2024年江苏省宿迁市沭阳县学中考数学一调试卷（含解析）

2024年江苏省宿迁市沐阳县沐河初级中学中考数学一调试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列函数中，y是x的一次函数的是（）

A.y=2x2—3B.y=-3%C.y=3D.y2=x

2.下列运算正确的是（）

A.TTI2+m3=m5B.(m2)3=m5C.m5—m3=m2D.m2-m3=m5

3.截止2023年12月底，全球人口总数已突破80亿.将80亿用科学记数法表示为（）

A.8X108B.8x109C.80xIO9D.8xIO10

4.若广看则亍的值是（）

11

A.-1B.--CjD.1

5.将抛物线y=-3/向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是

()

A.y=-3(%+5)2+6B.y=-3(x+5/-6

C.y=-3(x-5)2+6D.y=-3(x-5)2-6

6.在△ABC中，乙4,NB都是锐角，且=cosB=则AaBC的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

2

7.已知抛物线y=ax-2ax+b（a>0）的图象上三个点的坐标分别为4（3,%）,B（2,y2）,C（-2,y3）,则

y1>乃，为的大小关系为（）

A.y3<yi<y2B.y2<yi<y3c.当<为<y2D.%<%<y3

8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已

经知道30。，45°,60。角的三角函数值，现在来求tcm22.5。的值：

如图，在RtaACB中，ZC=90°,AABC=45°,延长CB至D,使BD=

AB,连接4D,得=22.5。.设AC=1,则BC=1,AB=^=BD,

所以tcm22.5。=晔==7-葭?办=近-1.类比这种方法,计算915。的值为()

CD1+VZ(1+V2)(1—VL)

A.<3-<2B.2-73C.<3+72D.<3-2

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.若［；1:］是关于x,y的二元一次方程x-ay=4的一组解，贝!］a的值为

10.把a?。-/因式分解的结果是.

11.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投

掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是.

12.已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当》＞1时，y随x的增大而增大.请你写出一个满足上述条

件的二次函数的解析式:

13.已知：如图所示，在△力BC中，点D,E,尸分别为BC,AD,CE的中点，且，阳0=4。62,则阴影部

分的面积为cm2.

-+cosa与x轴只有1个公共点，则锐角a=度

15.如图，二次函数为=ax2+bx+c（a丰0）与一次函数为=kx+m（kK0）的

图象相交于点力（一1,4）,B（4,2）,则使yi＜、2成立的久的取值范围是

16.如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y=-2仁-+

3.6,则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离04=米.

0A

17.对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深

入领会的一种指导方针，摄影师也不例外.摄影中有一种拍摄手法叫黄金

分割构图法，其原理是：如图，将正方形4BCD的边BC取中点。，以。为

圆心，线段。D为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E,这样就把正方

形4BCD延伸为黄金矩形ABEF,若CE=4,贝.

18.如图，在△ABC中，已知4C=BC=2,AACB=90°,点P是线段AB上

的动点，连接CP,在CP上有一点M,始终保持乙4cp=NCBM,连接AM,

则4M的最小值为.

三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

（1）解方程：x2+4%+1=0；

（2）计算:4cos?60°+3tan30°—yj~2sin45°.

20.（本小题8分）

如图，在四边形ABC。中，AB//CD,连接点E在BD上，连接CE,若N1=42,AB=ED,求证:

DB=CD.

21.（本小题8分）

如图，在RtAABC中，NC=90。，点。是边4C上的中点，BD=5,cos/BDC=（求线段CD的长和tcmA的

值;

22.(本小题8分)

如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树力B的高，小康在尸处竖立了一根标杆EF,小华走到C处

时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端8在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=

1.6米，EF=2.4米，CF=2米，F4=16米，点C、尸、4在一条直线上，CDVAC,EFVAC,AB1AC,

根据以上测量数据，请你求出树4B的高度.

