2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末

数学试卷

选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

©

2.（3分）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小,

也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表

示为（）

A.8.4X10「5B.8.4X10-6C.8.4X10-7D.8.4X106

3.（3分）下列各运算中，正确的运算是（

A.V2+V3=V5B.(2。)3=8〃3

C.〃8+Q4=Q2D.(a-6)2=a2-b1

4.（3分）下列各式中是分式的是（)

A.AB.x+yc•9D.1

2m-1

5.（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

A.Vo75B.V12C.D.V30

6.（3分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中工人师傅在焊接立柱时，只

用找到3c的中点D,这就可以说明竖梁4D垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法

的依据是（）

A.等边对等角

第1页（共24页）

B.等角对等边

C.垂线段最短

D.等腰三角形“三线合一”

7.（3分）如图，在△N3C中，AB=AC,48=54°,以点C为圆心，C4长为半径作弧交

N3于点。，分别以点/和点。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E,作

2

直线CE,交48于点尸，则//CF的度数是（）

A.54°B.36°C.27°D.18°

8.（3分）满足下列条件的△NBC不是直角三角形的是（）

A.BC=\,AC=2,AB=MB.BC-.AC：AB=3：4：5

C.ZA+ZB^ZCD.NN：ZB：ZC=3：4：5

9.（3分）如图，在口中，BF平分/ABC,交/。于点尸，CE平分/BCD交4D于

点E,AB=6,3C=10,则跖长为（）

A.1B.2C.3D.4

10.（3分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

亦称“赵爽弦图”（如图1）,某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：4ABC为等

边三角形，AD、BE、CF围成的△。跖也是等边三角形.已知点。、E、尸分别是3E、

CF、的中点，若△/BC的面积为14,则△£>£歹的面积是（）

第2页（共24页）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）比较大小：V73.（选填“〈”或“=”）

12.（3分）使二次根式仃话有意义的x的取值范围是.

13.（3分）若5x-3y-2=0,贝i]25、+23，=.

14.（3分）若06W0且a-b-a6=0,则分式上」的值为.

ba

15.（3分）如图，在Rt△/8C中，/C=90°,//=30°,/3+8C=12,则N8的长为

16.（3分）已知直角三角形面积为24,斜边长为10,则其周长为.

三、解答题（本大题共9个大题，共72分）

17.（8分）计算：|+g）7-（兀-3.14）°涵.

18.（8分）先化简，再求值（i_L）+W.-6m+g,其中加=i.

m-2m-2

19.（8分）如图，AD,CE分别是△/8C的中线和角平分线，AB=AC.

（1）若△NBC的面积是20,且8C=4,求/£＞的长.

（2）若NG4D=20°,求N/CE的度数.

20.（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85WxW100为

第3页（共24页）

A级,75Wx<85为3级，60Wx<75为C级，x<60为D级.现随机抽取华益中学部分

学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a=%；

（2）补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为度;

（3）若该校共有4000名学生，请你估计该校。级学生有多少名？

21.（8分）如图，在Rt448C中，ZC=90°,利用尺规在8C、氏4上分别截取3£、BD,

使BE=BD；分别以点。和点£为圆心、以大于工。£的长为半径作弧，两弧在/CBN

2

内交于点尸；作射线AF交/C于点G.

（1）连接ERDF,通过证明△3昉g2\。£凡得到N48G=/C8G,从而得到BG是

NABC的平分线，其中证明42所会△8。下的依据是（填序号）.

①W

②/SN

③MS

④SSS

（2）当//=56°,NBGC=；

（3）若/C=3,3c=4,P为48上一动点，求GP的最小值.

22.（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角

的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的

单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同.

第4页（共24页）

(1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？

(2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最

多是多少盆？

23.(8分)如图，在平行四边形N5CD中，点£在3。边上，且4D=DE,尸为线段。£上

一点，且//尸£=/反

(1)求证：ZAFD=ZECD；

(2)求证：AAFD当ADCE；

(3)若N8=60°,CD=DF,BE=2,求AB.

