f0,3)u(5,+8)

(^B)n|A=[3,4)

故选：D

【题目点拨】

本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

5、C

【解题分析】

先求出复合函数/(x)在(3,+8)上是单调函数的充要条件，再看其和0<。<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【题目详解】

/(x)=logfl(|-X-21-a)(a>0,且awl),

由|x-2]—a>0得％<2—a或尤>2+a,

即/(x)的定义域为{%|尤<2—。或x>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x-2]-a,其在(一8,2-“)单调递减，(2+a,+8)单调递增，

2+a<3

在(3,+8)上是单调函数，其充要条件为。〉0

awl

即0<a<1.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

6、D

【解题分析】

由几何概型可知，概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.

【题目详解】

由题,窗花的面积为122-4x1=140,其中小正方形的面积为5x4=20,

，匕140—206

所以所求概率Pn=—而j—=—,

故选:D

【题目点拨】

本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.

7、A

【解题分析】

首先的单调性，由此判断出由/⑷=/3)求得。力的关系式.利用导数求得log?"的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【题目详解】

2+log,X,—<x<1,、「1、

由于函数/Xx)=28，所以“X)在7』上递减，在［1,2］上递增.由于/(a)=/3)(a<。)，

O)

2\l<x<2

/，］=2+log，=5,/(2)=22=4,令2+1陶x=4,解得％=工，所以且2+log1a=2\化简

⑻〃24［1<弥25

b

得log2〃=2-2",VXlog2ab=log2a+log2b=2-2+log2b,构造函数g(x)=2-2"+log2X(l<%<2)，

g'(x)=-21n2+=1-〃252.构造函数h(x)=\-x-T2(l<x<2),

xIn2xIn2

X2

Jt(x)=-(1+A-ln2)-2-In2<0,所以&(x)在区间(1,2］上递减,而-1)=1—211?2々1—2x0.48=0.04>0,

/z(2)=l-81n22®1-8x0.48=-2.84<0,所以存在飞e(l,2),使用题)=0.所以g(尤)在(1,%)上大于零,在

(%,2)上小于零.所以g(x)在区间(1,%)上递增，在区间(尤°，2)上递减.而g⑴=0,g(2)=2—2?+log22=-1,所

以g(x)在区间(1,2］上的最小值为—1,也即log?"的最小值为-1,所以"的最小值为2T=1.

故选：A

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

8、A

【解题分析】

设等差数列｛«„｝的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得%+%即可.

【题目详解】

%二7a}+4d=7,—15,

设等差数列｛｝的公差为由5'八得＜M<

4d.a,+9d+aA+6d=0d=—2.所以

I[aw+a7=0

tZj+=2q+5d—2x15+5x(—2)=20.

故选:A

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.

9、C

【解题分析】

由可得(。-b)2=(c-W)(c+#),化简利用余弦定理可得cosg=~+y「L=2,解得.即可得出三角形

32ab2

面积.

【题目详解】

解：m=(c-46,a-b),n=(a-b,c+46),且

/.(a-b)2=(c-76)(C+A/6),化为：a2+b2-c2=lab-6.

7ia2+从—/2ab—61左力i/

/.cos—=---------=------=—,解得次7=6.

32ablab2

•a_1,.二_1公6_36

=

..SAARC-absinC——x6x—=---•

AA为2222

故选：c.

【题目点拨】

本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10、C

【解题分析】

由图象可知"方=-1,可解得机=-g,利用三角恒等变换化简解析式可得〃x)="2x+£|,令/⑴=0,即可

求得》.

【题目详解】

依题意，=即2cos至―sin%+加=一1,

I3J36

解得根=—g；因为y(x)=2cosx.sin[x+?]—；=2cosx[,sinx+；cosx—g

=73sin%cosx+cos2—sin2%+—cos2x=sin(2x+^-\

222I

TTTT77r

所以2x0+—=2br+—,当左=1时，％=——.

626

故选:C.

【题目点拨】

本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量，考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用，难度

一般.

11,B

【解题分析】

根据题意外=q+2d=2,q+&=2q+3d=5,解得q=4,d=—i,得到答案.

【题目详解】

%=%+2d=2,%+%=2%+3d=5,解得q=4,d=-l,故=6%+152=9.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

12、D

【解题分析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【题目详解】

A.假设直线AD与共面，则A,D,B,C共面，则A5,共面，与ABua,CDu0矛盾,故正确.

B.根据异面直线的性质知，过AD只有唯一平面与平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AD不一定能作一平面与垂直，故错误.

故选：D

【题目点拨】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5.

【解题分析】

由约束条件作出可行域，令z=3x+y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数

得答案.

【题目详解】

由题意/,，作出可行域如图阴影部分所示.

y-l<x<l-y

设z=3%+y,y=z—3%,

当直线/°：y=z-3x经过点（2,-1）时,z取最大值5.

故答案为：5

【题目点拨】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

14、20

【解题分析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42

号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20

号，故答案为20.

2

15、-

3

【解题分析】

证明平面MGC,于是匕_4GP=%YCQ=J%-AGC，利用三棱锥的体积公式即可求解.

【题目详解】

;相，平面ABC,ABi平面ABC,

A^LAB,又ABLAC,

二.AB_L平面441clC,

P是6cl的中点,

二匕-AGP=9-&GC=5%-AGC=2'32'2'2-2=J'

2

故答案为：—

3

【题目点拨】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

16、(-00,2]

【解题分析】

先求出7''(》)=-丝，从而得函数/(X)在区间(0,1)上为增函数；在区间(l,y)为减函数.即可得"X)的最大值为

/(1)=1,令g(x)=d-2尤+左，得函数g(x)取得最小值g6=k-1,由/(x)=%2—2x+上有实数解，进

而得实数上的取值范围.