23.(本小题10分)

已知：△48C在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为4(0,3)、B(3,4)>C(2,2)(正方形网格中每个小正

方形的边长是一个单位长度).

⑴画出A4BC向下平移4个单位长度得到的AaiBiQ,点Q的坐标是；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出A4B2c2，使A&B2c2与△ABC位似，且位似比为2：1；

(3)四边形AaQC的面积是平方单位.

24.(本小题10分)

如图，4B为。。的直径，C为BA延长线上一点，。为O。上一点，OF1AD于点E,交CD于点F,且

AADC=N40F.

(1)求证：CD与。。相切于点。；

(2)若sin〃=BD=12,求EF的长.

25.(本小题12分)

图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研

究.如图①，已知AABC和AADE均为等腰直角三角形，点D,E分别在线段4B,4C上，MzC=^AED=

90°.

(1)观察猜想小华将A4DE绕点4逆时针旋转，连接B。，CE,设BD的延长线交CE于点尸，如图②，当点E

与点尸重合时：

①国的值为;

②NBFC的度数为度；

(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转AaDE,连接8。，CE,(1)中的两个结论是否仍然

成立？请说明理由；

(3)拓展延伸：若AE=DE={1,,AC=BC=AA10,当CE所在的直线垂直于力。时，直接写出BD的长.

26.(本小题12分)

若直线y=久一5与y轴交于点4,与x轴交于点B,二次函数丫=a/+bx+c的图象经过点4点、B,且与x

轴交于点C(-l,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点P为直线4B下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E,作「f〃丫轴交直线于点F,

求线段PF最大值及此时点P的坐标；

(3)将抛物线沿支轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y，，Q是新抛物线y'与x轴的交点(靠近y轴)，N

是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M,使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边

形，请直接写出符合条件的点M的坐标.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4y=2j—3是二次函数，不符合题意；

Ay=-3x是一次函数，符合题意；

C.y=3不是一次函数，不符合题意；

D.y2=久不是一次函数，不符合题意.

故选：B.

根据一次函数的定义：y=kx+6(k^0),进行判断即可.

本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：2、m2+m3=m2+m3,4选项错误，不符合题意；

B、(m2)3=m6,B选项错误，不符合题意；

C、m5-m3,不能运算，C选项错误，不符合题意；

D、m2-m3-m5,。选项正确，符合题意.

故选：D.

利用同底数累的乘法、除法运算，合并同类项，塞的乘方与积的乘方计算并判断.

本题考查了整式的运算，掌握同底数塞的乘法、除法运算，合并同类项，塞的乘方与积的乘方是关键.

3.【答案】B

【解析】解：80亿=8000000000,

所以80亿用科学记数法表示为8X109.

故选:B.

科学记数法的表现形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,几为整数，确定n的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，九是正整

数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案.

本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•一

y2

yy22

故选：c.

由二=1_w,把““弋入即可计算.

yyy2

本题考查比例的性质，关键是得到匕=1--.

yy

5.【答案】A

【解析】解：抛物线y=-3/向左平移5个单位长度得到y=-3（乂+5）2,再向上平移6个单位得到y=

一（久+5/+6.

故选：A.

根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式.

本题考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：••・cosB=?,

・•・乙B=30°,

..1

,**StTlA—

•••乙4=30°,

•・•+ZB+ZC=180°,

・•.Z.C=180°-30°-30°=120°,

・•.△ABC是钝角三角形，

故选：B.

先由三角函数S讥30。=提郎30。=苧，得出乙4与NB的度数，再由三角形内角和定理求出NC的度数，即

可得出答案.

本题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关

键.

7.【答案】B

【解析】解：,•・y=ax2-2ax+b（a>0）,

・•・二次函数的开口向上，对称轴是直线x=-要=1,

2a

X>1时，y随X的增大而增大，

C点关于直线久=1的对称点是。（4,乃），

v2<3<4,

y3>7i>y2'

故选:B.

求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质.