24.(8分)若任意三个正数满足：上崖」的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”.

abc

(1)下列三组数是“快乐三数组”有(填序号)；

①3,4,5

②工1.1

235

③愿-L1，V3+1

(2)若关于x的分式方程2=-1的解与关于〉的方程(m-3)y-1^3Cm-y)

X-11-X

的解与1构成“快乐三数组”，求他的值；

(3)如图，在四边形/D2C中，ZC=Zr>=90°,BD=AD,连接对角线48,若AB

的长为c,NC的两条邻边长分别为。，b,若c-a,b,c+a构成“快乐三数组”，且S四

边形/DBC=27,求N3的长.

25.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点/(m,0),OA=OB,将线段绕点3顺时

针旋转60°至BE,连接。E、AE.

第5页(共24页)

(1)若冽=4,求E点坐标及NO4E；

(2)若点。，/为分别是45、。打中点，连接BR0D,连接。/与/£交于点G,若

FD为n,求S四边形85尸(用含〃的式子表示);

第6页(共24页)

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（

A.

C.D.©

【解答】解：选项/、B.C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形,

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形,

故选：D

2.（3分）清代诗人袁枚的:一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小,

也学牡丹开若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表

示为（）

A.8.4X105B.8.4Xl(/6C.8.4X10〃D.8.4X106

【解答】解：0.0000084=8.4X10-6

故选：B.

3.（3分）下列各运算中，正确的运算是

A.V2W3=V5B.(2a)3=/

C.。匚/=/D.(.a-b)2=a2-b1

【解答】解：4.••衣与正不是同类二次根式,

..•加与正不能合并，故/错误;

B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3=8於，故2正确;

第7页（共24页）

C、按照同底数惠的除法的运算法则可知，08+〃4=/，故C错误;

D、根据完全平方公式可知，（a-b）2=a2-lab+b1,故。错误.

综上，只有5正确.

故选：B.

4.（3分）下列各式中是分式的是（）

A.AB.x+yC.54VD.-L-

2几m-l

【解答】解：/、三是整式，不是分式，故/不符合题意;

2

B、x+y是整式，不是分式，故3不符合题意；

C、旦工是整式，不是分式，故2不符合题意；

7T

D、」_是分式，故。符合题意；

m-l

故选：D.

5.（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.VO75B.V12C.拒D.V30

【解答】解：4而万=祗=喙，故/不符合题意;

5./12=2A/3，故8不符合题意；

。.患=喙，故C不符合题意；

D倔是最简二次根式，故。符合题意；

故选：D.

6.（3分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中N3=/C,工人师傅在焊接立柱时，只

用找到3c的中点。，这就可以说明竖梁4D垂直于横梁3c了，工人师傅这种操作方法

的依据是（）

B.等角对等边

C.垂线段最短

D.等腰三角形“三线合一”

第8页（共24页）

【解答】I?：'JAB^AC,BD=CD,

：.AD±BC,

故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，

故选：D.

7.（3分）如图，在△A8C中，AB=AC,NB=54：以点C为圆心，C4长为半径作弧交

4B于点、D,分别以点/和点。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E,作

2

直线CE,交AB于点F,则//CF的度数是（）

A.54°B.36°C.27°D.18°

【解答】解：由尺规作图可知，CF±AB,

，/CE4=90°,

•:AB=AC,ZB=54°,

AZACB=ZB^54°,

：.ZCAB=12°,

AZACF=180°-/CE4-NC4B=18°.

故选：D.

