1.3 求二次函数的解析式 浙教版九年级数学上册课件

用待定系数法求二次函数的解析式导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）一般式法二次函数的表达式一探究归纳问题1

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15讲授新课解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法例1

一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是顶点法求二次函数的表达式二

选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.例2

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为

y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得

0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函数的解析式是

解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.

交点法求二次函数的表达式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512归纳总结交点法求二次函数表达式的方法

这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.特殊条件的二次函数的表达式四例3.已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{关于y轴对称已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，∴{

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.

注

y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-13452.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)

(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式解：设所求二次函数为

由已知，函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，

例1如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，试求出这个二次函数的解析式.得关于a，b，c的三元一次方程组解这个方程组，得所求二次函数为

例1如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，试求出这个二次函数的解析式.

例2已知二次函数图象的顶点为（3，-4），与y轴的交点为（0，2），求这个二次函数的解析式.解：设所求二次函数为

y=ax2+bx+c.由已知，与y轴的交点为（0，2），由已知，顶点为（3，-4），得c=2.得解这个方程组，得把c=2代入方程组所求二次函数为

例2已知二次函数图象的顶点为（3，-4），与y轴的交点为（0，2），求这个二次函数的解析式.解：设所求二次函数为由已知，顶点为（3，-4），则二次函数为方法二

例2已知二次函数图象的顶点为（3，-4），与y轴的交点为（0，2），求这个二次函数的解析式.二次函数为由已知，与

y轴的交点为（0，2），解得所求二次函数为

得

例2已知二次函数图象的顶点为（3，-4），与y轴的交点为（0，2），求这个二次函数的解析式.

例3已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c中自变量

x与函数值

y的部分对应值如下表，求二次函数的解析式.解：设所求二次函数为

y＝ax2＋bx＋c.解：设所求二次函数为

y＝ax2＋bx＋c.

方法二由已知，过点（0，-2），解：设所求二次函数为

y＝ax2＋bx＋c.

c=-2.则二次函数为

y＝ax2＋bx-2.

得所求二次函数为由于过点（-1，-2），（1，0），解得得对称轴为直线顶点为解：设所求二次函数为由于顶点为则二次函数为方法三由已知，过点（1，0），解得所求二次函数为得对称轴为直线

例4已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点（-2，0）与（6，0），求这个二次函数的解析式.则抛物线的对称轴为直线.解：由已知，由已知，最小值为

-4

，得到抛物线的顶点为（2，-4

）.（-2，0）与（6，0）是一对对称点，

例4已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点（-2，0）与（6，0），求这个二次函数的解析式.设所求二次函数为由于过点（6，0），得所求二次函数为解得顶点（

2，-4

）

例4已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点（-2，0）与（6，0），求这个二次函数的解析式.由已知，当自变量x=-4时，函数值y=-2，

由已知，当x=-5与x=1时，所对应的函数值相等，解：得得

例5已知二次函数

y＝x2＋bx＋c中，当自变量

x=-4时，函数值

y=-2，当

x=-5与

x=1时，所对应的函数值相等.求这个二次函数的解析式.解得所求二次函数为

例5已知二次函数

y＝x2＋bx＋c中，当自变量

x=-4时，函数值

y=-2，当

x=-5与

x=1时，所对应的函数值相等.求这个二次函数的解析式.

例6已知一条抛物线的对称轴是

x=1，且经过（4，5）与（-1，0）两点，求这条抛物线的解析式.解：设所求二次函数为由已知，得关于a，b，c的三元一