8.【答案】B

【解析】解：如图，在RtAACB中，ZC=90°,^ABC=

30°,

延长C8至。，OD=AB,连接4D,得ND=15。.

设ac=1,

则B2=BD=2,BC=<3.

CD=BC+BD=2+y/~3-

在Rt中，

Ar1,—

tanl5°=tanD=—==2—AA3-

故选：B.

仿照题例作等腰三角形，利用直角三角形的边角间关系计算得结论.

本题考查了解直角三角形，看懂题例，仿照题例作出辅助线是解决本题的关键.

9.【答案】3

【解析】解：］是关于％,y的二元一次方程％-ay=4的一组解，

1-ax(-1)=4,

解得Q=3.

故答案为：3.

根据题意，得l—ax(—l)=4,计算即可.

本题考查了二元一次方程的解，掌握解的定义是解题的关键.

10.【答案】b(a+b)(a—b)

【解析】解：a2b-b3

=b{a2—b2)

=b{a+h)(a—b).

故答案为：b(a+b)(a—b).

先提取公因式b,再利用平方差公式进行分解即可.

此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来

说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

11.【答案】I

【解析】解：•••总面积为9个小三角形的面积，其中白色部分面积为6个小三角形的面积，

・•・飞镖落在黑色部分的概率是［=|,

故答案为：|.

根据几何概率的求法：飞镖落在白部分的概率就是白色区域的面积与总面积的比值.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，■般用阴影区域表示所求事件

Q4)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(4)发生的概率.

12.【答案】答案不唯一，如：y=x2-2x

【解析】解：••・当x>1时，y随工的增大而增大，

••・抛物线方程中的二次项系数a>0,对称轴是直线x=1.

•••图象过原点，

••・抛物线方程中的常数项c=0符合题意.

答案不唯一，如：y=x2-2x.

故答案为：答案不唯一，如：y=x2-2x.

根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式.

本题考查了函数的性质，用到的知识点：函数图象经过点，则点的坐标满足函数解析式；一次函数丫=

/cr+b(kK0)中，当k>0时，y随x的增大而增大，k<0时，y随x的增大而减小.本题是开放性试题，答

案不唯一，也可以举反比例函数或二次函数的例子.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等.

易得AABD,△4CD为AABC面积的一半，可得ABEC的面积，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的

一半.

【解答】

解：为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，

11

•••^AABD=S^ACD=2S&ABC=5*4=2，

•••E是a。中点，

同理SABDE-^SAABD=S^CDE=①SHACD=5X2=1，

•''S&BCE=S&BDE+S^CDE=2，

•••尸为EC中点，

1i

•'•S&BEF=/ABCE=2X2=1.

故答案为1.

14.【答案】60

【解析】解：・二次函数y=/一6放+cosa与x轴只有1个公共点，

4=（-V-2）2—4x1Xcosa=0,

解得cosa=I，

・•・锐角a=60°.

故答案为：60.

先利用根的判别式的意义得到/=（-，2）2-4x1xcosa=0,则可得到cosa=然后根据特殊角的三

角函数值确定锐角a的度数.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a/+法+c（a,b,c是常数，a40）与x轴的交点坐标问

题转化为解关于x的一元二次方程，理解根的判别式的意义是解决问题的关键.也考查了特殊角的三角函

数值.

15.【答案】一1＜x＜4

【解析】解：二次函数与一次函数图象相交于点4（一1,4）,B（4,2）,

-1＜%＜4时一次函数在二次函数的上方，

;使乃＜%成立的久的取值范围是一1＜久＜4,

故答案为：-1＜久＜4.

根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答.

本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键.

16.【答案】11

【解析】解：,・•丫=一2（久一5）2+3.6,

.•.当y=0时，即一击（久一5/+3.6=0,

解得无1=11,X2=一1（不合题意舍去）,

答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离。4=11米,

故答案为：11.