8.（3分）满足下列条件的△NBC不是直角三角形的是（）

A.BC=1,AC=2,AB=42B.BC-.AC：AB=3：4：5

C./A+/B=/CD.NN：ZB：/C=3：4：5

【解答】解：A,当8C=1,AC=2,=«时，满足3。2+//=1+3=4=/。2,所以

△/3C为直角三角形；

B、当BC：AC：4B=3：4：5时，设3c=3x,/C=4x,AB=5x,BC2+AC2^AB2,

所以△NBC为直角三角形；

C、当时，且/N+/8+/C=180°,所以/C=90°,所以△48C为直角

第9页（共24页）

三角形；

D、当//：NB：ZC=3：4：5时，可设//=3x°,ZB=4x°,ZC=5x°,由三角

形内角和定理可得3x+4x+5x=180,解得x=15°,所以//=45°,ZB=60°,NC=

75°,所以△A8C为锐角三角形，

故选：D.

9.（3分）如图，在口/BCD中，BF平分NABC,交/。于点尸，CE平分/BCD交4D于

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：,••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC=10,DC=AB=6.

：./AFB=ZFBC.

:BF平分N4BC,

：./ABF=ZFBC.

：.ZAFB=ZABF.

：.AF=AB=6.

同理可得DE=Z)C=6.

：.EF=AF+DE-40=6+6-10=2.

故选：B.

10.（3分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

亦称“赵爽弦图”（如图1）,某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△NBC为等

边三角形，AD、BE、CF围成的△£>£尸也是等边三角形.已知点。、E、尸分别是3E、

CF、的中点，若的面积为14,则△£）£厂的面积是（）

第10页（共24页）

【解答】解：如图，连接3凡

:点。、E、厂分别是BE、CF、的中点，

••S/\BDF=S/\DEFfSABDF=S"BF，

由题意可知，S/^ABD=S^AFC=S^BEC，

•*-S"BD=S^AFC=S^BEC=2S^DEF，

•*-S”BC=SMBD+Syc吩SAAFLSAEDF=7s△。石尸,

VSA^C=14,

••SADEF-2,

故选：B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）比较大小：V7<3.（选填或“=”）

【解答】解：；（W）2=7,32=9,

7<9,

；.V7<3.

故答案为：<.

12.（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是G-3

【解答】解：根据二次根式的意义，得x+320,

解得X2-3.

故答案为：X2-3.

13.（3分）若5x-3y-2=0,则25x323』4.

【解答】解：：5x-3y=2,

第11页（共24页）

原式=25xry

=22

=4,

故答案为：4.

14.（3分）若06—0且°-6-°6=0,则分式上」的值为1

ba

【解答】解：-：ab^O且。-b-仍=0,

・・a-2）=4bW0,

故答案为：1.

15.（3分）如图，在区12\/8。中，/。=90°,ZA=30°,4B+BC=12,则的长为8

【解答】解：在RtZk4BC中，ZC=90°,ZA=30°,

:.BC^1AB,

2

设BC=x,

"：AB+BC=12,

：.AB=\2-x,

:BC=LB,BPx=A（12-x）,

22

解得：x=4.

则NB=28C=2x=8.

故答案为：8.

16.（3分）已知直角三角形面积为24,斜边长为10,则其周长为24.

【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是。、b（a<b,且a、6均为正数）,

a2+b2=102

贝,

yab=24

第12页（共24页）

解得］a=6.

lb=8

所以该直角三角形的周长是：6+8+10=24.

故答案为：24.

三、解答题（本大题共9个大题，共72分）

17.（8分）计算：|V3-1|+（y）-1-（K-3.14）°W9-

IWJIV3-1|+14）°W9

=V3-l+2-l+3

—V3+3-

2

18.（8分）先化简，再求值m-6m+9,其中冽=1.

m-2

=irr2T.irr2

m-2(m-3)2

_m~3

(m-3)2

=1

m-3

当加=1时，原式=1-=-L

1-32

19.(8分)如图，AD,C£分别是的中线和角平分线，AB=AC.

(1)若△43C的面积是20,且BC=4,求4。的

(:2)若/C/O=2(T,求//CE的度数

A

BDC

【解答】解：(1)/。是△/3C的中线，AB=AC.