【题目详解】

立力.,、Ituc

解：(r(龙)=--,

Xr

.,.当xe(0,l)时，f'(x)>0；当xe(l,+oo)时，f'x)<0；

函数f(x)在区间(0,1)上为增函数；在区间(L+c。)为减函数.

所以的最大值为/(1)=1,

2

令g(x)=x-2x+k9

所以当X=1时，函数g(x)取得最小值g(l)="l,

又因为方程/(x)=/-2x+上有实数解，那么左-L,l,即除2,

所以实数上的取值范围是：(-吗2].

故答案为：(-吗2]

【题目点拨】

本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)左；(2)见解析

【解题分析】

(1)将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期

（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值

【题目详解】

（I）由题意得

1.

原式=sin2x+sin%cosx+—sin%

27

=-sin2x+—sinxcosx

22

=—(1-cos2x)+避^sin2x

4V)4

—sin2x------cos2x+-

一2224

7

=走sin[2%--I+-

34

，/（九）的最小正周期为万.

(II)0,—,

2

兀,'兀,27r

.----<2x-----V—・

333

S（即光=0时，7（^=0；

2A/3+3

当2x4《，即时，”我「

4

综上，得％=0时，取得最小值为0；

当X=时，/（x）取得最大值为冥言

【题目点拨】

本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开,辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算

正确，属于基础题

18、(1)%—6y—1=0；(x-2)2+/=4(2)V15

【解题分析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;

(2)将直线参数方程代入圆的普通方程，可得：+/2=6,仙2=-3,而根据直线参数方程的几何意义，知

\PA\+\PB\=\t,-t2\^，代入即可解决.

【题目详解】

f1出

(1)直线/的参数方程为2。为参数)，

1

y=­t

I2

消去，；得x-百y-l=O

曲线C的极坐标方程为夕=4cos夕.

由x=X7cos6,y=/?sin。，x1+y2=p1,

可得/+/=，即曲线c的直角坐标方程为(x—2)2+/=4；

f_6

X—1H---1

(2)将直线/的参数方程2(f为参数)代入C的方程(x-2了+V=4,

y=­t

[-2

可得产-疯-3=0，/>0，

设乙,是点A,8对应的参数值，

£乜=瓜巾2=—3,则|PA|+1PB|=k—^|=J(1+-『—4//=A•

【题目点拨】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

19、(1)证明见解析；(2)0a=—；②x±Y14y_i=o.

48

【解题分析】

(1)设过尸的直线工=阳+1交抛物线于「(七,%),A(x2,y2),联立y2=4x,利用直线的斜率公式和韦达定理表

示出匕+质，化简即可；

(2)由(1)知点G在x轴上，故G(a,0),设出直线R4,PM方程，求出交点尸坐标，因为内心到三角形各边的距

离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.

【题目详解】

(1)设过歹的直线X=%+1交抛物线于P(%1，%),A(x2,y2),M(-1,O)

x=my+1

联立方程组<2，得：y2-4/nj-4=0.

[y=4x

%+为=4加

于是，有:

、y』=一4

.K.K一一,%阴2++%+%

••«V|I(2।,

玉+1x2+1芭+%2+%%2+1

又y/2+%芯+%+%=；・%%(%+%)+(%+%)=：•(-4)・4/72+4根=0，

kx+k2=0•

/\[x=my+l

(2)①由(1)知点G在X轴上，故G(a,o),联立R4,PM的直线方程：,，

[x=ny-l

fvri-\-ri2\

・•.P------,——，又点尸在抛物线y2=4%上，得几2—2=L

\n—mn—m)m

r2(l+m2)=(6i-l)2

nr2(n2-m2)=4<7,

/+=(〃+l)2

〃二—；

4

②由题得，S=7rr2=-^r2=-^a=-

228

（解法一）

=；（1+加）=["

庖

nm=±--

8

所以直线Q4的方程为x土避4y-1=0

8

（解法二）

设内切圆半径为广，则厂=正.设直线的斜率为左，则:

2

直线的方程为：y=/x+D代入直线Q4的直线方程,

一但^A+mk2k、

可得P(匚嬴,匚赢)

于是有：(:^了二小产!，

1—mk1—mk

得左2(1+加2)=],

|？-1|_V2

yll+m~2

又由(1)可设内切圆的圆心为亿0).则

1

t=-

1+病=2(1)2…8

即：\2左2(-1+左2,解得：，

事后

m-±---

8

所以，直线%的方程为：X土恒y—1=0.

8■

【题目点拨】

本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.

冗

20、(l)g(x)=sin(2x——)；(2)[-1,2].

6

【解题分析】

试题分析：

⑴由题意可得函数f(x)的解析式为“X)="2x+",则

⑵整理函数h(x)的解析式可得："(X)=2S%[2X+£J,结合函数的定义域可得函数的值域为[-1,2].

试题解析：

⑴由函数/Xx)取得最大值1,可得A=l,函数过[of得=阚＜/。=?

(7T].nn7t_jj「

——1=>—coH———F2k兀,keZ*•*0<co<4f:•3=2

{6J662

71

f[x}=sin\2x+^\,g(x)=fx--=s可2x-^

(2)A(x)=\/35,m2x+c6>5,2x=25,m2x+—

一nn~\»/7乃1.(c

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