根据题意得到-吉（久-5/+3.6=0,解方程即可得到结论.

本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键.

17.【答案】26+2

【解析】解：设4B=%,

•••四边形4BCD是正方形，

AB=BC=X,

•・•CE=4,

.・.BE=BC+CE=x4,

•・•四边形ABEF是黄金矩形，

.AB_Af5-1

.*.—=---------«

BE2

x_V_5-1

...------=----------,

x+42

解得：%=275+2,

经检验：x=2"+2是原方程的根，

AB=+2,

故答案为：2"+2.

设4B=x,根据正方形的性质可得2B=BC=x,贝|BE=x+4,然后根据黄金矩形的定义可得装=

BE

驾匚，从而可得嚏=要，最后进行计算即可解答.

2x+42

本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

18.【答案】75-1

【解析】解：如图：取BC的中点为。，连接20,MO,

•••/.ACB=90°,

・•.AACP+2BCP=90°,

•・•^ACP=乙CBM,

・•.Z.CBM+乙BCP=90°,

・•・BM1CP,

・・・。是BC的中点，

1i

・•.OM=OC=^BC=^x2=l,

•••乙ACB=90°,

•••AO=VAC2+OC2=V22+1=

・♦・AM>AO-OM,

•••>1M><5-1,

・•・ZM的最小值为隗一1,

故答案为：V~5—1.

取BC的中点为0,连接40,MO,先证明BM1CP,进一步求出。M=OC=2BC和4。="，再根据

AM>AO-OM,求出AM的最小值.

本题主要考查勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半和三角形三边之间的关系，等腰直角三角形是一种特

殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是

45。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而

高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45。，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为

等腰直角三角形，则两腰相等.

19.【答案】解：(1)%2+4x+1=0,

•••%2+4%=—1,

则式2+4%+4=—1+4,即(X+2)2=3,

•,•%+2=

%]=—2+V-3,%2二一2—V-3;

(2)原式=4x©)2+3x苧—x苧

=4x1+^-1

4

=1+AA3-1

=A/-3.

【解析】(1)利用配方法求解即可；

(2)将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则依次计算即可.

本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平

方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法，并熟记特殊锐角的三角函

数值是解题的关键.

20.【答案】证明：-.-AB//CD,

，Z-ABD=Z.EDC,

在△480和△EDC中，

21=Z2

乙ABD=乙EDC,

AB=ED

・•.△ABDgaEDC(ZAS),

DB=CD.

【解析】根据可得乙ABD=4EDC,利用44s证明△ABD之△EDC,即可得结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质.

21.【答案】解：・.・ZC=90°,cos乙BDC=

CD3

J~BD=5f

・・•BD=5,

CD=3,

・•・BC=y/BD2-CD2=,52-32=4,

•・,点。是边AC上的中点，

AC=2CD=6,

八BC42

-'-tanA=A^=6=3-

【解析】由NC=90。，cosNBDC=|,BD=5,可求CD、BC的长，根据题意求得AC的长，根据正切的定

义，即可求解.

本题考查了勾股定理和解直角三角形，熟练掌握并运用勾股定理是解答本题的关键.

22.【答案】解：过。作DPI48于P,交EF于N,

则DN=CF=2米，AP=DC=1.6米，

DP=ACCF+AF18（米），EN=EF-CD=

2.4-1.6=0.8（米），

由题意得，乙EDN=乙BDP,Z.BPD=乙END=

90°,

.,.ADENs&DBP,

BP_DP

"£W=DN>

.4B-1,6_18

"0.8—T，

AB=8.8(米)，

答：树力B的高度为8.8米.

【解析】过D作DPIAB于P,交EF于N,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.