：.AD.LBC,

1•△48C的面积是20,且3c=4,

.•.氢C・4D=20,

2

第13页（共24页）

.*._1X4X/D=2O,

2

(2)是△A8C的中线，AB=AC,ZCAD=2Q°,

：.ZCAB=2ZCAD=40°,ZB=ZACB=1.(180°-/CAB)=70°.

2

'：CE是△/BC的角平分线，

ZACE=XZACB^35°.

2

20.(8分)设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85WxW100为

A级,75Wx<85为3级，60Wx<75为C级，x<60为D级.现随机抽取华益中学部分

学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了50名学生,a=24%：

(2)补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为72度;

(3)若该校共有4000名学生，请你估计该校。级学生有多少名？

a管"X100%=24%>

□U

故答案为:50,24；

(2)。级学生人数为：50-12-24-4=10(人),

补全条形统计图，如图所示：

第14页(共24页)

扇形统计图中C级对应的圆心角为：

360°义黑=72°，

DU

故答案为：72.

（3）4000X_L=320（名），

50

答：估计该校。级学生有320名.

21.（8分）如图，在RtzMBC中，ZC=90°,利用尺规在3C、9上分别截取3£、BD,

使BE=BD；分别以点。和点£为圆心、以大于耳£的长为半径作弧，两弧在NCR4

2

内交于点尸；作射线2尸交/。于点G.

（I）连接ERDF,通过证明△3£7名△£）£「，得到N4SG=/CBG,从而得到8G是

NABC的平分线，其中证明斯名△出加的依据是⑷（填序号）.

①&4S

②/SN

③MS

④SSS

（2）当N/=56°,/BGC=73°；

（3）若/C=3,3c=4,P为48上一动点，求G尸的最小值.

在ABEF和△ADF中,

第15页（共24页）

EF=DE

<BE=BD>

、BF=BF

:.ABEF义ABDF(SSS),

故答案为：④；

(2)VZA=56°，ZC=90°，

：.ZABC=90°-ZA=34°,

平分//BC,

ZCBG=1-ZABC^17°，

2

/.ZSGC=90°-ZC5G=73°,

故答案为：73°；

(3)如图，过点G作GHLAB于点H.

•'•^S=VAC2+BC2=5,

由作图过程可知：BG平分/ABC,GCLBC,GHLAB,

：.GH=GC,

设GH=GC=x,则有A.X5・X+LX4・X=LX4X3=&/BC，

222

.,•人r=4,

3

：.GH=^,

3

:P为AB上一动点，

则GP的最小值为三.

3

22.（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角

的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的

单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同.

（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？

第16页（共24页）

（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最

多是多少盆？

【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，

由题意得：200=300,

xx+5

解得：x=10,

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，

贝ijx+5=15,

答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；

（2）设购买吊兰的数量为加盆，则购买绿萝的数量为2羽盆，

由题意得：15〃z+10X2mW600,

解得：

7

■：m为正整数，

；.m的最大值为17,

答：购买吊兰的数量最多是17盆.

23.（8分）如图，在平行四边形48CD中，点E在3c边上，S.AD=DE,尸为线段。E上

一点，且/AFE=/B.

（1）求证：ZAFD=ZECD；

（2）求证：AAFD沿4DCE；

（3）若NB=60°,CD=DF,BE=2,求AE.

【解答】（1）证明：•.•四边形NBC®为平行四边形,

：.AB//CD,

：.ZB+ZECD=1SQ°,

ZAFE=ZB,

：.AAFE+AECD=\^°,

又：//必+//阳=180°,

第17页（共24页）

・・・ZAFD=ZECD；

(2)证明：・・•四边形45C。为平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZADF=/DEC,

在△4FD和中，

<ZAFD=ZECD

<NADF=NDEC，

AD=DE

AAAFD^ADCE(AAS\

(3)解：过点E作EH上AB于H,如下图所示:

:・DF=CE,AF=CD,

・・・四边形ABCD为平行四边形，

:・BC=AD,AB=CD,

9：AD=DE,

：.BC=DE,

DE=DF+EF=CE+EF,BC=CE+BE,

：.BE=EF,

'：AB=CD,CD=DF,AF=CD,DF=CE,

；・AB=AF=CD=CE,

在△45E和△4FE中，

<AB=AF

,BE=EF，

AE=AE

・•・△ABE义AAFE(SSS),

・•・/AEB=/AEF,

：.Z5=60°,

AZC=180°-ZB=12O°,

第18页（共24页）

'：CD=CE,

：.ZCED=ZCDE^1.(180°-ZC)=30°,

2

:./BEF=T80°-ZC£Z)=150°,

/.ZAEB=ZAEF=L/BEF=75°,

2

'：EH±AB,NB=60°,

：.ZBEH=30°,

/AEH=ZAEB-ZBEH=45°,

...△NHE为等腰直角三角形，即延=加，

在RtZXBEX中，//BEH=30°,BE=2,

2

由勾股定理得：HE=2=>>y3,

.'.HE=HA=yf2<

-AE=VHE2+HA2=V6.

24.(8分)若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”.

abc

(1)下列三组数是“快乐三数组”有②⑶(填序号)；

①3,4,5

②工1,1

235

③用L1，V3+1

(2)若关于x的分式方程.15L=_i的解与关于了的方程(m-3)y-1^3Cm-y)

x-ll-x

的解与1构成“快乐三数组”，求优的值；

(3)如图，在四边形/D2C中，ZC=Zr>=90°,BD=AD,连接对角线48,若

的长为c,NC的两条邻边长分别为a,b,若c-a,b,c+a构成“快乐三数组”，且S四

边形ADBC=27,求48的长.

第19页(共24页)

C

BA

【解答】解：（1）①・・・工J卉工,

453

，3,4,5不是“快乐三数组”;

②：2+3=5,

/.I,工，工是“快乐三数组”；

235

③・••]—=]华=毕，

V3+122

v••1Vs+i

X•-==-------------，

V3-12

•,1=_1

.1•V3-L1>%+1是“快乐三数组”，

故答案为：@（3）.

（2）对于方程上七十至=_1，

X-l1-X

去分母，将方程两边同时乘以（1-X）得：2x-3m=\-X,

・丫一l+3m

3

解方程-3）y-1=3（m-y）,得：y=l+3m,

m

依题意得：x,y,1是“快乐三数组”；

有以下三种情况：

①当上二=1时，则3+m

xyl+3ml+3m

解得：m=l,

经检验a=1是该方程的根，

②当时，则——+17-,

xyl+3ml+3m

解得：m--2,

经检验冽=-2是该方程的根，

第20页（共24页）

当m=-2时，苫=1+加=1+3><(-2)二，不符合“快乐三数组”的定义，舍去;

333

③当上+1二时，贝"」-+1—,

yxl+3ml+3m

解得：加=05

经检验%=0.5是该方程的根,

综上所述：冽的值为1或0.5.

(3)・.・NC=NO=90°,45的长为c,NC的两条邻边长分别为Q,b,

a2+b2=c2,且。-Q〈6VC+Q,

—_1—,c2-a2=b2,

c-abc+a

Vc-a,b,C+Q构成“快乐三数组”,

.111

••---=—+-----，

c-abc+a

.11I1

c-ac+ab

将c2-/=62代入上式，得：2a_^l,

b2b

••6=2”，

•',c=7a2+b2=^a>

在Rt/XAaD中，BD=AD,AB=c,

由勾股定理得：AD2+BD2=AB2,

：.AD=BD=k^c=1VI5a，

==

•S/^ABC==-^-U.•2tZcP,9S/^ABD-i-X

222

,**S四边形408c=27,

*'•SAABLS”BD=27,

即22亭2=27，

解得：a=2a或a=-26(不合题意，舍去),

：.AB=C=45a=V5X273=2^15.

25.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点/(in,0),OA=OB,将线段。8绕点8顺时

针旋转60°至BE,连接。E、AE.