23.【答案】(1)(2,-2)；

(2)如图所示，以B为位似中心，画出A&B2c2，使△2c2与△力BC位似，且位似比为2：1,

(3)7.5

【解析】解：(1)如图所示，画出AABC向下平移4个单位长度得到的点Q的坐标是(2,-2)；

故答案为：(2,-2)；

(2)见答案，

（3）四边形442c2c的面积是=gx5x1+|x5x2=7.5；

故答案为：7.5

⑴将△ABC向下平移4个单位长度得到的△a/iQ,如图所示，找出所求点坐标即可;

(2)以点B为位似中心，在网格内画出A&B2c2，使△&B2C2与△斗8。位似，且位似比为2：1,如图所示,

找出所求点坐标即可.

(3)根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可.

此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键.

24.【答案】(1)证明：如图，连接。D,

•・,0A=0D,

・•.Z,OAD=乙ODA,

OF1AD,

・••乙AEO=90°,

・•・^AOF+AOAD=90°,

•・•乙ADC=Z.AOF,

・••乙ADC+AODA=90°,

BPZODC=90°,

・•・OD1CD.

・•・CD与。。相切于点D；

(2)解：•••ZB是。。的直径，

・•・^ADB=90°,

Z.ADB=Z.AEO,

/.OF//BD,,OA=OB,

11

・•.OE=^BD=^x12=6,

.OD1

'''SlnCr=0^=3'

设0。=%,OC=3%,则08=%,

CB=OC+OB=4%,

•••0F//BD,

COFs^CBD,

tOC_OF

BCBD

..,.—3x=_—OF,

4x12

••.OF=9,

EF=OF-OE=9-6=3.

【解析】（1）连接。。，根据圆的半径相等，从而由乙4EO=90。，AADC=AA0Ff可得

AADC+^ODA=90°,即可证明；

11

（2）由三角形中位线定理可知。E=”D=/12=6,设0D=x,0C=3%,贝i]0B=久，贝i」CB=0C+

OB=4x,再根据△COFs^CBD得对应边成比例，即可求出答案.

本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角函数等知

识，利用设参数表示线段的长是解题的关键.

25.【答案】7245

【解析】解：（1）①如图②中，设2C交BE于点0.

C

AB

■.■AAED,△ABC都是等腰直角三角形，

•••AEAD=ACAB=45°,AD=y[2AE,AB=y[2AC,

•••^EAC=^DAB,黑=黑=方；

ACAE

DABSAEAC,

・•啰=些=逅;

ECAEv

②-LDAB^LEAC,

•••Z-ABD=Z.ACE,

•••Z-AOB=Z.EOC,

・•・乙BAO=乙CEO=45°,

故答案为：72,45；

(2)普=6，NBFC=45。仍然成立，理由如下：

如图③中，设AC交BF于点0.

•・•△4ED,△ABC都是等腰直角三角形，

•••/-EAD=乙CAB=45°,AD=y[2AE,AB=y[2AC,

Z.EAC=^DAB,桨=

ACAE

DABs^EAC,

BDADrrrAr-»r\4kL

=v2,4ABD=Z.ACE,

ECAE

•・•Z,A0B=乙FOC,

•••乙BAO=乙CFO=45°,

煞=JI,乙BFC=45°；

(3)如图一1中，当CE1AD于。时,

1侬一1

•••AEDE=y[2,AC=BC=<10，^AED=/.ACB=90°,

•••AD=V2AE=2.

EO1AD,

OD=OA=OE=1,

OC=<AC2-AO2=3，

•••EC=OE+OC=4,

•••BD=yll,EC,

BD=472.

如图④一2中，当EC1AD时，延长CE交AD于。.

c

l^3)-2

同理可得。。=。4=OE=1,0c=3,EC=3-1=2,

：.BD=yjl.EC=2/2,

综上所述，BD的长为或2/1.

(1)①如图②中，设力C交BE于点。.证明△ZMBSAEAC,推出黑=罪=，1；

②依据△DABsxEAC,推导出N2BD=^ACE,进而得至1JNB2。=乙CEO=45°,可得结论；

(2)如图③中，设4C交BF于点。.证明△ZMBSAR